Chuong 2. Ham nhieu bien so.ppt

Tích phân

; x

; x ( f )

M ( f u

) x ;

; x

; x ( M

R D

:

f

n 2

1 n

1

2 2

2 2

2 2

2

y x

1 )

y

; x ( f )

y

; x (

R 1

y x

: ) y

; x ( D

: f )

2

y x

) y

; x ( f z

) y

; x (

R R

: f )

( x x

Lim

0 )

x x

( Lim

) M

; M ( d Lim

i ip

p

n 1 i

2 i ip

p o

p p

M M

Lim

p

; M M

; x ( M

; D );

y , x ( f

) ( )

y

; x ( f lim Lim

) y , x ( f lim Lim

) ( )

y

; x ( f lim Lim

) y , x ( f lim Lim

o o

o o

o o

o o

y y x

x y

y x x

x x y

y x

x y y

2 2

1 2

 VÝ dô: TÝnh c¸c giíi h¹n lÆp sau:

1 1

1 1

0 2

2

2 2

0 0

0 2

2

2 2

0 0

Lim y

x

y

x lim Lim

J

) (

Lim y

x

y

x lim Lim

I

x y

x

y x

y

 Choưhàmưsốưuư=ưf(x1;ưx2;ư….;x.ư;ưxn)ưcóưtậpưxácưđịnhưDfư;ư

Moư(ưx1o;ưx2o;ư….;x.;ưxno)

Cốưđịnhưxjưkhácưxjoư,ưtaưtínhưgiớiưhạnưlặpưcủaưhàmưnư-1ưbiếnưx1;ưx2;ư….;xư;ưxjư-ư1;ưxj+1ư;ư….;xư;ưxnư:

) x ( )

x

; ;

x

; x ( f lim

lim lim

lim

x x

x x

x x

x x

x

x j jo 



M ( f )

M

; M ( d M :

;

) L )

M ( f Lim (

L )

y

; x ( f Lim

o

M

M y

y x

o o

0 0

0

0 0

0 0

2 2

2 2

2 2

2 2

0 0

y

; x (

y y

x

xy y

)

; ( )

y

; x ( y

y y

x

x y

x

xy

y x

xy Lim

I

y x

2 2

0

0 x y

xy Lim

M ( f )

M ( f

; x ( f )

y y

; x x

( f )

y

; x ( f

) ( )

y

; x ( f Lim

)

(

o o

o o

o o

y x

0 0

0

3 2

M ( f )

' M ,

M ( d D '

M ,

M

: , 0 0

0

0 0 0

0

0

2 2

; x (

)

; ( ) y

; x

( y

x

xy )

y

; x ( f

t

ChØ­cÇn­xÐt­t¹i­(0,0):

Nªn­hµm­liªn­tôc­taÞ­(0;0)­khi­t­>­1

1 0

1 0

0

0 2

1

0 0

0 0

1 2 2

y

; x ( f Lim

t khi )

y

; x ( f Lim

)

; ( ) y

; x ( )

y x

( )

y

; x ( f

y x

y x

t t

; x ( f ) y y

; x (

f Lim y

) y

; x (

f Lim

) y

; x

; x ( f ) y

; x x

(

f Lim x

) y

; x (

f Lim

) y

; x

(

x

f

o o

o o

y

o o

y y

o o

'

y

o o

o o

o o

x

o o

x x

o o

'

x

o o

0 0

 Chó ý:

y xy

y x )

y

; x ( f : VD

x ln x

f

; yx

f

: ) x

( x )

y

; x ( f :

VD

y

' y

y

' x

y

5 3

2

0 1

3 2

B x

A

 Hàmưkhảưviưthìưliênưtục

 Nếuưf(x;y)ưkhảưviưtạiưMoưthìưnóưcóưcácưđhrưcấpư1ưtạiưđóưvà

củaưMoưvàưchúngưliênưtụcưtạiưMoưthìưf(x;y)ưkhảưviưtạiưMoưvàư

y y

f x

y y

f x

) ( y

) y

; x ( f x

) y

; x ( f )

y

; x ( f

) y y

; x x

(

f

o o

' y o

o

' x o

7 2

 §Þnh­nghÜa:­Cho­f(x;y);­f’x,­f’y

''

'' yx

'' xy

'' x

f

f f

f y

x

f y

f x

f x

y

f x

f y

f x

f x

f

2 2

2 2 2

dx x

f d

2 2

( f

dy y

dx x

f d

n n

8 2

) (

( ) (

) (

: )

V



c) Điều kiện đủ:

Giảưsửưhàmưf(x;y)ưcóưcácưđhrưđếnưcấpư2ưliênưtụcư

trongưV(Mo)ưvàưf’x(xo;ưyoư)ư=ưf’y(xo;ưyo)ư=ư0

ĐặtưAư=ưf’’xx(xo;ưyo);ưB=ưf’’xy(xo;ưyo)ưCư=ưf’’yy(xo;ưyo).ưKhiưđó

*ưNếuưB2ư–ưACư<ư0ưthìưMoưlàưđiểmưcựcưtrịưcủaưhàm:A<ư0:ưHàmưđạtưcựcưđạiưtạiưMo

Aư>ư0:ưHàmưđạtưcựcưtiểuưtạiưMo

*ưNếuưB2ư–ưACư>ư0ưthìưMoưkhôngưphảiưlàưcựcưtrịưcủaưf

*ưNếuưB2ư–ưACư=ư0ưthìưchưaưcóưkếtưluậnưgì

2.5.2 Cực trị có điều kiện:

a)ưKháiưniệm:ưCựcưtrịưcủaưhàmưzư=f(x;y)ưtrênưDưvớiư

đượcưgọiưlàưcựcưtrịưcóưđiềuưkiện

* Điều kiện cần để có cực trị có điều kiện:

GiảưsửưMo(xo;ưyo)ưlàưcựcưtrịưcóưđiềuưkiệnưcủaưfưvớiư

điềuưkiệnư(2.9)ưvàư

(i)ưf(x;y);ưg(x;y)ưcóưcácưđhrưưcấpư1ưliênưtụcư/ưV(Mo).(ii)ưg’x(Mo)ưvàưg’y(Mo)ưưkhôngưđồngưthờiưbằngư0.ưKhiư

0 t

L

x L

0 y

2.5.3.ưGiáưtrịưlớnưnhấtưvàưnhỏưnhấtưcủaưhàmưnhiềuưbiếnưtrongưmiềnưđóngưvàưbịưchặn: