Sang kien kinh nghiem cap tỉnh

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thịA- Đặt vấn đề: Hàm số là một khái niệm xuất hiện thờng xuyên trong cuộc sống thôngqua quan hệ tơng ứng giữa các đối tợng.. Với các khái niệm hàm

Dạng VII: Quỹ tích đại số

III- Một số bài tập luyện tập chung

C- Kết luận

D- Tài liệu tham khảo

E- Phụ lục (bài soạn)

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

A- Đặt vấn đề:

Hàm số là một khái niệm xuất hiện thờng xuyên trong cuộc sống thôngqua quan hệ tơng ứng giữa các đối tợng Khái niệm hàm số đợc đa vào chơngtrình THCS từ lớp 7 và đợc dùng trong suốt bậc học Với các khái niệm hàm sốbậc nhất, bậc hai và các dạng đồ thi tơng ứng, phần hàm số đợc phân lợng thờigian không nhiều.Tuy vậy bài tập về hàm số thì nhiều dạng và không thể thiếutrong các kì kiểm tra, kỳ thi Do thời gian luyện tập không nhiều nên kết quả củahọc sinh không cao Vì vậy đối với học sinh hàm số quả là một vấn đề khó

Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tôi đã tiến hành nghiên cứu “Một số

vấn đề về hàm số và đồ thị” Trong đề tài này tôi cố gắng làm sáng tỏ khái niệm

hàm số, đồ thị hàm số và đa ra một số dạng bài tập có phơng pháp giải về hàm sốnhằm giúp học sinh trong một thời gian ngắn có thể nắm đợc phơng pháp giảibài tập về hàm số, trên cơ sở đó tự giải các bài tập tơng tự, liên quan

Bằng cách sắp xếp các dạng toán, cách truyền thụ kiến thứ, cách phát huyhay tự lực của học sinh, sự chú ý sửa sai cho học sinh tôi đã giúp học sinh khôngcòn sợ hàm số mà thấy đây là phần bài tập có Angôrít giải rõ ràng, chính xác, cónhiều nội dung ứng dụng phong phú và hàm số còn đợc coi là công cụ giải quyếtmột số bài toán khác nhau nh tìm cực trị, giải phơng trình, giải bất phơng trình

Sau đây là nội dung đề tài

B- Nội dung đề tài:

X là tập hợp xác định, x  X là biến số, y = (x)x) là giá trị của hàm số  tại x.

* Trong chơng trình SGK mới (x)2001) định nghĩa khái niệm hàm số ở toán

7 đã nêu rõ thuộc tính này: “Giả sử x và y là hai đại l ợng biến thiên và nhận cácgiá trị số Nếu y thay đổi phụ thuộc vào x sao cho Với mỗi giá trị của x ta xác

định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x gọi làbiến số”

* Chú ý: Nh vậy dù hàm số đợc định nghĩa bằng cách nào cũng đều thuộctính bản chất

+ Sự tơng ứng: ứng với mỗi số x X đều xác định đợc duy nhất một số y

Y

+ Biến thiên: x và y là các đại lợng nhận biến đổi

+ Phụ thuộc: x là đại lợng biến thiên độc lập còn y là đại lợng biến thiênphụ thuộc

b- Đồ thì hàm số: (x)Dựa trên khái niệm tập hợp)

* Đồ thị hàm số y = (x)x) là tập hợp các điểm của mặt phẳng tọa độ có tọa

độ (x)x, (x)x)) với x X

+ Cách 1: Cho quy tắc tơng ứng thể hiện bởi công thức y = (x)x)

+ Cách 2: Cho quan hệ tơng ứng thể hiện bởi bảng giá trị

+ a> 0 thì hàm số đồng biến trong R

+ a< 0 thì hàm số nghịch biến trong R

II- Một số dạng bài tập :

Dạng I : Tìm tập xác định của hàm số

Ví dụ 2 : Tìm miền giá trị của hàm số y = x-5+3- x

Giải:

áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

x-5+3-x x - 5 + 3 - x = 2  y  2

Vậy miền giá trị của hàm số y = x-5+3- x với x  R là y R, y 2

Ví dụ 3 : Tìm miền giá trị của hàm số y = x2 - 2x + 3 với x [2,3]

Giải: Hàm số y = x2 - 2x + 3 có a = 1> 0 nên đồng biến với x  1Nên với x [2,3] ta có y(x)2)  y  y(x)3)  3  y  6

Vậy miền giá trị của hàm số y = x2 - 2x + 3 với y [2,3] là y  [3,6]

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

3- ứng dụng:

* ứ ng dụng 1 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của y = 6x - x2 - 2

Giải: Ta có y = 6x2 - x2 - 2

= - (x)x2-6x + 9) + 7 = - (x)x-3)2 + 7 7 dấu = xảy ra khi và chỉ khi x= 3Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là Max y = 7 tại x = 3

Nếu x0  D thỏa mãn (x)2) thì x0 là nghiệm của phơng trình (x)1)

Ví dụ: Giải phơng trình 6x-x2 - 2 = x - 1+x-2+2x-3+4a) nhận đx-13(x)1)

Giải: + TXĐ: R

+ Ta có VT = 6x- x2 - 2 = 7 - (x)x- 3)2  dấu = xảy ra  x = 3

VP = x - 1+x-2+2x-3+4a) nhận đx-13 3dấu = xảy ra  2  x  13/4a) nhận đ

đ-ợc công thức hàm số khi biết tính chất của đồ thị tơng ứng

III.1.1 - Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d cótính chất

a, Đi qua điểm A (x)x1; y1) và điểm B (x)x2; y2)

7 2 x 6x 2

1

y b ax

1 y b ax

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị đi qua điểm A(x)1;1) và song

song với đờng thẳng d’ có phơng trình y = 2x - 1

1y

1

1 1

2

3x2

Ví dụ: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị là đờng thẳng d đi qua điểm

A(x)-1; 2) và tiếp xúc với parabol (x)P): y = x2 + 1

9a

6 c

2

0

x2a

b





)

3(0

y4a) nhËn ®a

4a) nhËn ®ac-b

4a) nhËn ®ac - 2 b

(x)1);

x2a

2 b

2 4a) nhËn ®a 4a) nhËn ®ac 2 1 2a b 2 c b a

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

Ví dụ: Tìm biểu thức (x)x) của hàm số biết  x2 1

x

1(x)1 )  và (x)0) = 0

Giải:

+ Với x  0 đặt

1t

1Xcó

ta theoxrút rồi

t )x

1(x)1

t) t(x)2 f(x)1) 2

1 t

x)x(x)2

x)x(x)2f(x)x)

* Đồ thì hàm số bậc nhất y = ax 9 b (x)a0) là một đờng thẳng

;2a

b(x)

2a

b

x  

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

Nhận xét: Đồ thị hàm số là Parabol (x)P) có đỉnh D (x)-2; -1) đối xứng qua ờng thẳng x = 2, bề lõm quay lên trên

đ-3- ứng dụng:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Nhận xét: Điểm thấp nhất (x)cao nhất) trên đồ thị là điểm có tung độ nhỏnhất (x)lớn nhất) tại đó đồ thị nhận giá trị nhỏ nhất (x)lớn nhất)

Vì vậy khi tìm giá trị lớn nhất (x)nhỏ nhất) của hàm số ta có thể vẽ đồ thịcủa hàm số rồi tìm điểm cao nhất (x)thấp nhất) của đồ thị

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 1+ x - 2

+ Vị trí tơng đối giữa đồ thị các hàm số y = f(x)x) và y = g(x)x) phụ thuộc vào

điểm chung của hai đồ thị

Giả sử M (x)xM; yM) là một điểm chung của đồ thị các hàm số y = f(x)x) và

21

D-1

0

x-1

3 2x

2) x

(x)1

1

2) (x)x

3

2 x y

y

321-1

0-1

321

x

 phơng trình (x)3) có hai nghiệm phân biệt.

