Tài liệu về cực trị trong các bài toán vật lý hay và độc đáo để bổ trợ kiến thức môn vật lý cho giáo viên và học sinh, đặc biệt là các thi sinh đang ôn thi ĐH CĐ. Tài liệu trình bày khoa học, logic, đã bao gồm các dạng bài hay, thường gặp cùng cách giải chi tiết, dễ hiểu.
Trang 1CƠ SỞ LÝ THUYẾT :
1 Bất đẳng thức Cô si:
2
a b+ ≥ ab ( a, b dương).
3
3
a b c+ + ≥ abc ( a, b, c dương)
- Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau
- Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau
- Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau
• Phạm vi ứng dụng: Thường áp dụng cho các bài tập điện hoặc bài toán va chạm cơ học.
2 Bất đẳng thức Bunhiacôpski:
(a b1 1+a b2 2)2 ≤(a1+a2) (2 b b1+ 2)2
Dấu bằng xảy ra khi 1 1
a b
a =b
• Phạm vi ứng dụng: thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học.
3 Tam thức bậc hai:
y= f x( )=ax2+ +bx c
+ Nếu a > 0 thì ymin tại đỉnh pa rabol
+ Nếu a < 0 thì ymax tại đỉnh parabol
Tọa độ đỉnh:
2
b x a
= − ;
4
y a
∆
= − ( 2
4
b ac
∆ = − )
+ Nếu ∆= 0 thì phương trình : y= f x( )=ax2+ + =bx c 0 có nghiệm kép
+Nếu ∆ >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
*Phạm vi ứng dụng:Thường dùng trong các bài tập về chuyển động cơ học và bài tập phần điện.
4 Giá trị cực đại hàm số sin hoặc cosin:
max
(cos )α =1 ⇔α =0
max
90
α = Kết hợp với đ/lí hàm sin :
C
c B
b A
a
sin sin
*Phạm vi ứng dụng: Thường dùng trong các bài toán cơ học, điện xoay chiều.
5 Khảo sát hàm số:
- Dùng đạo hàm
- Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu
*Phạm vi ứng dụng: thường áp dụng cho các bài toán điện xoay chiều.
+Ngoài ra, trong quá trình giải bài tập chúng ta thường sử dụng một số tính chất của phân thức:
a c a c a c
b d b d b d
BÀI TẬP VẬN DỤNG
I.KHỐI 10:
Bài toán 1: Vật m1 chuyển động với vận tốc vr1
tại A và đồng thời va chạm với vật m2 đang nằm yên tại đó Sau va chạm, m1 cóvận tốc vr1'
Hãy xác định tỉ số
' 1
1
v
v của m1 để góc lệch α giữa vr1
và vr1'
là lớn nhất αmax Cho
m1 > m2, va chạm là đàn hồi và hệ được xem là hệ kín
BÀI GIẢI
* Động lượng của hệ trước va chạm:
T
Pr = =Pr m vr
* Động lượng của hệ sau va chạm :
THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 1
s
p r
1
pr
2
p
r
Trang 2' ' ' '
S
Pr =Pr +Pr =m vr +m vr
Vì hệ là kín nên động lượng được bảo toàn :
1
Pr =Pr =Pr
( , ) ( , ).v v P P S
α = r r = r r
Ta có: '2 '2 2
P =P +P − PP α (1)
Mặt khác, vì va chạm là đàn hồi nên động năng bảo toàn:
m v =m v +m v ⇔ 12 12 12 12 22 2'2
m v m v m v
m = m + m ⇒ 12 1'2 2'2
m = m + m ⇔
2
1
(
m P P
P
m
−
Từ (1) và (2) ta suy ra:
'
'
(1 m P) (1 m P) 2cos
'
(1 m ).v (1 m ).v 2cos
Đặt
' 1
1
0
v
x
v
1 (1 m ).x (1 m ) 2cos
Để αmaxthì (cos )α min
min
1 (cos ) (1 m ).x (1 m )
α ⇔ + + −
Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau
1
⇒ + ÷ = − ÷
m m x
m m
−
⇔ =
+ Vậy khi
'
−
= + thì góc lệch giữa vr1
và ' 1
vr cực đại
Khi đó,
max
1
m
Bài toán 2:
Hai chuyển động trên AO và BO cùng hướng về O với 1 0
3
v
v = α = Khi khoảng cách giữa hai vật cực tiểu
là dmin thì khoảng cách từ vật một đến O là '
