35 dạng toán khảo sát hàm số pdf

 0 giá trị của m  Kết hợp với điều kiện 1 đưa ra kết quả Chú ý: ĐTHS trùng phương cĩ trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS cĩ các điểm CĐ, CT ĐTHS cĩ ba điểm cực trị trong đĩ cĩ hai điểm

Dạng 1: Cho hàm số yf x m( , ) cú tập xỏc định D Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trờn D

Cỏch giải

 Hàm số đồng biến trờn D '

0,

 Hàm số nghịch biến trờn D '

0,

Chỳ ý:

Nếu y'ax2bx c thỡ: ' 0, 0

0

a

y      

 



0

a

y      

 



Ă

Dạng 2: Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số yf x m( , ) đơn điệu trờn một khoảng ( ; )a b

Cỏch giải

 Hàm số đồng biến trờn '

( ; )a b  y   0, x ( ; )a b

 Hàm số nghịch biến trờn '

( ; )a b  y   0, x ( ; )a b

 Sử dụng kiến thức:

( ; )

( ), ( ; ) max ( )

a b

mf x  x a b  m f x và mf x( ), x ( ; )a b  mmin ( )( ; )a b f x

Dạng 3: Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số yf x m( , )ax3bx2cx d đơn điệu trờn

một khoảng cú độ dài bằng k cho trước.

Cỏch giải

 Ta cú: ' 2

y  ax  bx c

 Hàm số đồng biến trờn khoảng ( ; )x x  PT: 1 2 '

0

y  cú hai nghiệm phõn biệt x và 1 x2

0

0

a 



 

 

 (1)

 Biến đổi x1 x2 k thành 2 2

(x x )  4x x k (2)

 Sử dụng định lý Viet, đưa phương trỡnh (2) thành phương trỡnh theo m

 Giải phương trỡnh, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 4: Tỡm điều kiện của tham số m để hàm số yf x m( , ) cú cực trị

Cỏch giải

 Đối với hàm số: y ax 3bx2cx d Khi đú, ta cú: y'3ax22bx c

Hàm số cú cực trị  Hàm số cú CĐ và CT  PT: y'3ax2 2bx c 0 cú hai nghiệm phõn biệt

 Đối với hàm số:

2

ax bx c y

mx n



 Khi đú, ta cú:

2 '

y

Hàm số cú cực trị  Hàm số cú CĐ và CT

 PT: ( ) 0g x  cú hai nghiệm phõn biệt khỏc  n Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số yf x m( , ) đạt cực trị tại điểm x0

Cách giải

 Hàm số yf x m( , ) đạt cực trị tại điểm '

0 ( ) 00

x  y x 

 Hàm số yf x m( , ) đạt cực đại tại điểm

' 0

0

( ) 0 ( ) 0

y x x

y x



 





 Hàm số yf x m( , ) đạt cực tiểu tại điểm

' 0

0

( ) 0 ( ) 0

y x x

y x



 





 Hàm số yf x m( , ) đạt cực trị bằng h tại điểm

' 0 0

0

( ) 0 ( )

y x x



 





Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số yf x m( , ) có cực trị tại hai điểm x , 1 x và2

các điểm cực trị đó thỏa mãn một hệ thức (I) nào đó

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị (*)

 Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x2

 Biến đổi hệ thức (I) đã cho và vận dụng định lý Viet để tìm được m

 Kết hợp với điều kiện (*) đưa ra kết quả

Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số yf x( )

Cách giải

 Đối với hàm số 3 2

y ax bx cx d :

 Thực hiện phép chia đa thức y cho '

y và viết hàm số dưới dạng:

'

( )

y u x y Mx N

 Gọi A x y B x y là hai điểm cực trị Khi đó: ( ; ), ( ; )1 1 2 2 y1 Mx1N và y2 Mx2N

 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y Mx N 

 Đối với hàm số

2

ax bx c y

mx n



 Chứng minh bổ đề: Nếu hàm số ( )

( )

u x y

v x

 có

' 0 0

( ) 0 ( ) 0

y x

v x







' 0

0

( ) ( )

( )

u x

y x

v x



Thật vậy, ta có:

'

2

( ) ( ) ( ) ( )

( )

u x v x u x v x y

v x





Do đó: y x'( ) 00   u x v x'( ) ( )0 0  u x v x( ) ( ) 00 ' 0 

0

( )

y x

 Áp dụng bổ đề:

