Hãy tìm giá trị nguyên dơng của x, y, z để cho P đạt giá trị dơng nhỏ nhất.. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và các giá trị tơng ứng của x.. Tìm giá trị nhỏ nhất
Trang 1Ngày 29/8/2011.
Các bài Toán cực trị
A Bài tập.
Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = 242
) 1 (
1
x
x
+
+ với
0
≥
x
Bài 2 Cho P
z y x y x
x− + − + +
−
2
1
Hãy tìm giá trị nguyên dơng của x, y, z để cho P đạt giá trị dơng nhỏ nhất
Bài 3 Cho A
1
) 1 (
2 2
2
+
+ +
=
x
x
x Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và các giá trị tơng ứng của x
Bài 4 Cho hàm số y = x2 −2x+1+ x2 −6x+9 Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tơng ứng của x
Bài 5 Cho M = x+3−4 x−1+ x+15−8 x−1 Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị
t-ơng ứng của x
Bài 6 Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho bất đẳng thức sau đây luôn luôn đúng với
mọi số thực x:
A = (x+ 1 )(x+ 2 ) 2 (x+ 3 ) ≥m.
Bài 7 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y
1
7 8 2
2
+
+ +
=
x
x
Bài 8 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y = x3 −6x2 +21x+18, với 1
2
1 ≤ ≤
Bài 9 Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện: 2
1
1 1
1 1
+
+ +
+ +x y z Tìm giá trị lớn nhất của xyz
Bài 10 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 +3x+1
b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y =
4 2 4
2
+ +x x
x
Bài 11 Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện:
=
− +
= + +
4 3 4 3
6 3 2
z y x
z y x
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x + 3y – 4z
Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x2 + y2 khi có x2 +y2 −xy= 4
Bài 13 Cho ba số dơng a, b, c có tổng là một hằng số Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn
nhất
Bài 14 Cho biểu thức Q = 1 −x1 + 1 −x2 + 1 −x3 + + 1 −x1997 trong đó x1, x2, x3,…, x1997 là các biến số dơng và thoả mãn điều kiện x1+x2 +x3 + +x1997 = 1 Tìm giá trị lớn nhất của Q và giá trị tơng ứng các biến của nó
Bài 15 Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x.y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
y x y x M
+ + +
Bài 16 Cho các số thực không âm a1, a2, a3, a4, a5 có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của
Trang 217 Cho a, b > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x
b x a x
A= ( + )( + ) (với x > 0).
Bài 18 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x2 −2x+6 với x≤ − 1
Bài 19 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A= 5 −x + x− 1
Bài 20 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 2x2 −2x+5+ 2x2 −4x+4
Bài 21 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
x x
1
2 +
−
= với 0 < x < 1
Bài 22 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x2 + 8x+ 20 − x2 + 4x+ 40
Bài 23 Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 2 1
2
xy y x
+
Bài 24 Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện x.y.z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
) (
1 )
(
1 )
(
1
3 3
=
Bài 25 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x+4 x−1+ x−4 x−1.
Bài 26 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 5x2 + 2y2 + 4xy− 2x+ 4y+ 2005
Bài 27 Với giá trị nào của x thì biểu thức C = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ nhất
? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 28 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
abc
b a c a c b c b a M
3
) )(
)(
Bài 29 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
x
x y
2
4
−
Bài 30 a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x− 2 xy + 3y− 2 x + 2004 , 5 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: f(x) = 1 2 2
x+ − −
Bài 31 Cho x, y thoả mãn điều kiện x2 + y2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: M =x6 + y6
Bài 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 +xy+ y2 − 3x− 3y+ 2002
Bài 33 Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện: x+y+z= 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = −z2 +z(y+ 1 ) +xy.
Bài 34 Cho hai số thoả mãn đẳng thức: 4
4
1
8 2 + 2 + 2 =
x y
x Xác định x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 35 a) Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện: x.y = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = 4 2 2 4.
