Phòng GD Huyện Long Điền ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Trường THCS Văn Lương Năm học : 2009 – 2010 Môn : TOÁN 9 : 150 phút Bài 1 ( 6 điểm ) 1) Chứng minh rằng : 2 3 5 13 48 6 2 A + − + = + là một số nguyên 2) Biết rằng a,b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1 Chứng minh : 2 2 2 2 a b a b + ≥ − 3) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho : ( ) 2 2 1 2 abc n cba n  = −   = −   với n là số nguyên lớn hơn 2 Bài 2 : ( 4 điểm ) Cho biểu thức : 2 2 2 1 1 2 1 2 x x x P x x x   − + −   = − ×  ÷  ÷  ÷ − + +     ( với 0; 1x x≥ ≠ ) a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng : nếu 0 < x < 1 thì P > 0 c) Tìm giá trị lớn nhất của P Bài 3 : ( 5 điểm ) Cho ABC ∆ nhọn. Trên đường cao AD ( D BC ∈ ) lấy điểm I sao cho 0 ˆ 90BIC = . Trên đường cao BE ( E AC ∈ ) lấy điểm K sao cho 0 ˆ 90AKC = . Chứng minh : CI = CK Bài 4 : ( 5 điểm ) Cho ABC ∆ vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có 2 đường thẳng di động và vuông góc với nhau tại M, cắt các đoạn thẳng AB , AC lần lượt tại D và E. Xác định vị trí điểm D và E để diện tích DME∆ đđạt giá trị nhỏ nhất. ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Bài 1 : ( 6 điểm ) 1) ( 2 điểm ) Viết được 2 3 5 (2 3 1) 2 3 4 2 3 6 2 6 2 A + − + + − = = + + ( 0,5 đ ) 2 2 3 6 2 + = + ( 0,5 đ ) ( ) 2 6 2 8 4 3 6 2 6 2 + + = = + + = 1 ( 1 đ ) 2) ( 2 điểm ) * Vì a.b = 1 nên ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 a b ab a b a b a b a b a b a b a b − + − + + = = = − + − − − − ( 1 đ ) * Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương Ta có : ( ) ( ) 2 2 2a b a b a b a b − + ≥ − × − − Vậy 2 2 2 2 a b a b + ≥ − ( 1đ ) 3) ( 2 đđiểm ) Viết được 2 2 100 10 1 100 10 4 4 abc a b c n cba c b a n n  = + + = −   = + + = − +   Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5 => 4n – 5 M 99 (3) ( 0,75 đ ) Mặt khác : 100 2 2 1 999 101 1000 11 31n n n≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 39 4 5 119n ⇔ ≤ − ≤ (4) ( 0,75đđ ) Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm 675abc = ( 0,5 đ ) Bài 2 ( 4 điểm ) a) Rút gọn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 . 2 1 1 1 x x x x x P x x x x − × + − + × − − = − × + = × − ( 1,5 đ ) b) Với 0 < x < 1 thì 0 < x < 1 hay 1 x− > 0 Do đđó ( ) 1x x− > 0 ( 1 đ ) c) Viết được 2 1 1 1 2 4 4 P x x x   = − + = − − + ≤  ÷   Vậy P max = 1 1 1 0 4 2 4 x x⇔ − = ⇔ = ( 1,5 đ ) B ài 3 ( 5điểm ) ( hình vẽ 0,5 đ ) Viết được CI 2 = BD.BC (1 đ ) CK 2 = CE.CA (1đ ) Chứng minh BD.BC = CE.CA (1,5 đ ) => CI 2 = CK 2 => CI = CK ( 1 đ) Bài 4 : ( 5 điểm ) -Vẽ ( ) ; ,MH AB MK AC H AB K AC⊥ ⊥ ∈ ∈ Thì ta có H , K cố định (1 đ ) Chỉ ra MH HD MD MH MK KE ME MK ⊥ ⇒ ≥   ⊥ ⇒ ≥  ( 1đđ ) Do đó S MDE = 1 1 2 2 MD ME MH MK× ≥ × Với MH , MK khơng đổi ( vì M , H , K cố định ) ( 1 đ ) Đẳng thức xảy ra D H E K ≡  ⇔  ≡  .Lúc đó c/m được D & E lần lượt là trung điểm của AB và AC (1,5 đ ) Vậy khi D , E lần lượt là trung điểm của AB , AC thì S MDE nhỏ nhất ( 0,5đ ) . 3 5 (2 3 1) 2 3 4 2 3 6 2 6 2 A + − + + − = = + + ( 0,5 đ ) 2 2 3 6 2 + = + ( 0,5 đ ) ( ) 2 6 2 8 4 3 6 2 6 2 + + = = + + = 1 ( 1 đ ) 2) ( 2 điểm ) * Vì. Điền ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Trường THCS Văn Lương Năm học : 20 09 – 2010 Môn : TOÁN 9 : 150 phút Bài 1 ( 6 điểm ) 1) Chứng minh rằng : 2 3 5 13 48 6 2 A + − +