Gọi A x y B x y là hai điểm cực trị Khi đó: ( ; ), ( ; )1 1 2 2 1

1

2ax b y

m



2

2ax b y

m





 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: y 2a x b

Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục tung

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1)2

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2)2

 A và B nằm về hai phía đối với trục Oy x x1 20 (sử dụng hệ thức (2))

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1)2

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2)2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7)2

 Các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục Oy y y1 2 0 (sử dụng hệ thức (2))

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 10: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm cực trị nằm về hai phía đối với đường thẳng :d Ax By C  0 cho trước

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1)2

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2)2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7) 2  Tọa độ các điểm cực trị:

( ; )

A x y , B x y( ; )2 2

 A và B nằm về hai phía đối với d  (Ax1By1C Ax)( 2 By2C) 0  kết quả

Chú ý:

A và B nằm về cùng một phía đối với d  (Ax1By1C Ax)( 2By2C) 0

Dạng 11: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm CĐ và CT đối xứng với nhau qua đường thẳng :d Ax By C  0

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1)2

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2)2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7) 2  Tọa độ các điểm cực trị:

( ; )

A x y , B x y( ; )2 2

 A và B đối xứng với nhau qua d AB d

I d





 



  giá trị m

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

trong đó I là trung điểm của AB

A I B

d

Dạng 12: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm CĐ và CT cách đều đường thẳng :d Ax By C  0

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1)2

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2)2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7) 2  Tọa độ các điểm cực trị:

( ; )

A x y , B x y( ; )2 2

 A và B cách đều đường thẳng AB d/ /

I d



  

  giá trị m

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 13: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) có các điểm cực trị A và B thỏa mãn một hệ thức nào đó (VD: AB k AB , ngắn nhất, OA 2OB…)

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị x và 1 x (1)2

 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa x và 1 x (2)2

 Tính các giá trị y và 1 y (tính giống như ở Dạng 7) 2  Tọa độ các điểm cực trị:

( ; )

A x y , B x y( ; )2 2

 Từ hệ thức liên hệ giữa các điểm A, B ta tìm được giá trị của m

Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng :d Ax By C  0 sao cho tổng khoảng cách từ điểm

M đến hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yf x( ) là nhỏ nhất

Cách giải

 Tìm các điểm cực trị A x y và ( ; )1 1 B x y của ĐTHS ( ; )2 2 yf x( )

 Viết phương trình đường thẳng AB

 Kiểm tra xem A va B nằm về cùng một phía hay nằm về hai phía đối với đường thẳng d

+ Nếu: (Ax1By1C Ax)( 2By2C) 0  A và B nằm về hai phía đối với d

Khi đó: MA MB AB  Do đó: MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của AB với đường thẳng d

+ Nếu: (Ax1By1C Ax)( 2By2C) 0  A và B nằm về cùng một phía đối với d

- Xác định tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d

- Khi đó: MA MB MA  'MB A B ' Do đó: MA MB nhỏ nhất  M là giao điểm của A’B với đường thẳng d

trong đó I là trung điểm của AB

A*

*B

d

*M

*M0

A, B nằm về hai phía

B

M

A

A ’

d

H

A, B nằm về cùng một phía

Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số yf x m( , ) cĩ các điểm CĐ, CT và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng :d Ax By C  0 một gĩc bằng 

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số cĩ các điểm cực trị (1)

 Viết phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực trị

1

d d

d d























P tạo với d góc

giá trị của m

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 16: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số y ax 4bx2c cĩ các điểm CĐ, CT tạo thành một tam giác vuơng cân

Cách giải

 Tìm điều kiện của m để hàm số cĩ các điểm cực trị (1)

 Tìm tọa độ các điểm cực trị A, B, C của ĐTHS

 Xác định xem ABC cân tại điểm nào, giả sử cân tại A

 Khi đĩ: ABC vuơng cân  OA OBuur uuur.  0

giá trị của m

 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Chú ý: ĐTHS trùng phương cĩ trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS cĩ các điểm CĐ, CT ĐTHS

cĩ ba điểm cực trị (trong đĩ cĩ hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua trục Oy)

Dạng 17: Tìm giá trị của m để tiệm cận xiên của ĐTHS

2

ax bx c y

mx n



 chắn trên hai trục tọa độ một tam giác cĩ diện tích bằng k

Cách giải

 Tìm đường tiệm cận xiên của ĐTHS

 Tìm tọa độ giao điểm ( ;0)A x A và (0;B y của TCX với các trục tọa độ B)

OBy  S  OA OB x y

 Từ đĩ, suy ra kết quả của m

Dạng 18: Tìm các điểm M trên đồ thị (C): y ax b

cx d





 sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến giao điểm của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

