Bài giảng Sáng kiến kinh nghiệm cấp tỉnh

Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toán hình học nói riêng, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khi đã tìm được lời

PHẦN THỨ NHẤT

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Hiện nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước Hướng đổi mới của giáo dục và đào tạo là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ động trong học tập, dễ thích ứng với cuộc sống và lao động Bên cạnh việc dạy cho học sinh (HS) nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, giáo viên (GV) còn phải dạy cho HS biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho HS có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở thành “tài sản riêng” của các em HS không những nắm vững, nhớ lâu

mà còn biết vận dụng tốt những tri thức đạt được để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong học tập, trong thực tế cuộc sống và lao động mai sau Đồng thời, HS có phương pháp học trên lớp học và phương pháp tự học để đáp ứng được sự đổi mới thường xuyên của khoa học công nghệ ngày nay

Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng như quá trình dạy học giải toán hình học nói riêng, người dạy và người học cần phải tạo ra cho mình một thói quen là: Sau khi đã tìm được lời giải bài toán, dù là đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, lật lại vấn đề để tìm kết quả mới hơn Tìm được cái mới hơn rồi, lại tiếp tục đi tìm cái mới hơn nữa hoặc đi tìm mối liên hệ giữa các vấn đề, cứ như thế chúng ta sẽ tìm ra được những kết quả thú vị

Đã từng giảng dạy toán và hiện đang dạy toán lớp 8, tôi đã tích cực tự bồi dưỡng và hướng dẫn các em HS bồi dưỡng kiến thức nâng cao, luôn quan tâm đến

việc khai thác bài toán Với các lí do trên, tôi xin trình bày đề tài “Khai thác từ kết quả một bài toán hình học” hi vọng góp phần vào giải quyết vấn đề trên.

II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

1 Đối tượng nghiên cứu: HS lớp 8, lớp 9 THCS Yên Bình

2 Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 8, lớp 9 THCS

PHẦN THỨ HAI

NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

Đặc điểm của lứa tuổi HS THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô giáo Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho HS là một quá trình lâu dài

*Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của HS được thể hiện ở một số mặt sau:

- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập khuôn, máy móc

- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh

- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách nào khác nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận còn đúng hay không? …

- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề

- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết

*Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như:

- Nhìn lại toàn bộ các bước giải Rút ra phương pháp giải một loại toán nào đó Rút ra các kinh nghiệm giải toán

- Tìm thêm các cách giải khác

- Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bài toán mới

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy:

- Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân

- HS còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân

- HS yếu toán nói chung và yếu hình học, đặc biệt là yếu về giải bài toán quỹ tích hình học nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập

- Không ít HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao

- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết

- Một số GV chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung

- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho HS khắc sâu được kiến thức Quan trọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học toán

Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy

và học sao cho phù hợp

III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN:

Qua những bài toán mà HS đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó Bằng các hình thức như:

- Kiểm tra kết quả Xem xét lại các lập luận.

- Nghiên cứu, tìm tòi, với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để

đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không?

Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả một bài toán quen thuộc (bài toán quỹ tích hình học lớp 8) Nhằm giúp HS thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong học hình học nói riêng Từ đó, giúp HS tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp HS thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán

IV NỘI DUNG CỤ THỂ

Từ kết quả của một bài toán hết sức đơn giản ban đầu, nếu chịu khó suy xét tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển bài toán, tạo ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác Sau đây là ví dụ minh hoạ:

1 Bài toán gốc:

 Bài toán 1. (Bài toán quỹ tích lớp 8)

Cho ∆ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC Gọi I là trung điểm của AM,

điểm I di chuyển trên đường nào? (Bài 126 - SBT Toán 8 - Trang 73)

1.1/ Phân tích tìm cách giải: A

∆ABC, Mcạnh BC,

GT AI IM AM2 P I Q d

KL I di chuyển trên đường nào? B M C

Hình 1

Ở bài toán này, ta dễ nhận thấy khi điểm M di chuyển trên cạnh BC cố định thì điểm I di chuyển theo và luôn là trung điểm của AM Để xác định được quỹ tích điểm I, ta xét 2 vị trí đặc biệt của M:

