Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 4: Tối ưu hàm nhiều biến số với ràng buộc đẳng thức - Phương pháp cổ điển

Đó chính là những biểu thức hàm ràng buộc g i (x) thường là các hàm phi tuyến phức tạp nên khó có thể rút ra được biểu thức biểu diễn tham biến qua các tham biến khác từ nhữn[r]

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 04:

TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC:

PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN

Thời lượng: 3 tiết

Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc đẳng thức

Tìm cực tiểu (Minimum) của hàm nhiều biến sau:

Với các điều kiện ràng buộc đẳng thức:   0

j

g





x

T n



x

Điều kiện: m ≤ n  Nếu m > n bài toán sẽ không có lời giải

Có 3 phương pháp giải:

1 Phương pháp thế trực tiếp (direct substitution)

2 Phương pháp biến đổi ràng buộc (constrained variation)

3 Phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multipliers)

 

f x

Phương pháp thế trực tiếp

Từ m ràng buộc đẳng thức, ta biến đổi và thu được các biểu thức tính m biến số thông qua (n-m) biến số còn lại (trong số n biến số tất cả) Từ đó thế vào biểu thức hàm f ban đầu Như vậy hàm f sẽ trở thành hàm có (n-m) biến số nhưng không còn ràng buộc nào hết Ta quay trở về bài toán tối ưu không ràng buộc

 

2

1

, , ,

1

, ,

, in

j

n

m

n

x

x























 



x

x

T



x

(n-m) tham biến cơ sở m tham biến cần triệt tiêu trong f

Từ:

Hàm (n-m) biến số

Phương pháp thế trực tiếp

Tối ưu hàm số sau: f x x x 1, 2, 3   8x x x1 2 3

Với ràng buộc: x12  x22  x32 1

3 1

n m





Tìm biểu thức liên hệ của 1 tham biến vào 2 tham biến còn lại:

x  x  x   x   x  x

Thế vào hàm f ban đầu:

f x x x  f x x  x x  x  x Tối ưu hàm 2 biến

không ràng buộc

Giải hệ phương trình Gradient = 0:

 

1 2

2 2 2

1 2

0

1

f

f

x





x

Tính ma trận Hessian tại điểm dừng:

 

2

1 1 2

x x x x x x x x x x

f f

x x x

f f x x x x x x x x x x

x x x

  



H

1 2

32 16

32

0

3

16 32

256 0

A A

 



 



Điểm dừng

Điểm cực đại

max

T

f

Phương pháp thế trực tiếp có vẻ đơn giản

về mặt lý thuyết, nhưng trên thực tế lại có những hạn chế khi sử dụng Đó chính là

những biểu thức hàm ràng buộc gi(x) thường là các hàm phi tuyến phức tạp nên khó có thể rút ra được biểu thức biểu diễn tham biến qua các tham biến khác từ những hàm phức tạp này

Chính vì vậy, chúng chỉ có thể áp dụng ở

một số trường hợp hàm gi(x) đơn giản

Phương pháp thế trực tiếp

Vi phân bậc r của hàm f

Nếu tất cả các đạo hàm riêng của hàm f với bậc r ≥ 1 tồn tại và

liên tục tại điểm x*, thì đa thức sau đây được gọi là vi phân bậc r của hàm f tại điểm x*:

1 1 2 1 1 1 2

r

r

n n n r

f

x x x

  



    

x

Trong đó:

1 , 2, , ;

; 1 ;

1

n

k

x x x

dx x x

i n

k r





 





x

Có n r

hạng tử

Vi phân bậc r của hàm f

f x x  x x x  x x 

1

;

; 1 2

i i i

dx x x i

x n=2, r=1  Có

2 1 =2 hạng tử

2

; 1 2

i i i

dx x x i

*

x

n=2, r=2  Có

2 2 = 4 hạng tử

Vi phân bậc r của hàm f

f x x  x x x x  x x x  

1

;

; 1 3

i i i

dx x x i

x n=3, r=1  Có

3 1 = 3 hạng tử

     

2

      

       

*

x

; 1 3

     

  

n=3, r=2  Có

3 2 = 9 hạng tử

Dãy TAYLOR của hàm f(x) quanh điểm x*

   

1

,

1 ,

1 !

N

N

N N

T n T n

N

N





























 







*

*

x x