Cách giải

 Tìm các đường tiệm cận của ĐTHS  Giao điểm A và B của hai đường tiệm cận

 Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số dưới dạng: y p q

cx d

 



B

y

O

 Gọi M m p; q ( )C

cm d



  Tính khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận

 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm  kết quả

Chú ý:

- Khoảng cách từ M x y đến đường thẳng :( ; )0 0  Ax By C  0 là: (M; ) 0 2 0 2

d







- Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm A và B: A B 2 AB Dấu “=” xảy ra  A B

- Đối với hàm số dạng

2

ax bx c y

mx n



 cách làm hoàn toàn tương tự

Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C yf x( ) tại điểm M x y( ; )0 0

Cách giải

 Xác định x và 0 y0

 Tính y Từ đó suy ra: ' '

0

( )

y x

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: yy x'( )(0 x x 0)y0

Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C yf x( ) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng k

Cách giải

 Xác định k

 Tính '

( )

f x và GPT '

( )

f x k để tìm hoành độ tiếp điểm x Từ đó suy ra: 0 y0 f x( )0

 PT tiếp tuyến cần tìm: y k x x (  0)y0

Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) :C yf x( ) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm ( ;A A)

A x y

Cách giải

 Gọi  là đường thẳng đi qua điểm ( ;A x y và có hệ số góc k A A)  PT :y k x x( A) y A

    (*)

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( ) ' ( ) (1)

( ) (2)

k f x









có nghiệm

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: f x( )f x x x'( )(  A)y A (3)

 Giải phương trình (3) ta được x k (thay vào (2))  PT tiếp tuyến cần tìm (thay vào (*))

Dạng 22: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M có thể kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị

( ) :C yf x( )

Cách giải

 Giả sử: M x y Phương trình đường thẳng ( ; )0 0  qua M và có hệ số góc k có dạng:

y k x x  y

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( ) ' ( 0) 0 (1)

( ) (2)

k f x









có nghiệm

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: '

( ) ( )( ) (3)

f x f x x x y

 Khi đĩ, từ M kẻ được n tiếp tuyến đến (C)  PT (3) cĩ n nghiệm phân biệt  kết quả

Dạng 23: Tìm các điểm M sao cho từ điểm M cĩ thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị

( ) :C yf x( ) và hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau

Cách giải

 Giả sử: M x y Phương trình đường thẳng ( ; )0 0  qua M và cĩ hệ số gĩc k cĩ dạng:

y k x x  y

  là tiếp tuyến của (C)  HPT: ( ) ' ( 0) 0 (1)

( ) (2)

k f x









cĩ nghiệm

 Thay k từ (2) vào (1) ta được: '

( ) ( )( ) (3)

f x f x x x y

 Khi đĩ, qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C)  PT (3) cĩ 2 nghiệm phân biệt x và 1 x2

 Hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau  f x f x'( ) ( )1 ' 2  1 kết quả

Chú ý:

Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía đối với trục hồnh

(3) ( ) ( ) 0

f x f x



 



 có 2 nghiệm phân biệt

Dạng 24: Tìm các giá trị của m để đồ thị ( ) :C1 yf x m( , ) cắt đồ thị ( ) :C2 y g x ( ) tại n điểm phân biệt

Cách giải

 ( )C cắt 1 ( )C tại n điểm phân biệt 2  PT: ( , )f x m g x( ) cĩ n nghiệm phân biệt

 Tìm m bằng một số cách: dựa vào điều kiện cĩ nghiệm của PT bậc hai, dựa vào bảng biến thiên, dựa vào đồ thị … kết quả

Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ( , ) 0F x m 

Cách giải

 Biến đổi phương trình ( , ) 0F x m  về dạng: ( ) f x g m( ), trong đĩ đồ thị yf x( ) đã vẽ

đồ thị

 Số nghiệm của PT đã cho chính là số giao điểm của đồ thị ( ) :C yf x( ) với đường thẳng

d y g m

 Dựa vào số giao điểm của d với (C)  kết quả

Dạng 26: Tìm giá trị của m để đường thẳng :d ypx q cắt đồ thị ( ) :C y ax b

cx d





 tại hai điểm phân biệt M, N sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất

Cách giải

 d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt  PT: ax b px q

cx d



 cĩ hai nghiệm phân biệt

 PT: Ax2Bx C  (1) cĩ 2 nghiệm p.biệt khác 0 d

c



 điều kiện của m (*)

