các vấn đề về đơn điệu và cực trị

Các ứng dụng đầu tiên 2 Tiếp tuyến : Đ/n ; pp viết pttt, các bài toán liên quan đến tiếp tuyến.. 3 Sự biến fthiên của hàm số.. Các thuật ngữ : hs đồng biến , hs nghịch biến , hs đơn điệu

Các vấn đề phổ biến của giải tích hàm một biến :

1) Đạo hàm :

Đ/n ; tính chất

Các ứng dụng đầu tiên

2) Tiếp tuyến :

Đ/n ; pp viết pttt, các bài toán liên quan đến tiếp tuyến

3) Sự biến fthiên của hàm số

Các thuật ngữ : hs đồng biến , hs nghịch biến , hs đơn điệu

Đạo hàm dương , đạo hàm âm , đạo hàm không âm , đạo hàm không dương

Đl : y= f(x) , có txđ D = R I là khoảng con của D

+) hs đb trên I thì f’(x)  0 ; x  I

+) h s nb trên I thì f’ (x)  0 ; x  I.

+) hàm số không đổi trên I thì f’(x) =0 trên I

ĐL2: : y= f(x) , có txđ D = R I là khoảng con của D

+) f’(x) >0 trên I thì y= f(x) đb trên I

+) f’ (x) <0 trên I thì y= f(x) nb trên I

+) f’(x) =0 trên I thì y= f(x) không đổi trên I

Cm : định lý la gơ răng :

y=f (x) l tục trên [a;b]

y= f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) khi đó

a b

a f b f







Các VD :

VD1 : xét cbt của hàm số :

2

1



VD2 : xét cbt của hàm số :

y = -x3 + 3x +10

VD3 : cmr hs y = f(x) = 2x + sin x đồng biến trên tập x định

VD4: Khảo sát sự biến thiên của hàm số ;



 x

Chú ý : 1)Mở rộng định lý 2 ta có

định lý 3: y=f(x) có txđ D I là tập con của D

I

2) Đk để hs đ đ trên một tập :

VD : ( ĐH thủy lợi HN năm 1997)

Tìm m để hs đb trên toàn bộ txđ :

3









Đk để một tam thức bậc hai luôn giữa một dấu trên R

T(x)=a.x2 b.xc

0

0

Chú ý : nếu a chưa khác 0 thì phải xét th a bằng 0

4) Cực tri hàm số:

Thuật ngữ : cực trị , cực tiểu , cực đại lân cân , khoảng

Gtln , gtnn địa phương người đẹp địa phương

Đạo hàm đổi dấu đk cấn để có cực tri , đk đủ để có cực tri Dấu hiệu nhận biết cực trị

a) Điểm cđ , điểm ct :

Đ/N : y=f(x) có txđ là D

+) x 0 đgl điểm cđ của hàm số f nếu tồn tại một khoảng K của x0 (KD) sao cho :

f(x)  f(x0); xK \ {x0 }.Khi đó gths tại x0 đgl gtcđ , k hiệu : fcđ

hay ycđ và x0 =xcđ

)

D

f (x)  f (x0) ,x  K\ {x0 } Khi đó gths tại x0 đgl gtcđ , khí hiệu

là fcđ hay ycđ và x0 =xcđ

b) Đk cần để h/s có cực trị :

Đl pec ma : nếu x0 : c trị , tồn tai f’(x0) thì f’(x0)=0

Cm : pp giới hạn chuyển về cm f’(x0) 0 ; f’(x0) 0

Chú ý : hàm số có cực trị tại xo thì f’(x0)=0 hoặc ko tồn tại f’(x0)

c ) Đk đủ để có cực trị :

Dấu hiệu I :

Đl : y= f(x) có Txđ D ; x0 thuộc D

i ) đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì xo : cđ

ii ) đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì xo : ct

Dấu hiệu II

Đl :

Y= f(x) có Txđ D ; x0 thuộc D Nếu f’’ (x0)  0

+) f’’ (x0) >0 thì x0 là điểm CT

+) f’’ (x0)<0 thì x0 là điểm CĐ

c) pp tìm cực trị :

dấu hiệu II

Các ví dụ :

VD1 : tìm cực tri hàm số :