Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 6: Tối ưu hàm nhiều biến số với ràng buộc tổng quát - Phương pháp cổ điển

Nếu rank(A)=M tức là bằng số lượng véc tơ thì hệ độc lập tuyến tính. Nếu khác rank(A)≠M thì hệ phụ thuộc tuyến tính.[r]

Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh

Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG 06:

TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VỚI RÀNG BUỘC TỔNG QUÁT:

PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN

Thời lượng: 3 tiết

Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát

 

f x

Tìm cực trị (Optimum) của hàm nhiều biến sau:

Với m điều kiện ràng buộc bất đẳng thức:

T n



x

1, 2, ,

j

g





x

Với p điều kiện ràng buộc đẳng thức:   0

1, 2, ,

l

h





x

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker

, ,

p m

T

 

p m

j j

j

j

j

l

i n

f

j m f

























x x

x x x

Điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (Tiếp)

1

2

p

x x

x



















 

 

 

 

Giải hệ

(1)÷(5) với

(n+m+p) ẩn,

ta có:

Kiểm tra J 1 véctơ Gradient của hàm bất đẳng thức ràng buộc g tại điểm cực trị và p véc tơ Gradient của hàm đẳng thức ràng

buộc h tại điểm cực trị x*, phải là không phụ thuộc tuyến tính

với nhau Nếu vậy thì x*, λ*, η* sẽ là điểm cực trị

 

j

j

g





1

l

h







x

Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính

Cho M = J 1 +p véc tơ:

p

T n



x

x M

N

Trường hợp 1: Khi M > N  Các véc tơ sẽ luôn phụ thuộc tuyến tính

Trường hợp 2: Khi M = N Ta tính det(A) Nếu det(A) = 0 thì phụ thuộc

tuyến tính, ngược lại thì không phụ thuộc tuyến tính

Trường hợp 3: Khi M < N, Ta tính rank(A) Nếu rank(A)=M tức là bằng

số lượng véc tơ thì hệ độc lập tuyến tính Nếu khác rank(A)≠M thì hệ phụ thuộc tuyến tính

Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính

 

2

x

M

M

M

M

M

M

N M

M

1

A

Xác định M véc tơ v sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ

thuộc tuyến tính

Đưa về dạng bậc thang

Xác định hạng Rank(A)

 

x

M

M

N M

M



A

1) Nếu Rank(A)=M  Các véc tơ v là độc lập tuyến tính

2) Nếu Rank(A)<M  Các véc tơ v là phụ thuộc tuyến tính

Do Rank(A)≤N, nên nếu N < M thì Rank(A)<M, có nghĩa là nếu N<M thì các véc tơ v sẽ luôn phụ thuộc tuyến tính

Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính

Không phụ thuộc/phụ thuộc tuyến tính

Xác định 3 véc tơ v sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc

tuyến tính



  Gaussian Elimination

9

A

4 3

N M







Rank(A)=3=M

Kết luận: 3 véctơ v là độc lập tuyến tính

Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc tổng quát

Với 2 ràng buộc bđt: x1  6x2 3x3  0; x3  0 3

2 1

n m p





 



 



Với 1 ràng buộc đt: 5x1  3x2  4x3  20  0



x λ η

x1 x2 x3T ;   1 2T ;   1 T

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

3

1

2

L

x x

L

x x

L

x

x x x

x

x x x

x

x x x























 

     









 







 



 











Giải hệ

PT tìm

6 ẩn

Hệ PT (4) và (5) sẽ tương đương với 4 trường hợp con như sau: