SKKN PHUONG TRINH BAC CAO

Kết hợp với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình Đại học Toán mà đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của các thầy cô giáo, tôi xin đề xuất một số phơng pháp giải phơng t

Phần I:Mở đầu

I/ Lí do chọn đề tài:

Toán học là môn khoa học, là nền tảng cho các môn khoa học khác, có ứng dụng trong hầu hết trong các lĩnh vực của cuộc sống Toán học giữ vai trò quan trọng trong mọi bậc học Làm thế nào để học đợc toán, học giỏi toán đó là vấn đề đặt ra mà không phải lúc nào cũng giải quyết đợc một cách đễ dàng Với cơng vị là một giáo viên toán, tôi nhận thấy cần phải đầu t suy nghĩ hơn nữa để tìm ra phơng pháp tốt nhất phù hợp với từng đơn vị kiến thức, giúp các em tiếp thu kiến thức một cách chủ động, nhẹ nhàng cóhiệu quả

Sau nhiều năm giảng dạy môn Toán ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải

ph-ơng trình bậc cao đợc đa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lợc, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi Bên cạnh đó là các nội dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp Các phơng trình bậc cao là một nội dung thờng gặp trong các kỳ thi ở Bậc THCS, THPT và đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và cao đẳng

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung, tính phức tạp hóa gây nên sự trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phơng trình bậc cao Cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm

có đợc của bản thân qua nhiều năm giảng dạy Kết hợp với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình Đại học Toán mà đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của các thầy cô giáo, tôi xin đề xuất một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao và các bài tập minh họa trong chơng trình toán THCS

Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, tự phân loại đợc một số dạng toán giải phơng trình bậc cao, nêu lên một số phơng pháp giải cho từng dạng bài tập Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc giải phơng trình bậc cao Qua nội dung này tôi hy vọng học sinh phát huy đợc khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập nhỏ Từ đó hình thành cho học sinh khả năng t duy sáng tạo trong học tập

Trong đề tài này tôi chỉ nêu ra một số cách giải phơng trình bậc cao đa về phơng trình quen thuộc và phơng trình đã biết cách giải Đề tài này có thể áp dụng cho giáo viên toán và những học sinh yêu thích môn toán tham khảo cách giải và cách trình bày Tuy vậy ,nội dung của đề tài vẫn còn hạn chế do năng lực bản thân Vì vậy tôi rất mong nhận đợc những ý kiến

đóng góp của các thầy cô giáo để đề tài này đợc hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các em học sinh trờng THCS Thuận Tiến, quý thầy cô trờng đại học s phạm Hà Nội đã tạo điều kiện giúp đỡ và hớng dẫn tôi hoàn thành đề tài này

II/ MụC ĐíCH – NHIệM Vụ CủA Đề TàI

- Phơng pháp giải các phơng trình bậc cao bằng cách đa về các dạng phơng trình đã biết cách giải hoặc các dạng quen thuộc

- Các ví dụ minh hoạ

- Rèn kĩ năng vận dụng kiến thức để giải phơng trình bậc cao

- Củng cố và hớng dẫn học sinh làm bài tập

iII/ đối tợng nghiên cứu

- Học sinh lớp 9 trờng THCS Thuận Tiến - Hòn Đất - Kiên Giang

Iv/ Phơng pháp nghiên cứu

- Tham khảo tài liệu ,thu thập tài liệu

- Phân tích ,tổng kết kinh nghiệm

- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lợng HS, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học

Phần II :Nội dung đề tài

I/ Cơ sở lí luận:

1.Mục đích, ý nghĩa của việc dạy giải phơng trình bậc cao:

- Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục những kiến thức cơ bản một cách có hệ thống (về toán học nói chung cũng nh về phần phơng trình bậc cao quy về phơng trình bậc hai trong chơng trình dạy toán lớp 9)theo phơng pháp tinh giảm dễ hiểu

- Bài tập về “ phơng pháp quy về phơng trình bậc hai” nhằm rèn luyện cho HS những

kĩ năng thực hành giải toán về phơng trình bậc hai.Rèn luyện cho HS các thao tác t duy ,so sánh ,khái quát hoá ,trừu tợng hoá ,tơng tự

- Rèn luyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàng các môn học khác ở trờng THCS Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế

- Bài tập “Phơng trình bậc cao quy về phơng trình bậc hai” còn góp phần rèn luyện cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo

2 Các kĩ năng ,kiến thức khi học về giải phơng trình bậc cao:

- Các quy tắc tính toán về các kiến thức đại số :

- Các hằng đẳng thức đáng nhớ

- Phép phân tích đa thức thành nhân tử

II/ Những kiến thức cơ bản trong giải phơng trình:

1 Các định nghĩa :

1.1 Định nghĩa phơng trình :

Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x Khi nói A(x) = B(x) là một ph

-ơng trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị t-ơng ứng của hai biểu thức này bằng nhau

Biến x đợc gọi là ẩn

Giá trị tìm đợc của ẩn gọi là nghiệm

Việc tìm nghiệm gọi là giải phơng trình

Mỗi biểu thức gọi là một vế của phơng

1.2 Tập xác định của phơng trình :

Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa

1.3 Định nghĩa hai phơng trình tơng đơng :

Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

1.4 Các phép biến đổi tơng đơng :

Khi giải phơng trình ta phải biến đổi phơng trình đã cho thành những phơng trình tơng

đơng với nó ( nhng đơn giải hơn) Phép biến đổi nh thế đợc gọi là phép biến đổi tơng đơng

2 Các định lý biến đổi tơng đơng của phơng trình :

a) Định lý 1 :Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một phơng trình thì

đ-ợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho

Ví dụ : 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 +5x

* Chú ý : Nếu cộng cùng một biểu thức chứa ẩn ở mẫu vào hai vế của một ph ơng

trình thì phơng trình mới có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho

Ví dụ : x -2 (1) Không tơng đơng với phơng trình

2

1 2

1 2











x x

x

Vì x = 2 là nghiệm của (1) nhng không là nghiệm của (2)

* Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phơng trình

đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.

Ví dụ : 8x -7 = 2x + 3 <=> 8x- 2x = 7 + 3

* Hệ quả 2 :Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phơng trình thì

đ-ợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho.

Ví dụ : -9 - 7x = 5 ( x +3) -7x <=> -9 = 5 x ( x + 3)

* Chú ý : Nếu nhân hai vế của một phơng trình với một đa thức của ẩn thì đợc

phơng trình mới có thể không tơng đơng với phơng trình đã cho.

b) Định lý 2:Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phơng trình thì đợc phơng

trình mới tơng đơng với phơng trình đã cho

Ví dụ :

2

1

x2 - 3x =

4

3

 2x2 - 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 ) IIi/ những phơng pháp giảI phơng trình:

1.Phơng trình bậc nhất một ẩn :

Phơng trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a 0 đợc gọi là phơng trình bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do

Cách giải :

- Phơng trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1)

- Dùng phép bién đổi tơng đơng , Phơng trình (1) trở thành :

a x=-b x=-b/a

Phơng trình này có nghiệm duy nhất : x=

a

b



(a0)

2 Phơng trình bậc cao:

2.1 Phơng trình bậc hai một ẩn :

Phơng trình bậc hai một ẩn số là phơng trình có dạng ax2 + bx + c = 0; trong đó x là

ẩn số; a, b, c là các hệ số đã cho; a  0

*Cách giải:

*Ta dùng các phép biến đổi tơng đơng ,biến đổi phơng trình đã cho về các dạng phơng trình đã biết cách giải (phơng trình bậc nhất ,phơng trình dạng tích ) để tìm nghiệm của phơng trình

