Cực trị trong KG

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng P.. Phương pháp: - Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mpP.. - Tọa độ giao điểm H của d và mpP chính là

Trang 1

CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN

Một số dạng toán thường gặp

1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P).

Phương pháp:

- Viết phương trình đường thẳng (d)

đi qua M và vuông góc với mp(P)

- Tọa độ giao điểm H của (d) và mp(P)

chính là tọa độ hình chiếu vuông góc của M

Ví dụ 1

Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, -2, 1)

và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0

Xác định tọa độ của hình chiếu vuông góc của A, B trên mp(P)

(Tìm điểm M trên (P) sao cho MA ngắn nhất; MB ngắn nhất)

HD.

2 Tìm tọa độ điểm đối xứng M’ với điểm M qua mp(P).

Phương pháp:

- Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên (P)

- Tìm điểm M’ sao cho H là trung điểm MM’

Ví dụ 2

Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, -2, 1)

và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0

Xác định tọa độ điểm đối xứng với A, B qua mp(P)

(Tìm điểm M trên (P) sao cho MA ngắn nhất; MB ngắn nhất)

HD.

3 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng (d).

Phương pháp:

- Viết phương trình mp(P)

đi qua M và vuông góc với (d)

- Tọa độ giao điểm H của (d) và mp(P)

chính là tọa độ hình chiếu vuông góc của M

Ví dụ 3

Cho hai điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2)

− Xác định hình chiếu vuông góc của A, B trên đt(d)

HD

H

M (P)

d

M ' H

M (P)

d

H

M

(P) d

Trang 2

4 Tìm tọa độ điểm đối xứng M’ với điểm M qua đường thẳng (d).

Phương pháp:

- Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên (d)

- Tìm điểm M’ sao cho H là trung điểm MM’

Ví dụ 4

Cho hai điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2)

− Xác định điểm đối xứng với A, B qua đt(d)

HD

5.Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) Tìm điểm M trên (d) sao cho 2 2

min

MA +MB

Phương pháp:

Cách 1.

- Gọi I là trung điểm AB

Khi đó ta có:

2

là hình chiếu vuông góc của I trên (d)

Cách 2.

- Viết phương trình đường thẳng (d) dạng tham số Viết tọa độ của M phụ thuộc tham số t

- Tính MA2 +MB2 =f (t) theo tham số t Ta thu được hàm bậc 2 với tham số t

- Đánh giá hàm f(t) tìm ra GTNN

Ví dụ 5 Cho hai điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 1

− Tìm điểm M trên đt(d) sao cho 2 2

min

HD

6 Cho ba điểm A, B, C và đường thẳng (d) Tìm điểm M trên (d) sao cho

min

MA +MB +MC

Phương pháp:

Cách 1.

- Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó ta có:

là hình chiếu vuông góc của G trên (d)

Cách 2.

- Viết phương trình đường thẳng (d) dạng tham số Viết tọa độ của M phụ thuộc tham số t

H M

M '

(P) d

M

I

B A

d

M

(d)

G

C B

A

Trang 3

- Tính MA2 +MB2 =f (t) theo tham số t Ta thu được hàm bậc 2 với tham số t.

- Đánh giá hàm f(t) tìm ra GTNN

Tổng quát Với n điểm A ,A , ,A ta làm tương tự như mục 5 và 6.1 2 n

Ví dụ 6

Cho hai điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2), C(0, -2,-1) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 1

− Tìm điểm M trên đt(d) sao cho MA2 +MB2 +MC2min

HD.

7 Cho hai điểm A, B và mp(P) Tìm điểm M trên mp(P) sao cho 2 2

min

MA +MB

Phương pháp:

- Gọi I là trung điểm AB

Khi đó ta có:

2

- MA2 +MB2min ⇔MImin ⇔M

là hình chiếu vuông góc của I trên (d)

Ví dụ 7 Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, -2, 1) và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0.

Tìm điểm M trên mp(P) sao cho MA2 +MB2min

HD.

8 Cho ba điểm A, B, C và mp(P) Tìm điểm M trên mp(P) sao cho MA2 +MB2+MC2min

Phương pháp:

- Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó ta có:

là hình chiếu vuông góc của G trên mp(P)

Tổng quát Với n điểm A ,A , ,A ta làm tương tự như mục 7 và 8.1 2 n

Ví dụ 8 Cho ba điểm A(1,2,3), B(0, -2, 1), C(0, 2, 3) và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0.

Tìm điểm M trên mp(P) sao cho MA2 +MB2+MC2min

HD.

