Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 3: Tối ưu hàm nhiều biến số không có ràng buộc

Tại vị trí cân bằng thì thế năng của hệ là cực tiểu.[r]

CHƯƠNG 03:

TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

KHÔNG CÓ RÀNG BUỘC

Thời lượng: 3 tiết

Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc

  , 1, 2, , n

f x x  x x x

Tìm các điểm cực trị (Extreme points) và các điểm “Yên ngựa”

(Saddle points) của hàm

Giải hệ phương trình

T

n

f

Giả sử có m nghiệm

T n

T

n













x

x

Tính ma trận Hessian tại

một điểm bất kz  

2

2

2

n

n

      

      

     

H

Tính ma trận Hessian tại m

điểm nghiệm ở bước 1     1 ;    2 ; ;   m

Dựa vào dấu của các ma trận Hessian tại các điểm để xác

định cực trị hay điểm yên

Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc

Giả sử ma trận Hessian tại

điểm nghiệm i có dạng    

; 1

i

n n

x

H

Tính định thức của n ma trận thành phần:

11 12

1 11 2

21 22

n

n n

A



1 Nếu tất cả A1, A2, …, A n > 0 thì ma trận [H] > 0 x(i) – cực tiểu

2 Nếu dấu của A j là (–1)j (j=1 n) thì [H] < 0 x(i) – cực đại

3 Nếu một vài A j > 0 và 1 vài cái A j < 0 hoặc = 0  x(i) – Điểm

yên

11 12 13

3 21 22 23

31 32 33



Tối ưu hàm nhiều biến không ràng buộc

Cho 2 vật rắn không ma sát A, B liên

kết bởi 3 lò xo đàn hồi với độ cứng

lần lượt là k1, k2, k3 Các lò xo ở vị trí

tự nhiên (không co – giãn) khi P=0

Với P≠0 hãy tìm các chuyển vị x1, x2

theo nguyên l{ cực tiểu thế năng

U 

công của

ngoại lực

Dưới tác dụng của lực P, 2 vật sẽ có chuyển vị x1, x2 để đến vị trí cân bằng Tại vị trí cân bằng thì thế năng của hệ là cực tiểu

Do đó, để tìm x1, x2 ta có thể tìm cực trị hàm U

    2 2  2

1 2 1 2 2 1 3 2 1 2

,

     

3 1

1 2 2 3 3 1

1 2 1 3 2 1

2

0

k U

U







x

Có một nghiệm duy nhất, có nghĩa là chỉ có 1 vị trí cân

bằng và ổn định