*Khi nghiên cứu về nghiệm số của phơng trình bậc hai a x2 +b x +c=o (a

0)Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số  của phơng trình: =b2- 4ac

Vì biểu thức = b2- 4ac quyết định nghiệm số của phơng trình bậc hai

Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :

a , <0  phơng trình bậc hai vô nghiệm

b , =0  phơng trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau):

x1=x2 =

a

b

2



c , >0  phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt:

x 1=

a

b

2







; x2 =

a

b

2







*Chú ý :

- Nếu a và c trái dấu , nghĩa là a.c<0 thì phơng trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt (vì ac<0 =>b2-4ac >0 hay >0 )

- Đối với một số phơng trìnhbậc hai đơn giản (với hệ số nguyên ) trong trờng hợp có nghiệm ( 0 ) ta có thể dùng địnhlí Vi ét để tính nhẩm nghiệm

Định lí Vi ét : Nếu phơng trình bậc hai a x 2 + bx +c = 0 (1) ( a 0) có hai nghiệm

là : x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm là

S =x1x2=

a

b



P=x1x2=

a

c

Cách nhẩm nghiệm :

+ Nếu a+b+c =0 thì phơng trình (1) có các nghiệm là x11 x; 2 

a

c

+ Nếu a-b+c=0 thì phơng trình (1) có các nghiệm là x

a

c

x 



- Nhờ có đình lí Vi ét mà ta có thể tìm đợc nghiệm của các phơng trình có dạng đặc biệt Ngoài ra chúng ta cũng có thể làm đợc một số bài toán biện luận về số nghệm của phơng trình bậc hai

- Sau khi dạy về định lí Vi ét tôi cho HS giải các phơng trình bậc hai qua lợc đồ sau :

0

Xác định các hệ số a,b,c

ax2 + bx + c = 0 ( a0)

Tính a + b + c

Ph ơng trình có 2 nghiệm

x

1 = 1 ; x

2 =

Tính a - b + c

Ph ơng trình có 2 nghiệm

x

1 = -1 ; x

2 =

Tính

Ph ơng trình

vô nghiệm

Ph ơng trình có nghiệm kép x

1 = x

2 =

Ph ơng trình có 2 nghiệm phân biệt

x

1 = ; x

2 =

= 0

= 0

0

= 0

VÝ dô : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau

a , 3x2+5x +7 = 0

= 25 – 4 3 7 =25 - 84 =- 61 <0

VËy ph¬ng tr×nh v« nghiÖm

b , 5 x2 +2 10 x +2 = 0

= (2 10 )2 -4.5.2 =0 nªn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp

x1=x2 =

a

b

2



=

5

10



c , 3x2+5x - 1 = 0

= 52 - 4 3 (-1) =25+12 =37 >0

VËy PT cã hai nghiÖm lµ : x1=

6

37

5 

 ; x2 =

6

37

5 



d/ Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2 -3x +6 =

3

1



x (1)

x2 -9

-Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh©n tö ph¬ng tr×nh trë thµnh

x 2 -3x +6 =

3

1



x

(x-3)(x+3)

x +3 0

TX§ : hay x3vµ x -3

x-3 0

MTC : (x-3)(x+3)

-Khử mẫu ta đợc phơng trình x 2 -3x +6 =x+3

- Chuyển vế :  x 2 -3x +6 -x-3=0

x2 -4x +3 =0 (2)

Vì a+b+c= 1+(-4) +3 =0

Nên x1=1 ; x2=c/a =3 là hai nghiệm của

phơng trình trung gian

- Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2) có thuộc TXĐ của (1) hay không ?