y x
y y
x
x
+
+ +
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B =
3
1
2
+ + +
x
Trang 3Bài 36 Tìm giá trị của x, y để biểu thức x2 − 6x+ 2y2 + 4y+ 11 + x2 + 2x+ 3y2 + 6y+ 4 Đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 37 Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó:
M =x− x−2005
Bài 38 a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 22 22
y xy x
y xy x
+
−
+ +
= Với x, y > 0
b) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:
B = x 9 x− 2 Với − 3 ≤x≤ 3
Bài 39 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =3 x−1+4 5−x Với 1 ≤x≤ 5
Bài 40 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
3 4
2 +
+
=
x
x
Bài 41 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P
c
c b
b a
a− 1+ − 1+ − 4
= Với 1 ≤ x≤ 5
Bài 42 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: 12 2 − 6 + 2 − 4 + 122 = 0
m m
mx
x (m> 0 ) Tìm m
để biểu thức A 3
2
3
1 x
x +
= đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
A =3 x−1+4 5−x Với 1 ≤x≤ 5
Bài 43 Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó:
B = x 25 x− 2 Với − 5 ≤x≤ 5
Bài 44 Cho x3 + y3 + 3 (x2 +y2 ) + 4 (x+y) + 4 = 0 và x.y> 0 Tìm giá trị lớn nhất biểu thức:
M
y x
1
1 +
=
Bài 45 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2 2
2
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B
6 4
4 + +
−
=
y x
y x
Bài 46 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y = −x2 +3x+18− −x2 +4x+5
Bài 47 Cho hai số dơng x và y có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A
xy y
5 1
2
+
Bài 48 Cho x2 +y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = ( 2 −x)( 2 − y)
Bài 49 Cho hai số dơng x, y thỏa mãn điều kiện:
2011
2010
= + y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu: S =
y
x 2010
1 2010
Bài 50 a) Cho hai bộ số (a1; a2) và (b1; b2) bất kì
Chứng minh rằng: (a .b +a b ) 2 ≤ (a2 +a2 )(b2 +b2 )
Trang 4b) Cho x, y≥ 0 và x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
3
3 y
x +
Bài 51. Cho a, b, c, d là các số nguyên không âm thoả mãn:
=
− +
= + + +
6 2 2
36 4
3 2
2 2 2
2 2 2 2
d b a
d c b a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = a2 +b2 +c2 +d2.
Bài 52 Tìm gí trị lớn nhất của biểu thức: A =
y
y x
x 1 − 2
+
−
B Hớng dẩn Giải:
1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 ) 2
1 ( ) 1 (
2 4
2
2 4
2
2 4
2 2
2
4
≤
+
−
= + +
−
= +
+
− + +
= +
+
x
x x
x
x x
x
x x
x x
2
1 ) 1 ( ) 1 ( 2
1 ) 2 1
( ) 2 1
( 2
1 ) 2 2 ( 2
1
Do đó A
2
1
Bài 2 Trớc hết ta chứng minh bài Toán phụ sau:
“Với a, b∈N* Chứng minh rằng:
b a
1
1 − đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi b=a+ 1”
Chứng minh:
Ta có:
b a
1
1 − đạt giá trị dơng nhỏ nhất thì
b
1 phải đạt giá trị lớn nhất nhng nhỏ hơn
a
1
Từ đó suy ra bphải nhỏ nhất nhng phải lớn hơn a
Mặt khác: Vì a, b∈N* nên chỉ có thể b=a+ 1 (đpcm)
Giải:
Ta có: P
z y x y x x z
y x y x
+
−
−
= + +
− +
−
−
2
1 1
1 1 2
áp dụng bài Toán phụ trên ta có: P đạt giá trị dơng nhỏ nhất thì
z y
x+ +
1 phả lớn nhất
+
−
−
y x x
1 1
2
1 phải nhỏ nhất nhng lớn hơn
z y
x+ +
1
+
−
−
y x x
1 1
2