9 Cho hai điểm A, B và mp(P) Tìm điểm M trên mp(P) sao cho MA MB+ min

Phương pháp:

Dạng 1 Khi A và B nằm cùng phía so với mp(P)

- Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P)

⇔ M = AB’∩ (P)

M

(P)

G

C B

A

I

M

(P)

B

A

H M

B A

(P)

Trang 4

- Lập phương trình đt AB’

- Giao điểm của AB’ với (P) là điểm M cần tìm

Tìm điểm M trên mp(P) sao cho MA MB+ min

HD.

Dạng 2

Khi A và B nằm về hai phía của mp(P)

- Gọi I = AB∩ (P)

Vậy MA MB+ min⇔ M= AB∩ (P)

Ví dụ 10 Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, 4, -1)

và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0

Tìm điểm M trên mp(P) sao cho MA MB+ min

HD.

10 Cho hai điểm A, B và mp(P) Tìm điểm M trên mp(P) sao cho MA MB− max

Phương pháp:

Dạng 1 Khi A và B nằm cùng phía so với mp(P)

*)Gọi I= AB∩ (P)

Khi đó MA MB AB− ≤ = IA IB−

MA MB− max ⇔M AB (P).= ∩

- Viết phương trình đt(AB)

- Tọa độ giao điểm của (AB) và (P) là điểm M cần tìm

Tìm điểm M trên mp(P) sao cho MA MB− max

HD.

Dạng 2 Khi A và B nằm về hai phía của mp(P)

*) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P)

Khi đó A, B’ cùng phía với (P)

và MA MB− = MA MB'−

MA MB− max ⇔M AB' (P).= ∩

- Tìm tọa độ B’ đối xứng với B qua (P)

- Viết phương trình đt(AB’)

- Tọa độ giao điểm của (AB’) và (P) là điểm M cần tìm

H

M

B

B' A

(P)

I M

B A

(P)

I

M

B A

(P)

Trang 5

Ví dụ 12 Cho hai điểm A(1,2,3), B(0, 4, -1) và mp(P): x - y + 2z + 4 = 0.

Tìm điểm M trên mp(P) sao cho MA MB− max

HD.

11 Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) Tìm điểm M trên (d) sao cho MA MB+ min

Phương pháp:Chỉ xét trường hợp đơn giản hơn, đó là khi A,B và (d) đồng phẳng.

Dạng 1 Khi A và B nằm về hai phía của đt(d).

- Viết phương trình đường thẳng AB Tìm giao điểm I của AB và (d)

- Tọa độ giao điểm I thỏa mãn

Ví dụ 13 Cho hai điểm A(0, 0,1), B(2,2,2) và đường thẳng (d): x 1 y 1 z 2

−

a Chứng minh A, B và (d) cùng nằm trên một mặt phẳng, đồng thời A, B nằm khác phía so với (d)

b Tìm điểm M trên (d) sao cho MA MB+ min

HD a A, B, d cùng nằm trên mp(P): x -2y + z -1 = 0

AB cắt (d) tại I(1, 1, 2), I nằm giữa A và B

b M = I(1, 1, 2) thỏa mãn

Dạng 2 Khi A và B nằm cùng phía so với đt(d).

- Viết phương trình đoạn

Ví dụ 14 Cho hai điểm A(0, 0,1), B(-3, -3, -2) và đường thẳng (d): x 1 y 1 z 2

−

a Chứng minh A, B và (d) cùng nằm trên một mặt phẳng, đồng thời A, B nằm cùng phía so với (d)

b Tìm điểm M trên (d) sao cho MA MB+ min

HD.

12 Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d) Tìm M trên (d) sao cho | MA kMB |uuuur+ uuur min

Ví dụ 15 Cho hai điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 1

− Tìm điểm M trên đt(d) sao cho | MA 2MB |uuuur+ uuur min

HD M(2 2t, 1 3t, 2 2t)+ − + − −

Ví dụ 16

Cho ba điểm A(-1, 0,2), B(1,3,2), C(1, 2, 2) và đường thẳng (d): x 2 y 1 z 1

− Tìm điểm M trên đt(d) sao cho | MA MB MC |uuuur uuur uuur+ + min

HD

13 Cho mp(P) và mặt cầu (S).Tìm điểm M trên (S) sao cho d(M, (P)) đạt GTLN, GTNN.

Phương pháp:

Trang 6

Dạng 1: Tìm GTLN

- Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (P)

- Tìm giao điểm A, B của (S) với (d) Giả sử d(A,(P)) d(B,(P)).≥

- Khi đó ∀M ∈(S) có: d(A,(P)) d(M,(P)) d(B,(P)).≥ ≥

⇒d(M,(P))max =d(A,(P))⇔M A.≡

Dạng 2: Tìm GTNN Xét hai trường hợp sau

TH1 Khi (S) và (P) không có điểm chung.

⇒d(M,(P))min =d(B,(P))⇔M B.≡

TH2 Khi (S) và (P) có điểm chung (1 điểm hoặc đường trong chung).