ở đây ta nhận thấy x1=1 thoả mãn điều kiện

x 2=3 không thoả mãn điều kiện

-Do đó ta mới kết luận nghiệmcủa (1) là x=1

*Nhận xét :

-Những phơng trình đợc trình bày ở trên là dạng phơng trình gặp nhiều ở THCS

- Khi giải các phơng trình này ta cần chú ý những vấn đề sau :

+ Tìm TXĐ của phơng trình

+ Sau khi giải đợc kết quả cần so sánh kết quả và kết luận nghiệm ( loại bỏ những nghiệm của phơng trình trung gian không nằm trong miền xác định )

* Bài luyện tập:Giải các phơng trình :

a ,3(x2+x) -2(x2+x ) -1= 0

b, 5x2 - 7x = 0

c,

5

3 3

5 5

3 3

5















x x

x x

d, 2 1 ( 21)( 84)











x x x

x

3 2

2 3

2

3













x x

x x

2.2 Phơng trình bậc ba

a x 3 +bx 2 +cx =d =0

( trong đó x là ẩn ; a,b,c,d là các hệ số ;a 0 )

* Cách giải :

-Để giải một phơng trình bậc ba ta thờng biến đổi về phơng trình tích Vế trái là tích của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai , vế phải bằng 0 Muốn làm tốt việc này cần đồi hỏi

HS phải có kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo

*Ví dụ : giải phơng trình 2x3 +7x2 +7x + 2=0

Giải

Phân tích vế trái thành nhân tử ta có

VT = (2x3 + 2) + (7x2 +7 )

= 2(x3 +1) + 7x (x+1)

= 2(x+1)(x2 –x +1) +7x(x+1)

= (x+1)[2(x2-x +1) +7x ] = (x+1) (2x2+5x +2)

Vậy phơng trình đã cho  (x+1) (2x2+5x +2) =0

x +1 =0 (2)



(2x2+5x +2) =0 (3)

x1 =-1 

x 2=-2 ; x3 =

-2 1

Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm là x1 =-1 ; x 2=-2 ; x3 =

-2 1

*Nhận xét :

Khi giải một phơng trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đa phơng trình về dạng phơng trình tích

- Chú ý : tính chất của phơng trình bậc ba : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 )

+Nếu a+b+c +d =0 thì phơng trình có một nghiệm x=1

+Nếu a-b+c-d =0 thì phơng trình có một nghiệm x= -1

Khi đã nhận biết đợc một nghiệmcủa phơng trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành nhân tử

- Phơng trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) với các hệ số nguyên Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hạng tử tự do (đ/l sự tồn tại nghiệm nguyên của phơng trình nghiệm nguyên )

- Nếu phơng trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) có 3 nghiệm x1 ; x2 ; x3

Thì 3 nghiệm đó sẽ thoả mãn các điều kiện sau:

x1+x2+x3 =

-a b

x1x2+ x2x3 +x1x3 =

a c

x1x2x3 =

-a d

* Bài luyện tập:Giải các phơng trình :

a, 2x3 - 5x2 - 3x = 0

b, x3 - 7x + 6 = 0

c, x3 - 5x2 + x + 5 = 0

d, x3 - 13x2 - 42x - 36 = 0

f, 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = 0

2.3 Phơng trình bậc 4 :

Phơng trình bậc 4 dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0

Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a 0 )

Một phơng trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai

2.3.1 Phơng trình tam thức bậc 4 (Phơng trình trùng phơng )

Phơng trình trùng phơng có dạng tổng quát : a x4 +bx 2 +c=0 (1)

Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ; ( a 0 )

*Cách giải :

Khi giải phơng trình này ta dùng phơng pháp đổi biến

x 2=t (t 0) (2)

Khi đó phơng trình (1) da đợc về dạng phơng trình bậc hai trung gian

a t2 +b t +c =0 (3)

Giải phơng trình (3) rồi thay giá trị của t tìm đợc ( với t 0) vào (2) ta đợc phơng trình bậc ha với biến x giải phơng trình này ta tìm đợc nghiệm của phơng trình trùng phơng ban

đầu

*Ví dụ : Giải phơng trình sau

4x 4 - 109x2+ 225 =0 (1)