 Khi đó, d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt M x y và ( ; )1 1 N x y Theo định lý Viet ta có( ; )2 2

mối liên hệ giữa x và 1 x (2 x và 1 x là hai nghiệm của pt (1))2

MN  x  x  y  y  kết quả của m để MN là nhỏ nhất

Chú ý: - Khi tính y và 1 y ta thay 2 x và 1 x vào phương trình của đường thẳng 2 d

- OMN vuông  OM ONuuur uuur  0 x x1 2y y1 2 0

- Đối với đồ thị của hàm số

2

( ) :C y ax bx c

mx n



 cách làm hoàn toàn tương tự

Dạng 27: Tìm giá trị của m để đường thẳng :d ypx q cắt đồ thị ( ) :C y ax b

cx d





 tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C)

Cách giải

 Xác định tiệm cận đứng của (C)

 d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C)

 PT: ax b px q

cx d



 có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với TCĐ

 PT: Ax2Bx C  (1) có hai nghiệm p.biệt khác 0 d

c

 và nằm về cùng một phía với TCĐ

 kết quả của m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm cùng một phía đối với đường thẳng)

Dạng 28: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị ( ) :C y ax 3bx2cx d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Cách giải

 Điều kiện cần:

 Hoành độ các giao điểm x x x là nghiệm của PT: 1, ,2 3 ax3bx2cx d 0 (1)

 Theo định lý Viet, ta có: x1 x2 x3 b

a

   (2)

 Do x x x lập thành một cấp số cộng, nên: 1, ,2 3 x1x3 2x2 Thay vào (2): 2

3

b x

a



 Thay vào (1), ta được giá trị của m

 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không

 Kết luận: Đưa ra giá trị của m

Dạng 29: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị ( ) :C y ax 3bx2cx d cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số nhân

Cách giải

 Điều kiện cần:

 Hoành độ các giao điểm x x x là nghiệm của PT: 1, ,2 3 ax3bx2cx d  (1)0

 Theo định lý Viet, ta có: 1 2 3

d

x x x

a

 (2)

 Do x x x lập thành một cấp số nhân, nên: 1, ,2 3 2

x x x Thay vào (2): 3

2

d x

a



 Thay vào (1), ta được giá trị của m

 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không

 Kết luận: Đưa ra giá trị của m

Dạng 30: Cho họ đường cong (C m) :yf x m( , ), với m là tham số Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên đi qua với mọi giá trị của m

Cách giải

 Gọi A x y là điểm cố định của họ ( )( ; )0 0 C Khi đó ta có: m

0

A

x B









và

o

y  điểm cố định A

 Kết luận các điểm cố định mà họ (C luôn đi qua m)

Dạng 31: Cho họ đường cong (C m) :yf x m( , ), với m là tham số Tìm các điểm mà họ đường cong trên không đi qua với mọi giá trị của m

Cách giải

 Gọi A x y là điểm mà họ ( )( ; )0 0 C không đi qua m m

 Khi đó phương trình ẩn m: y0 f x m( , )0 vô nghiệm  điều kiện của x và 0 y0

Dạng 32: Cho đồ thị ( ) :C yf x( ) Vẽ đồ thị của hàm số yf x 

Cách giải

 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C yf x( )

 Ta có:   ( )

( )

f x

y f x

f x







 Do đó, đồ thị của hàm số yf x  là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm ở bên phải trục Oy

 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Oy

Dạng 33: Cho đồ thị ( ) :C yf x( ) Vẽ đồ thị của hàm số y f x( )

Cách giải

 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C yf x( )

 Ta có: ( ) ( )

( )

f x

y f x

f x







 Do đó, đồ thị của hàm số y f x( ) là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị (C) bên trên trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) ở bên dưới trục Ox qua trục Ox

nếu nếu

nếu nếu

Dạng 34: Cho đồ thị ( ) :C yf x( ) Vẽ đồ thị của hàm số y f x( )

Cách giải

 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C yf x( )

 Ta có:

( ) 0

( )

f x









 





 Do đó, đồ thị của hàm số y f x( ) là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm bên trên trục Ox

 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox

Dạng 35: Cho đồ thị ( ) :C yf x( ) Vẽ đồ thị của hàm số yf x( )u x v x( ) ( )

Cách giải

 Vẽ đồ thị của hàm số ( ) :C yf x( )

Ta có: ( ) ( )

( ) ( )

u x v x y

u x v x









 Do đó, đồ thị của hàm số yf x( )u x v x( ) ( ) là hợp của hai phần:

 Phần 1: là phần của đồ (C) trên miền ( ) 0u x 

 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) trên miền ( ) 0u x  qua trục Ox

nếu nếu