Hai đồ thị tiếp xúc  phơng trình (x)3) có nghiệm kép

Hai đồ thị không cắt nhau  phơng trình (x)3) vô nghiệm

* Để biện luận vị trí tơng đối giữa các đồ thị ta biện luận số nghiệmcủa phơng trình (x)3)

* Để xác định tọa độ điểm chung giữa các đồ thị ta giải ph ơng trình(x)3) tìm hoành độ x = x0 dựa vào phơng trình (x)1) hoặc (x)2) để xác định tung độtơng ứng y = y0

+ Không có giá trị của m để d trùng với d1

b- Tìm các giá trị của m để hai đờng thẳng vuông góc

Xác định tọa độ điểm chung trong từng trờng hợp

Giải:

* d vuông góc với d1  m (x)2m – 3) = -2





 0 c

0 b

0 a

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

 2m2 – 3m + 1 = 0

 m = 1 hoặc

* Với ta có d: và d1: y = -2x +2 vuông góc với nhau

Tọa độ điểm chung của d và d1 là nghiệm của hệ

1 2 1

x y

x y

Vậy với m = 1 hai đờng thẳng vuông góc với nhau tại A(x)0;2)

3- ứng dụng: Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x) = g(x)(1)

* Cơ sở lý thuyết:

- Giả sử phơng trình (x)1) có nghiệm x = x0 khi đó giá trị tơng ứng của các

vế là f(x)xo)=g(x)xo)=y0

- Nên đồ thị hàm số y = f(x)x) và y=g(x)x) có điểm chung (x)x1;yo) Do đó nếu

có các đồ thị y=f(x)x) và y = g(x)x) trên cùng một mặt phẳng tọa độ thì số điểmchung của chúng đúng bằng số nghiệm của phơng trình (x)1)

* Cách giải bài toán: Biện luận số nghiệm của phơng trình f(x)x) = g(x)x) (x)1)

bằng phơng trình đồ thị

- Vẽ đồ thị hàm số y=f(x)x) và y=g(x)x)(x)C’) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

- Biện luận số điểm chung của (x)C) và (x)C’) => Số nghiệm của phơng trình

Dạng VI: Điểm cố định (chùm đờng thẳng, chùm parabol)

* Cơ sở lý thuyết

- Điểm M(x)xo; yo)  đồ thị hàm số y=f(x)x)  yo=f(x)xo)

- Hàm số y=f(x)x) (x)có phụ thuộc tham số m) luôn đi qua điểm M(x)xo; yo) 

yo=f(x)xo)m

- Phơng trình ax2+bx+c=0 có nhiều hơn hai nghiệm 

1- Cách giải bài toán

Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y=f(x)x) (x)có phụ thuộc tham số m) điqua  m

- Giả sử M(x)xo; yo) là điểm cố định mà đồ thị hàm số y = f(x)x) đi qua với  m

Ta có: y0= f(x)xo) (x)1) đúng m

+ Biến đổi (x)1) về phơng trình tắc ẩn m (x)coi xo; yo là tham số) có nghiệm với

m => Các hệ số của phơng trình bằng 0 (x)2) Giải hệ điều kiện (x)2) tìm xo; yo

+ (x)Thử lại) kết luận điểm cố định

3

1

m 2

1

21y

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

Ví dụ: Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (x)d) y=(x)2m+1)x-3m+2 đi qua m

Giải: Giả sử (x)xo; yo) là điểm cố định mà đờng thẳng (x)d) đi qua với m

2 0 3 2

0 0 0

x y

3

) với m

Ví dụ 2: Tìm điểm cố định mà parabol (x)P) y=(x)m2-m+2)x2+(x)2m+3)x-4a) nhận đm2+1

đi qua với m

1y 3x 2x

0 2x

x

0 4a) nhận đ

x

0 0 0

0 2

0 2

2

Vậy (x)D) đi qua điểm M(x)2;15) với m

Dạng VII: Quỹ tích đại số

* Cơ sở lý thuyết

+ Điểm M(x)xM;yM) biết tọa độ xM; yM phụ thuộc hàm số m

Giải:

+ Biểu diễn tọa độ của M theo tham số m

+ Từ biểu thức xM; yM khử tham số m, biểu diễn yM=f(x)xM)

11

m m y

m x

(x)m -1)