- Khi đó ∀M ∈(S) có: d(A,(P)) d(M,(P)) 0.≥ ≥

⇒d(M,(P))min = ⇔0 Mlà điểm chung của (P) và (S)

Ví dụ 17 Cho mặt cầu (S) : x2 +y2 + −z2 2x 2y 2z 1 0.− − − = Tìm điểm M trên (S) sao cho

d(M, (P)) đạt GTLN, GTNN.

1 (P) : x 2y 2z 4 0.+ + + = 2 (P) : 3x 4y 9 0.− − = 3 (P) : 2x 2y z 2 0.− − − =

HD (S) có tâm I(1; 1; 1), bán kính R = 2.

1 Ta có: d(M,(P)) 3 R 2= > = ⇒(P) (S)∩ = ∅.

- Đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P) có pt:

x 1 t

z 1 2t

= +





 = +



¡

- Tọa độ giao điểm của (d) và (S) là: A( ; ; ), B( ;5 7 7 1 1; 1)

- Ta có: d(A,(P)) 5 d(B,(P)) 1.= ≥ = ⇒d(A,(P)) d(M,(P)) d(B,(P)).≥ ≥

Vậy: ⇒d(M,(P))min = ⇔1 M B.≡

⇒d(M,(P))max = ⇔5 M A.≡

2 Ta có: d(M,(P)) 2 R 2= = = ⇒(P) (S)∩ ={ }H

x 1 3t

z 1

= +







¡

- Tọa độ giao điểm của (d) và (S) là: A( ;11 3;1), B( 1 13; ;1)

- Ta có: d(A,(P)) 1 d(B,(P)) 0.= ≥ = ⇒d(A,(P)) d(M,(P)) d(B,(P)).≥ ≥

Vậy: ⇒d(M,(P))min = ⇔0 M B.≡

⇒d(M,(P))max = ⇔1 M A.≡

3 Ta có: d(M,(P)) 1 R 2= < = ⇒(P) (S) (C).∩ =

x 1 2t

z 1 t

= +





 = −



¡

Trang 7

- Tọa độ giao điểm của (d) và (S) là: A( 1 7 5; ; ), B( ;7 1 1; ).

- Ta có: d(A,(P)) 3 d(B,(P)) 1.= ≥ = ⇒d(A,(P)) d(M,(P)) 0.≥ ≥

Vậy: ⇒d(M,(P))min = ⇔ ∈0 M (C)

⇒d(M,(P))max = ⇔3 M A.≡

Ví dụ 18 Cho mặt cầu (S) : x2 +y2 + −z2 2x 2y 2z 6 0.− − − = Tìm điểm M trên (S) sao cho

1 (P) : x 2y 2z 4 0.+ + + = 2 (P) : 3x 4y 9 0.− − = 3 (P) : 2x 2y z 9 0.+ − + =

HD.

1

2

3

14 Cho đt(d) và mặt cầu (S).Tìm điểm M trên (S) sao cho d(M, (d)) đạt GTLN, GTNN.

Phương pháp:

Dạng 1: Tìm GTLN

- Lập phương trình đường thẳng (d1) đi qua tâm I của (S) và đi qua hình chiếu vuông góc H của I trên (d)

- Tìm giao điểm A, B của (S) với (d1) Giả sử d(A,(P)) d(B,(P)).≥

⇒d(M,(P))max =d(A,(P))⇔M A.≡

Dạng 2: Tìm GTNN Xét hai trường hợp sau

TH1 Khi (S) và (d) không có điểm chung.

⇒d(M,(P))min =d(B,(P))⇔M B.≡

TH2 Khi (S) và (d) có điểm chung (1 điểm hoặc 2 điểm chung).

- Khi đó ∀M ∈(S) có: d(A,(P)) d(M,(P)) 0.≥ ≥

⇒d(M,(P))min = ⇔0 Mlà điểm chung của (d) và (S)

Ví dụ 19 Cho mặt cầu (S) : x2 +y2 + −z2 2x 4y 2z 5 0.− + + = Tìm điểm M trên (S) sao cho

d(M, (d)) đạt GTLN, GTNN.

1

x 1 t

= −





 = −



2 (d) : x y z 3 0

y z 1 0

+ + − =



x 1 t (d) : y 2 t

= +



 = −



 = −



HD (S) có tâm I(1; 2; -1), R = 1.

1 Ta có: d(M,(d))= 2 R 1> = ⇒(d) (S)∩ = ∅

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (d) ⇒H(0; 1; -1)

- Đường thẳng (d1) đi qua I và H có pt:

x t

=



 = + ∈



 = −



¡

Trang 8

- Tọa độ giao điểm của (d1) và (S) là: A(1 1 ;2 1 ; 1), B(1 1 ;2 1 ; 1).