+Khi M  B thì I  P (P là trung điểm của AB, P cố định),

+Khi M  C thì I  Q (Q là trung điểm của AC, Q cố định)

Từ đó suy ra được I  PQ (PQ là đường trung bình của ∆ABC)

1.2/ Lời giải: (tóm tắt theo SBT)

Qua I kẻ đường thẳng d // BC, d cắt AB, AC lần lượt tại P và Q (Hình 1).

∆AMB có AI = IM, IP // BM => P là trung điểm của AB

Tương tự , ta có: Q là trung điểm của AC Các điểm P, Q cố định

Vậy I di chuyển trên đoạn thẳng PQ (PQ là đường trung bình của ∆ABC)

2 Khai thác bài toán:

2.1/ Khai thác theo hướng tìm cách giải khác:

*Từ phân tích ở trên, thông qua dự đoán quỹ tích, ta dễ dàng tìm ra hướng chứng minh điểm I cách BC một khoảng không đổi Từ đó có cách giải thứ 2:

Cách 2:

Kẻ AH, IK vuông góc với BC (Hình 2) A

∆AMH có IA = IM (GT), IK // AH (cùng  BC) P I Q

=> IK là đường trung bình của ∆AMH

=> IK  AH2 không đổi (vì AH không đổi) B H K M C

Mà K  BC cố định nên I nằm trên đường thẳng // BC, Hình 2

cách BC một khoảng bằng AH2

-Khi M  B thì I  trung điểm P của AB (P cố định),

-Khi M  C thì I  trung điểm Q của AC (Q cố định)

Vậy I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC)

*Từ việc xét 2 vị trí đặc biệt của M, cùng với nhận xét rằng đường trung bình PQ cố định và I lại là trung điểm của AM giúp ta nghĩ đến đi chứng minh

I, P, Q thẳng hàng và ta có cách giải khác:

Cách 3:

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC Ta có P, Q cố định

Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác ta suy ra: PQ//BC và PI//BC => I, P, Q thẳng hàng

-Khi M  B thì I  trung điểm P của AB (P cố định),

-Khi M  C thì I  trung điểm Q của AC (Q cố định)

Vậy I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC)

*Tiểu kết:

Việc tìm hiểu nhiều cách giải khau nhau cho một bài toán có vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thông minh và óc sáng tạo cho HS Sở dĩ như vậy là vì trong khi cố gắng tìm ra những cách giải khác nhau của bài toán HS sẽ có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác nhau của bài toán, do đó sẽ hiểu sâu hơn mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm Đồng thời, việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp HS có dịp so sánh các cách giải đó, chọn ra được cách hay hơn và tích luỹ được nhiều kinh nghiệm để giải toán Ngoài

ra, với một bài toán khó chưa biết cách giải, nếu HS được biết rằng dù khó như vậy nhưng bài toán vẫn có nhiều cách giải khác nhau thì các em sẽ cố gắng tìm lời giải hơn; tức là tính tò mò, ham hiểu biết được khơi dậy trong HS

Chẳng hạn, ở bài toán gốc, nếu mỗi chúng ta hiểu, nắm được 3 cách giải bài toán này thì ít nhất từ HS (vốn sợ bài toán quỹ tích hình học) cũng sẽ thấy sự thú vị của một bài toán Từ đó, bản thân sẽ bớt “sợ quỹ tích” hơn, khơi dậy tính tò mò muốn được tự khám phá, ham tìm tòi để chiếm lĩnh kiến thức hơn

2.2/ Khai thác theo hướng thay đổi giả thiết, tìm bài toán mới:

Có thể nói, Bài toán 1 là một bài tập hết sức cơ bản về quỹ tích Khai thác

bài toán gốc này không phải theo hướng tìm lời giải khác, mà theo hướng thử sáng tạo: thay đổi dữ kiện - tìm bài toán mới, chúng ta có thêm một chuỗi các bài toán mới với lời giải dễ dàng tìm được