d = cm Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O
BÀI GIẢI
Gọi d1, d2 là khoảng cách từ vật một và vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = 0 )
Áp dụng định lý hàm sin ta có:
Vì 2 1
3
v
v = nên ta có:
0
3
d v t d v t d
THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 2
A
O B
d1’ d
d2’
α β γ
Trang 3Áp dụng tính chất của phân thức ta có:
0
3 sin 30 3 sin sin
d d d
−
− Mặt khác, tacó:
sinβ =sin(180 −β) sin(= α γ+ =) sin(30 +γ)⇒ 3 sinβ = 3 sin(300+ =γ) 3(sin 30 cos0 γ +cos30 sin )0 γ
0
3
d d d
−
0
d
+ +
3 cos sin
d
y
Khoảng cách giữa hai vật dmin ⇔ymax với y = 2
( 3 cosγ +sin )γ
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski:
( 3 cosγ +sin )γ ≤ (( 3) +1 ).(cos γ +sin γ) 2=
γ
⇔ = ⇒ = ⇒ = và β =1200
Lúc đó:
sin120
Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc này là: d 2 ’ = 90(m)
Bài toán 3: Cho cơ hệ như hình vẽ:
Cho biết: Hệ số ma sát giữa M và sàn là k2
Hệ số ma sát giữa M và m là k1.
Tác dụng một lực Frlên M theo phương hợp với phương ngang một góc α Hãy tìm Fmin để m thoát khỏi M.tính góc α tương ứng?
BÀI GIẢI
+ Xét vật m: P Nr1+ r1+Frms21 =mar (1)
Chiếu lên OX: Fms21= ma 21
1
mn F a m
⇒ = Chiếu lên OY: N1 – P1 = 0 ⇒ N1 = P1
⇒ Fms21= k1.N1 = k1.mg
1
k mg
m
⇒ = = Khi vật bắt đầu trượt thì thì a1 = k1mg
+ Xét vật M: F Pr+ + +r2 P Nr1 r2+Frms12 +Frms =(M m a+ )r2
THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 3
Fr
α
M m
O y
1
Pr
Fr
α
2
Pr
ms
Fr
21
ms
Fr
12
ms
r
2
Nr
x
Trang 4Chiếu lên trục OX: Fcosα −F ms12−F ms =(M m a+ ) 2 12
2
a
M m
α − −
⇒ =
+ Chiếu lên OY: Fsinα−(P P1+ 2)+N2 = ⇒0 N2 = + −P P1 2 Fsinα
Ta có: F ms12 =k mg1
F ms =k N2 2 =k P P2( 1+ −2 Fsin )α
2
F k mg k P P F
a
M m
⇒ =
+
1
F k mg k P P F
k g
M m
+
k g M m F α k α k mg k P P
2
k k Mg k k mg k k Mg k k mg
F
+ Nhận xét: Fmin ⇔ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski:
y= α+k α ≤ +k α+ α = +k
2
2
1
k k Mg k k mg F
k
+
2
sin
k
tg k
α = ⇒ =
Bài toán 4: Một con kiến bám vào đầu B của một
thanh cứng mảnh AB có chiều dài L đang dựng đứng
cạnh một bức tường thẳng đứng Vào thời điểm mà đầu
B của thanh bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc
không đổi v theo sàn ngang thì con kiến bắt đầu bò dọc
theo thanh với vận tốc không đổi u đối với thanh Trong
quá trình bò trên thanh , con kiến đạt được độ cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn? Cho đầu A của thanh luôn
tì lên sàn thẳng đứng
BÀI GIẢI
Khi B di chuyển một đoạn s = v.t thì con kiến đi
được một đoạn l = u.t
Độ cao mà con kiến đạt được:
h l= α =ut α với sin L2 v t2 2
L
α = −
Vói y = 2 2 2 4
L t −v t Đặt X = t2 ⇒ = −y v X2 2+L X
Nhận xét: hmax ⇔ ymax y là tam thức bậc hai có a = - v2 < 0 ⇒ ymax tại đỉnh Parabol
∆
−
4
4
L y
v
2
2
X
a v
= − =
THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 4
A
B
h B
ur
Trang 5Vây độ cao mà con kiến đạt được là : max max
2
Bài toán 5:
Hai vật chuyển động từ A và B cùng hướng về điểm O với cùng vận tốc Biết
AO = 20km; BO = 30km; Góc α =600 Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá chuyển động?