1 đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi
y
x+
1 đạt giá trị dơng lớn nhất và
x
1 2
1
−
đạt giá trị dơng nhỏ nhất nhng lớn hơn
y
x+
1
Do vậy có
x
1 2
1 − đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi x= 3
Khi đó
6
1 1 2
1 − =
x và
y
x+
6
1 đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi x+y = 7 ⇒ y= 4
Khi đó
42
1 7
1 6
1 1
1 2
+
−
−
y x
z y
x+ +
42
1
đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi 36
43 ⇒ =
= +
Trang 5Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
1806
1 43
1 42
1
=
1
) 1 ( 1 1
) 1 2 ( ) 1 ( 1
2 2 2 1
) 1 (
2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
≥ +
+ +
= +
+ + + +
= +
+ +
= +
+ +
=
x
x x
x x x
x
x x x
x
1
) 1 ( 3 1
) 1 2 ( ) 1 ( 3 1
2 2 2 1
) 1 (
2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
≤ +
−
−
= +
+
−
− +
= +
+ +
= +
+ +
=
x
x x
x x x
x
x x x
x x
Từ đó các bạn có đợc kết quả của bài Toán
Bài 4 Ta có: y= x2 − 2x+ 1 + x2 − 6x+ 9 = (x− 1 ) 2 + (x− 3 ) 2 = x− 1 + x− 3
= x− 1 + 3 −x ≥ (x− 1 ) + ( 3 −x) = 2 = 2
Dấu “=” Xảy ra ⇔ (x− 1 )( 3 −x) ≥ 0 ⇔ 1 ≤x≤ 3
Bài 5 Ta có: M = x+ 3 − 4 x− 1 + x+ 15 − 8 x− 1 = ( x− 1 − 2 ) 2 + ( x− 1 − 4 ) 2
= x− 1 − 2 + x− 1 − 4 = x− 1 − 2 + 4 − x− 1 ≥ ( x− 1 − 2 ) + ( 4 − x− 1 ) = 2 Dấu “=” Xảy ra ⇔( x−1−2)(4− x−1)≥0⇔2≤ x−1≤4⇔5≤x≤17
Bài 6 Ta có: A = (x+ 1 )(x+ 2 ) 2 (x+ 3 ) = (x2 + 4x+ 3 )(x+ 2 ) 2 =[(x+ 2 ) 2 − 1].(x+ 2 ) 2
4
1 4
1 2
1 ) 2 ( 2
1 2
1 ) 2 ( 2
1 2
1 ) 2 (
2 2 2
2 + − + = + − − ≥ −
⇒ Giá trị nguyên lớn nhất của m là - 1
1
7
2
2
=
− +
−
−
⇔ + +
= +
⇔ +
+ +
x
x
+) Nếu y− 1 = 0 ⇔ y= 1 Khi đó phơng trình (*) trở thành:
4
3 0
6
8 − = ⇔ = −
+) Nếu y− 1 ≠ 0 ⇔ y= 1 Khi đó phơng trình (*) là một phơng trình bậc hai có:
∆' = (b' ) 2 −ac= 16 − (y− 1 )y− 7 ) = −y2 + 8y+ 9 = − (y− 4 ) 2 + 25
Để phơng trình (*) có nghiệm thì ∆'≥ 0 ⇔ − (y− 4 ) 2 + 25 ≥ 0 ⇔ (y− 4 ) 2 ≤ 5 2
⇔ − 5 ≤ y− 4 ≤ 5 ⇔ − 1 ≤ y≤ 9
Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số là (-1) và 9
2
1
2
1 < ≤
≤
Khi đó − =( −6 2 +21 1+18 )−
1
3 1
2 2
2
2
3
2 − x + x +
x
( ) 6 ( ) 21 ( ) ( )[( 2 ) 6 ( 1 2) 21]
2 2 1
2 1 2 1 2 1
2 2
2 1
3 2
3
Vì: 2[( ) 6 ( ) 21] ( 36 2 12 12 ) 2 6
2
2 1 2 1 2 1
2 2
2 1 2
1
2 2 2 1
2
1 +x x +x − x +x + = x +x + + x x − x − x +x +x +
x
( 6 ) 2 6 0
2
2 1
2 2
1 + − + + + >
Và x1−x2 < 0 (vì ta giả sử x1 <x2) (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 2 0 1 2 ( )
2
2
y − < ⇒ < ⇒ = là hàm số đồng biến
4
1 ) 1 ( 2
−
⇒ f y f y
+
− +
+
−
≥ +
⇔
≥ +
+ +
+
1 1 1
1 1 1
1 2
1
1 1
1 1
1
z
z y
y
x ≥ + + + +
⇔
1 1
1 1
(*)
Trang 6áp dụng bất đẳng thức Cô - Si cho hai số dơng
y
y
+
1 và
z
z
+
1 ta có:
) 1 )(
1 (
2 1
yz z
z y
y
+ +
≥ +
+
Từ (*) và (**) ta có:
) 1 )(
1 (
2 1
1
z y
yz
Tơng tự ta củng có:
) 1 )(
1 (
2 1
1
z x
xz
Và
) 1 )(
1 (
2 1
1
y x
xy
Từ (1), (2) và (3)
8
1 )
1 )(
1 )(
1 (
8 1
1 1
1 1
+ + +
≥ + + +
z y x
xyz z
y
4
5 4
5 2
3 4
9 1 2
3 2
3 2 1
3
2 2
2
+
=
− +
+ +
= + +
b) Ta có: y =
1 4
1 4
2 2 2
4 2
+
= + +
x x x
x x
áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dơng x2 và 42
x ta có:
⇒
=
≥
2
2 2
2
x
x x
x x
1 5
1 1 4 1
2 2
≤
⇒
≤ +
x