- Ta có: d(A,(d)) AH= = 2 1 d(B,(P)) BH+ ≥ = = 2 1.−

⇒d(A,(d)) d(M,(d)) d(B,(d)).≥ ≥

Vậy: ⇒d(M,(d))min = 2 1− ⇔M B.≡

⇒d(M,(d))max = 2 1+ ⇔M A.≡

2 Ta có: d(M,(d)) 1 R 1= > = ⇒(d) (S) H(2;2; 1).∩ = −

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (d) ⇒H(2; 2; -1)

x 1 t

= +





 = −



¡

- Tọa độ giao điểm của (d1) và (S) là: A(0;2; 1), B H(2;2; 1).− ≡ −

- Ta có: d(A,(d)) AH 2 d(B,(P)) BH 0.= = ≥ = =

⇒d(A,(d)) 2 d(M,(d)) d(B,(d)) 0.= ≥ ≥ =

Vậy: ⇒d(M,(d))min = ⇔0 M H(2;2; 1).≡ −

⇒d(M,(d))max = ⇔2 M A(0;2; 1).≡ −

3 Ta có:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (d) ⇒H(1; 2; -1/2)

x 1

=





 = − +



¡

- Tọa độ giao điểm của (d1) và (S) là: A(1;2; 1), B(1;2;0).−

- Ta có: d(A,(d)) AH 3 / 2 d(B,(P)) BH 1 / 2.= = ≥ = =

⇒d(A,(d)) d(M,(d)) d(B,(d)).≥ ≥

Vậy: ⇒d(M,(d))min =1 / 2⇔M B.≡

⇒d(M,(d))max =3 / 2⇔M A.≡

d(M, (d)) đạt GTLN, GTNN.

1

x t

z 1 2t

=





 = −



¡ 2 (d) : x y z 3 0

y z 1 0

+ + − =



x 1

z 1 t

=





 = −



¡

HD.

1

2

Trang 9

1 (P) : x 2y 2z 4 0.+ + + = 2 (P) : 3x 4y 9 0.− − = 3 (P) : 2x 2y z 9 0.+ − + =

HD.

1

2

3

Ví dụ 22 Cho A(1;0; 1), B(2; 0; 0) và mp(P): x –2y + z –1 = 0 Tìm điểm M trên (P) sao cho:

1 MA MB+ min 2 | MA 2MB |uuuur+ uuur min 3 MA MB− max

HD.

1

2

3

Ví dụ 23 Cho A(1;0; 1), B(0; 2; 0) và mp(P): x –2y + z –1 = 0 Tìm điểm M trên (P) sao cho:

1 MA MB+ min 2 | MA 2MB |uuuur+ uuur min 3 MA MB− max

DH.

1

2

3

15 Cho điểm M(x ; y ,z ) O(0;0); x , y ,z0 0 0 ≠ 0 0 0 >0 Viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua M

và cắt Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c) phân biệt (a, b, c>0) sao cho:

1 Thể tích khối chóp OABC nhỏ nhất 2 OA + OB+ OC ngắn nhất

3 d(M; (P)) lớn nhất 4 1 2 12 1 2

1 V(OABc) 1abc

6

0 0 0

2 Từ (1) ta thế a theo b Khảo sat hàm theo biến b, từ đó tìm GTNN

3 Có d(M,(P)) OM≤ ⇒d(M,(P))max =OM khi M là hình chiếu vuông góc của O trên (d1) ⇒OMuuuur là vtpt của (P)

Ví dụ 13 Cho điểm M(1; 4;9) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt Ox, Oy, Oz

tại A(a; 0; 0),B(0; b;0)) và C(0; 0; c) phân biệt (a, b, c >0) sao cho:

1 Thể tích khối chóp OABC nhỏ nhất 3 d(M; (P) lớn nhất

HD.

16 Cho mặt cầu (C) : (x a)− 2 + −(y b)2 + −(z c)2 =R2 và điểm M nằm bên trong mặt cầu

Trang 10

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và Cắt (S) theo một đường tròn (C) thỏa mãn:

1 Bán kính r nhỏ nhất

2 d(I, (P)) lớn nhất

Phương pháp.

Gọi H la hình chiếu vuông góc của tâm I trên (d), khi đó: d(I, (d)) = IH ≤ IM

Vậy cả hai trường hợp đều xảy ra khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của I trên (P)

Ví dụ 11 Cho mặt cầu (S) : (x 1)− 2 + −(y 2)2 + −(z 1)1 =4 và điểm M( 2; 3; 0)

1 CMR đường thẳng (P) bất kỳ đi qua M luôn cắt (S) theo một đường tròn (C)

2 Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho bán kính của (C) nhỏ nhất

3 Viết phương trình (P) sao cho d(I, (P)) lớn nhất

HD

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	408,5 KB