BÀI GIẢI
Xét tại thời điểm t : Vật A ở A’
Vật B ở B’
Khoảng cách d = A’B’
Ta có:
d AO vt BO vt
10
−
10
d
β γ β γ α
với β γ+ =1200 0
0
Nhận xét: dmin ⇔ (sin ) 1
2
γ β− =
II.KHỐI 11 :
Bài toán 1:
Cho mạch điện như hình vẽ:
Cho biết: ξ =12V, r = 4Ω, R là một biến trở.Tìm giá trị của R để công suất mạch
ngoài đạt giá trị cực đại
BÀI GIẢI
-Dòng điện trong mạch: I
R r
ξ
= +
- Công suất: P = I2.R =
2
2 (R r) R
ξ
2
2
R P
R rR r
ξ
= + + =
2
2
R r
R R
+
Đặt y ( R r )
R
y
ξ
⇒ = Nhận xét: Để Pma x⇔ymin
Theo bất đẳng thức Côsi: Tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau => ymin ⇔ R r
R
r = 4 ( )Ω thì
max
12 9( )
r r r r
+ +
Bài toán 2 : Hai điện tích q trái dấu đặt tại hai điểm A,B cách nhau 2a.Điểm M cách đều A,B và cách đoạn AB
một khoảng x
a) Xác định EM theo a và x
THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 5
E, r
R
γ α β
O
B
B’
Trang 6b) Xác định x để EM cực đại và tính giá tri cực đại đó ? Đa :a ) 2 2 3/2
2
M
kqa E
x a
= + b )x= 0 ;Emax =2kq
a
Bài toán 3 : Làm lại câu 7 với hai điện tích dương cùng dấu
Đa : a) 22 2 3/2
M
kqx E
x a
=
4
;
m
a
a +x = + +x ≥ → a +x ≥
lấy căn hai vế => ( )3/2 2
2
a
4
m
a
Bài toán 4 : Hai điện tích bằng nhau +Q được đặt trên trục x tại các điểm có tọa độ x1 = a và x2 = - a Hỏi một điện tích q phải đặt ở đâu trên trục z để lực tác dụng vào nó là cực đại ?
Đa : ( 2 2)3 / 2
2
a z
kQqz
F
+
= => Fmax khi
2
a
z=±
III.KHỐI 12 :
Bài toán 1:
Cho mạch điện như hình vẽ:
Cho biết: u AB =200 2 cos100 ( ).πt V
1
( )
π
= ,
4
10 ( )
2
π
−
a Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0
b Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 50 ( )Ω
BÀI GIẢI
a + Cảm kháng Z L =Lω =100( )Ω
+ Dung kháng: Z C 1 200( )
C
ω
+ Tổng trở: Z = R2+(Z L−Z C)2
+ Công suất : P = I2.R =
( L C)
+ −
2
2
( L C)
U P
Z Z R
R
⇒ =
−
2
(Z L Z C)
y R
R
−
2
U P y
⇒ =
+ Nhận xét: Theo bất đẳng thức côsi ymin ⇔ R= Z L−Z C =100( )Ω , lúc đó
max
200
200(W)
P
Z Z
Vậy Pma x = 200(W) khi R = 100 ( )Ω
b + Tổng trở Z = (R r+ )2+(Z L−Z C)2
+ Công suất
2
+ + −
THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 6
C L,r R
Trang 7⇔ 2 22 2.
U
=
2
U
R r
R
+ − + +
Đặt
y R r
R
+ −
= + +
2
U P y
⇒ = +Nhận xét: Để Pmax ⇔ ymin
Theo bất đẳng thức Côsi
min
( L C)
R
+ −
( L C)
2
U P
+ −
+ −
2
U P
2
U P
2
200
124( ) 2.( 50 (100 200) 50)
( L C) 100( )
R= r + Z −Z = Ω
*Mở rộng: Khi tính P của mạch:
+ Nếu Z L−Z C >r thì Pmax khiR= Z L−Z C −r
+Nếu Z L−Z C ≤rthì Pmax khi R = 0
Bài toán 2:
Cho mạch điện như hình vẽ:
4
200 2 cos100 ( )
10
AB
π
π
−
=
Cuộn dây thuần cảm và có thể thay đổi được độ tự cảm Hãy xác định L để hiệu điện thế UL đạt cực đại Tính giá trị cực đại đó?