Giải

Đặt x 2 =t (t 0) phơng trình (1) trở thành 4t2 – 109t +225=0 (2)

Giải phơng trình (2) đợc nghiệm là t1 =

4

9

; t2 =25 Cả hai nghiệm của phơng trình (2) đều thoả mãn điều kiện t 0

+ Với t1 =

4

9

ta có x 2=

4

9

=> x1=3/2 ; x2= -3/2 + Với t2=25 ta có x2= 25 => x3 =5 ; x4=-5

Vậy phơng trình (1) có 4 nghiệm là : x1=3/2 ; x2= -3/2 ; x3 =5 ; x4=-5

* Nhận xét :

- Khi nghiên cứu số nghiệm của phơng trình trùng phơng (1) ta thấy :

- Phơng trình vô nghiệm khi :

+ Hoặc phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm

+Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm

- Phơng trình trùng phơng có hai nghiệm khi :

+ Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dơng

+ Hoặc phơng trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm âm và một nghiệm dơng

- Phơng trình trùng phơng có 3 nghiệm khi phơng trình bậc hai có 2 nghiệm trong đó có một nghiệm dơng và một nghiệm bằng 0

- Phơng trình trùng phơng có 4 nghiệm khi phơng trình hai trung gian có hai nghiệm dơng phân biệt

* Bài luyện tập:Giải các phơng trình :

a, 4x4 + x2 - 5 = 0

b, 3x4 + 4x2 + 1 = 0

c, 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - x2

d, 9x4 - 10x2 + 1 = 0

2.3 2 Phơng trình hệ số đối xứng bậc 4

a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 )

- Đặc điểm : ở vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau

* Ví dụ : Giải phơng trình sau

10 x4-27x3- 110x2 -27x +10=0 (1)

Ta nhận thấy x=0 không phảI là nghiệm của (1)

Do đó chia cả hai vế (10 cho x2 ta đợc

10x2 -27x – 110 -27 102

x

x  = 0

Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc PT

10( x2 +

)

1 ( )

1

2 x x

x   ) -110 =0 (2)

Đặt ẩn phụ (x+1)

x =t (3) => x

2+ 12

x =t

2 -2 thay vào (2) ta có 10t2 -27t -130=0 (4)

Giải (4) ta đợc t1=-

2

5

; t 2=

5 26

+ Với t1=-

2

5

 (x+1)

x =- 2

5

 2x2 +5x+2=0 có nghiệm là x1=-2 ; x2=-1/2

+Với ; t 2=

5

26

 (x+ 1)

x = 5 26

 5x2-26x+5 =0 có nghiệm là x3=5 ; x4=1/5

Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm là S=

















5

; 5

1

; 2

; 2 1

* Nhận xét :

- Về ph ơng pháp giải gồm 4 b ớc

+Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x2rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng trình (2)

+Đặt ẩn phụ : (x+1)

x =t (3) => x

2+ 12

x =t

2 -2 thay vào (2) +Giải phơng trình đó ta đợc t

+Thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)

- Về nghiệm số của ph ơng trình : x0 là nghiệm của (1) thì

0

1

x cũng là nghiệm của nó

(ví dụ trên : -2 là nghiệm và -1/2 là ngịch đảo của nó cũng là nghiệm ;5 và 1/5là nghịch đảo của nhau)

* Bài luyện tập: Giải các phơng trình :

a, x4 - 7x3 + 14 x2 - 7x + 1 = 0

b, x 6 + 3x5 - 30x4 - 29 x3 - 30 x2 + 3x + 1 = 0

c, x5 - 5x4 + 4x3 + 4x2 - 5x + 1 = 0

d, x4 - 3x3 - 6x2 + 3x + 1 = 0

e, x4 + 3x3 - 14 x2 - 6x + 4 = 0

2.3 3.Phơng trình hồi quy :

Phơng trình bậc 4 dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1)

Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 và ( )2

b

d a

c

 ; ( c0) Đối với phơng trình hệ số đối xứng bậc 4chỉ là một trờng hợp đặc biệt của phơng trình hồi quy

*Chú ý:Khi

a

c

=1hay a=c thì d=  b; lúc đó (1) có dạng a x4 + bx 3+ cx2 bx +e =0

*Cách giải:

-Do x=0 không phảilà nghiệm của phơng trình (1) nên chia cả hai vế cho x2 ta đợc

a x2 +bx +c + 2

x

c x

d

 = 0 (2)

- Nhóm hợp lí a (x2 + 2)  (  ) c 0

bx

d x b ax

c

- Đổi biến đặt x+

bx

d

=t => x2 +( 2) 2 t2

b

d bx

d



 do (d/b)2 =c/a nên x2+ c/ a x2=t2 -2 d/b

Khi đó ta có phơng trình

a(t2 - 2

b

d

) bt +c =0

- Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at2+ bt +c=0 (3)

- Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu

* Ví dụ Giải phơng trình :

x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1)

Nhận xét 4/1=( ) 2

4

8 (

 ; Nên phơng trình (1) là phơng trình hồi quy

 x=0 không phải là nghiệm của (1)

 Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x2 ta đợc

x2- -4x -9 +8 42

x

 (x2 + 42)

x - 4( x - x

2

) -9 =0 (2)

* Đặt ( x

-x

2

) =t (3) => ( x2 + 42)

2 +4 thay vào (2) Phơng trình (1) trở thành

t2-4t -5 =0 có nghiệm là t1=-1 ; t2=5

+Với t1=-1  x2+x-2=0 có nghiệm là x1= 1; x2= -2

+ Với t2=5  x2 -5x -2 =0 có nghiệm là x3,4 =

2

33

5 

Vậy tập nghiệm của phơng trình đã cho là S=













2

33 5

.;

2

; 1

*Nhận xét :

- Cũng tơng tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bớc đặt ẩn phụ

Đặt x+bx

m

=yb => x2 + b

m y x b

2 2

2





2.3 4 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m

(Trong đó a+d=b+c)

* Cách giải :

nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó

Khi đó phơng trình có dạng

[x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0

do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2)

( k có thể là ad hoặc bc )

ta có phơng trình At2 +Bt+ C =0 (Với A=1)

Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giải tìm đợc nghiệm x

* Ví dụ :

Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)

 nhận xét 1+7 =3+5

 Nhóm hợp lý  (x+1) (x+7 ) (x+3) (x+5 ) +15=0

 (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2)

*Đặt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta đợc

 t( t+ 8) + 15=0

y2 +8y +15 =0 có nghiệm y1=-3 ; y2=-5

Thay vào (3) ta đợc hai phơng trình

1/ x2 +8x +7 = -3  x2+ 8x +10=0 có nghiệm x1,2 = -4  6

2/ x2 +8x +7 = -5  x2 +8x +12 = 0 có nghiệm x3=-2; x4 =-6

Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S = 2 ;  6 ;  4  6

* Nhận xét :

-Đối với những phơng trình có dạng đặc biệt nh trên ,nếu ta khai triển vế trái ta sẽ đợc

ph-ơng trình bậc 4 ( thờng là loại bậc 4 đầy đủ ) Đối với HS ở THCS việc giải là rất khó khăn Vì vậy từ việc nhận xét tổng hai cặp hệ số của phơng trình bằng nhau rồi nhóm một cách hợp lí Khi khai triển mỗi nhóm ,ta đổi biến của phơng trình và đa về phơng trình bậc hai trung gian

- Ta thấy nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phơng trình ban đầu cũng vô nghiệm Nếu phơng trình trung gian có nghiệm thì ta trả biến lại và giải tiếp phơng trình bậc hai đối với biến x, nghiệm của phơng trình này là nghiệm của phơng trình ban đầu

* Bài luyện tập:

1.Giải các phơng trình :

a, x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8