9 12x 2 4a) nhận đx  

16

9 12x 2 4a) nhận đx

M x M y 1 m 11 M x 1 m 4a) nhận đ 7m m y 1 m 11 M x

Vậy tập hợp giao điểm M của (x)d1) và (x)d2) là đờng thẳng y=x+7 với m-1

Ví dụ: Trong mặt phẳng xOy cho điểm F(x)

2

3

;1) và đờng thẳng d có phơngtrình y= -1 Tìm tập hợp điểm M(x)x;y) cách đều F và d

a Tìm a biết rằng (x)P) đi qua A(x)2;1) và vẽ (x)P) với a vừa tìm đợc

b Tìm M sao cho (x)d) tiếp xúc với (x)D) vừa có, và tìm tọa độ tiếp điểm

c Gọi B là giao điểm của (x)d) ở câu 2 với trục tung C là điểm đối xứng của

A qua trục tung Chứng tỏa rằng

+ Dùng Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vuông cân

Bài 2: Cho Parabol (P): y=x 2 -4x+3

a Chứng minh đờng thẳng y=2x-6 tiếp xúc với parabol(x)P)

b Giải bằng đồ thị bất phơng trình: x2-4a) nhận đx +3> 2x –4a) nhận đ

Bài 3: Cho Parabol (P): y =



Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

2 Viết phơng trình đờng thẳng (x)d) đi qua I và M

3 Chứng minh rằng đờng thẳng (x)d) luôn cắt (x)P) tại hai điểm phân biệt A;Bvới m0

4a) nhận đ Gọi H và K là hình chiếu của A và B trên trục hoành Chứng minh rằngtam giác IHK vuông cân

5 Chứng minh độ dài đoạn AB>H với m0

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) y=-x 2 -4x+3 và đờng thẳng (d); 2y + 4x – 17 = 0.

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

c - Kết luận

Quá trình nghiên cứu đề tài: Một số vấn đề về hàm số đã giúp tôi hiểu mộtcách sâu sắc về hàm số và đồ thị xây dựng đợc một hệ thống bài tập phong phú

Từ đó tạo điều kiện cho tôi giảng dạy tốt hơn về hàm số và đồ thị

Đồng thời với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng có phơngpháp giải rõ ràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây đợc hứng thú học tập

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

1 Sách giáo khoa đại số 7, đại số 9

2 Sách phát triển đại số 7, đại số 8, đại số 9 (x)Vũ Hữu Bình)

3 Tài liệu chuyên toán đại số 9 (x)Hoàng Chúng; Thiệu Hùng; Quang Khải)4a) nhận đ Trọng điểm đại số 9 (x)Ngô Long Hậu; Trần Luận)

5 Toán nâng cao đại số 9 (x)Nguyễn Ngọc Đạm; Nguyễn Việt Hải; Vũ

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

* Nhận biết đợc đại lợng này có phải là hàm số của đại lợng kia hay không trongnhững cách cho cụ thể và đơn giản (x)bằng bảng, bằng công thức)

* Tìm đợc giá trị tơng ứng của hàm số khi biết đợc giá trị của biến số

B- Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:

* Giáo viên: Đèn chiếu và các phim giấy trong (x)hoặc bảng phụ) ghi bài tập, khái

GV: Trong thực tiễn và trong toán học ta

thờng gặp các đại lợng thay đổi phụ

thuộc vào sự thay đổi các đại lợng khác

Ví dụ 1: Nhiệt độ T (x)0C) phụ thuộc vào

thời điểm t (x)giờ) trong một ngày

Giáo viên đa bảng ở ví dụ trang 62 lên

màn hình yêu cầu học sinh đọc bảng và

cho biết: Theo bảng này nhiệt độ trong

ngày cao nhất khi nào? Thấp nhất khi

nào?

Ví dụ 2: (x)Trang 63 SGK)

- Một thanh kim loại đồng chất có khối

lợng riêng là 7,8 (x)g/cm3) có thể tích khối

lợng m của thanh kim loại đó:

- Công thức này có ta biết m và V là hai

đại lợng nh thế nào?