BÀI GIẢI
+ Cảm kháng: Z L =Lω, dung kháng Z C 1 100( )
C
ω
( C L)
Z = R + Z −Z
L
U I Z
2
L
U
y
+ Nhận xét: để ULmax ⇔ymin, với y là tam thức bậc hai có a = R2+ZC2 > 0 nên
ymin tại đỉnh Parabol
Tọa độ đỉnh
'
L
b
ω
THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 7
C L R
Trang 8Thay số :
( ) 100.100
π π
+
L
U R Z
R
+
• Mở rộng: Nếu L = cosnt , tụ C có điện dung thay đổi tìm C để UC cực đại ta làm tương tự như trên và kết quả:
max
C C
U R Z
U
R
+
L C
L
R Z Z
Z
+
=
Bài toán 3:
Cho mạch điện như hình vẽ:
Cho biết: L 0.9( )H
π
= , UMN không đổi,
C thay đổi, RA = 0, RV rất lớn, tần số
của dòng điện f = 50Hz ; r = 90(Ω)
Hãy chứng tỏ rằng khi điều chỉnh C
để hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau một góc
2
π thì UC đạt giá trị cực đại
BÀI GIÀI
Mạch điện được vẽ lại :
Ta có : Z L =Lω =90( )Ω
+ Gianr đồ véc tơ:
Từ giản đồ véc tơ ta có:
4
r
tg
π
ϕ = = = ⇒ =ϕ .
1
C
+
+
α = − = − =ϕ
1
1
sin 4
MN
U
π +
Nhận xét: UC cực đại khi sin( 1 ) 1 1
2
π
ϕ ϕ+ = ⇒ + =ϕ ϕ =1 Theo bài ra: Hiệu điện thế trên các vôn kế lệch pha nhau
2
π
BM MN
⇔ r r = ⇔ + = ⇒Điều phải chứng minh
Bài toán 4:
Cho mạch điện như hình vẽ:
4
200 2 cos100 ( )
10
2
AB
π
π
−
=
Cuộn dây thuần cảm và có độ tự cảm L thay đổi được
THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 8
C L,r
M
V1
A
V2
ϕ1
ϕ2
C
Ur
L
Ur
r
Ur
BM
Ur
MN
Ur
o
C
L,r
M N B
V1
A
V2
M
C L
R
Trang 9Tìm L để UAM đạt giá trị cực đại Tìm giá trị cực đại đó.
BÀI GIẢI
Dung kháng:
1 200( )
C Z
C
ω
Z = R + Z −Z Z = R +Z
Ta có : U AM I Z AM U.Z AM
Z
1
AM
U
Đăt y =
2
2
L
R Z
− +
+ Nhận xét: UAM cực đại ⇔ =y ymin
'
L
Z Z Z Z R
y
R Z
=
+
2
L
0 2
L
Bảng biến thiên:
ZL 0 241 +∞
y’ - 0 +
Y
ymin
Vậy, khi ZL = 241(Ω) ⇒ L = 0,767(H) thì ymin ⇒UAM cực đại
max
482( )
2
AM
U
R
+ +
Bài toán 5:
Cho mạch điện như hình vẽ:
2 cos
AB
u =U ωt
R không đổi, cuộn dây thuần cảm có L không đổi Tụ C có điện dung thay đổi Tìm C để UAM cực đại? Tính giá trị cực đại đó?
BÀI GIẢI
AM
U Z
U I Z
+ − ⇔
2
2 1
AM
C
U
y
Z Z Z
R Z
− +
+
UAM cực đại khi y = ymin
THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 9
M
R
Trang 10Tương tự như bài toán 1, ta tìm được : Khi
4 2
C
=
thì ymin và UAM cực đại
max
2
AM
U
R
+ +
2
C
ω
=
+ +
THPT Ba Tơ Gv : Nguyễn Văn Tươi Trang 10