- Hãy tính các giá trị tơng đối của m khi

V = 1, 2, 3, 4a) nhận đ

Ví dụ 3: Một vật chuyển động đều trên

quãng đờng dài 50km với vận tốc V (x)km/

h) Hãy tính thời gian t (x)h) của vật đó

- Công thức này cho ta biết với quãng

đ-ờng không đổi, thời gian và vận tốc là

hai đại lợng quan hệ nh thế nào?

Hãy lập bảng giá trị tơng ứng của t khi

biết V = 5; 10; 25; 50 Nhìn vào bảng ở

ví dụ 1 em có nhận xét gì?

Học sinh: Đọc ví dụ và trả lời

- Theo bảng này, nhiệt độ cao nhất lúc 2giờ tra (x)260C) và thấp nhất lúc 4a) nhận đ giờ sáng(x)260C)

HS: m = 7,8V

- m và V là hai đại lợng tỉ lệ thuận vìcông thức có dạng y = kx với k = 7,8V(x)cm3) 1 2 3 4a) nhận đm(x)g) 7,8 15,6 23,4a) nhận đ 31,2v

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

đổi của thời gian t

- Với mỗi thời điểm t, ta xác định đợc

mấy giá trị nhiệt độ T tơng ứng?

Với mỗi giá trị của thời điểm t ta chỉ xã

định đợc một giá trị tơng ứng của nhiệt

độ T

T = 12 (x)giờ) thì T = 26oCTơng ứng ở ví dụ 2 em có nhận xét gì? HS: Khối lợng m của thanh đồng phụ

thuộc vào thể tích V của nó Với mỗi giátrị của V ta chỉ xác định đợc một giá trị

tơng ứng của m.

- Ta nói nhiệt độ T là hàm số của thời

điểm T, khối lợng m là một hàm số của

thể tích V ở ví dụ 3, thời gian t là hàm số

của đại lợng nào?

Vậy hàm số là gì? => phần 2

- HS: Thời gian t là hàm số của vận tốcV:

Hoạt động 2: Khái niệm hàm số (15 phút)

GV: Qua các ví dụ trên, hãy cho biết đại

lợng y đợc gọi là hàm số của đại lợng

thay đổi x khi nào?

HS: Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại

l-ợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trịcủa x ta luôn xác định đợc chỉ một giátrị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm

- Đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x

- Với mỗi giá trị của x không thể tìm đợc

nhiều hơn một giá trị tơng ứng của y

GV: Giới thiệu phần “chú ý” trang 63

Đối chiếu với 3 điều kiện của hàm số

cho biết y có phải là hàm số của x hay

Hãy tính f(x)1) ? f(x)-5)? f(x)0)

HS: f(x)1) = 3.1 = 3f(x)-5) = 3.(x)-5)= -15

Đề tài: Một số vấn đề về hàm số và đồ thị

f(x)0) = 3.0=0Xét hàm số: y= g(x)x) = 12/x

Hãy tính g(x)2)? g(x)-4a) nhận đ)?

HS: g(x)2) = 12/2=6g(x)-4a) nhận đ) = 12/-4a) nhận đ=3

Hoạt động 3: Luyện tập ( 10 phút)

Cho HS làm bài tập 35 trang 4a) nhận đ7,4a) nhận đ8 SBT

(x)đề bài đa lên màn hình) Đại lợng y có

phải là hàm số của đại lợng x không, nếu

a Y là hàm số của x vì y phụ thuộc vào

sự biến đổi của x, với mỗi giá trị của x tachỉ có một giá trị tơng ứng của y

x và y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch vì xy =

12 => y = 12/xb

x 4a) nhận đ 4a) nhận đ 9 16

Phát hiện mqh giữa y và x

b Y không phải là hàm số của x vì ứngvới x = 4a) nhận đ có hai giá trị tơng ứng của y là(x)-2) và 2y là căn bậc hai của x

f(x)1)=3.(x)1)2 +1 = 4a) nhận đf(x)3) = 3.(x)3)2+1 = 28

Hoạt động 4: Hớng dẫn về nhà (2 phút)

- Nắm vững khái niệm hàm số, vận dụng các điều kiện đề y là một hàm số của x.

Bài tập số 26;27;28;29;30 trang 64a) nhận đ SGK

y -4a) nhận đ -6 -12 36 24a) nhận đ 0