*Khai thác 2.2.1:

Nếu qua M, ta kẻ MD//AB và ME//AC (D AC, E AB) thì ta dễ dàng chứng minh được AEMD là hình bình hành => I cũng là trung điểm của DE Ta có bài toán mới:



Bài toán 2. Cho ∆ABC, từ điểm M bất kì trên cạnh BC kẻ các đường thẳng song song với AB, AC lần lượt cắt AB, AC lần lượt tại E và D Gọi I là trung điểm của

DE Tìm quỹ tích điểm I khi M di chuyển trên cạnh BC A

Gợi ý giải: Hình 3 E

Ta có ME // AD, MD // AE (GT) I D => AEMD là hình bình hành B M C

mà I là trung điểm của DE Hình 3

=> I cũng là trung điểm của AM

Đến đây, ta dễ dàng làm tiếp dựa vào kết quả bài toán gốc và có kết quả:

Quỹ tích các điểm I chính là đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC)

*Khai thác 2.2.2:

Từ bài toán 2, tiếp tục thay đổi giả thiết: “ME, MD lần lượt song song với

AC, AB” bởi quan hệ vuông góc và thêm giả thiết  = 900, ta có bài toán tương tự:



Bài toán 3.

Cho ∆ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh huyền Gọi E và D lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC Trung điểm I của ED di chuyển trên đường nào?

-Chứng minh được AEMD là hình chữ nhật E I D

Mà I là trung điểm của ED

=> I cũng là trung điểm của AM B M C

Đến đây, làm tiếp dựa vào kết quả bài toán gốc và có kết quả: Hình 4

Các điểm I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC)

*Khai thác 2.2.3: Tiếp tục khai thác, với chú ý rằng điểm quan trọng trong điều

kiện ở giả thiết của hai bài toán 2 và bài toán 3 là ME // CD, MD // BE và BE cắt

CD tại A cố định Bằng cách linh hoạt thay đổi giả thiết nhưng vẫn đảm bảo các điều kiện đó, ta có được các bài toán mới lạ hơn như sau:



Bài toán 4 Cho đoạn thẳng BC cố định, lấy điểm M tuỳ ý nằm giữa B và C Vẽ

về một phía của BC các tam giác đều BME và CMD Tìm quỹ tích trung điểm I của

DE khi M di chuyển trên đoạn BC

+ Gọi A là giao điểm của BE và CD=> ∆ABC đều và cố định E

+ Chứng minh được AEMD là hình bình hành I D

Kết quả: Quỹ tích các điểm I chính là B M C đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC) Hình 5



Bài toán 5

Cho đoạn thẳng BC = a, lấy điểm M bất kì nằm giữa B và C Vẽ về một phía của BC các tam giác BME và CMD vuông cân lần lượt tại E và D Khi M di chuyển trên đoạn BC thì I di chuyển trên đường nào?

Gợi ý giải:

+ Gọi A là giao điểm của BE và CD => ∆ABC vuông cân tại A và cố định

+ Chứng minh được AEMD là hình chữ nhật

-> làm tiếp tương tự như bài toán 3

Kết quả: I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC)

*Khai thác 2.2.4:

Ở các bài toán trên, tiếp tục suy nghĩ, ta thấy từ điều kiện ME//CD và MD//BC => B = CMD và BME = C, mà BE cắt CD tại A nên muốn A cố định ta chỉ cần thêm giả thiết B = CMD = α và BME = C = β và ta có bài toán tổng quát hay và khó:

Bài toán 6

Cho đoạn thẳng BC = a và điểm M bất kì nằm giữa B và C Vẽ về một phía của BC các tam giác BME và MCD sao cho B = CMD = α và BME = C = β (α, β cho trước) Gọi I là trung điểm của DE Khi M di chuyển trên đường thẳng BC thì I

di chuyển trên đường nào? A

Gợi ý giải: Hình 6

+Gọi A là giao điểm của BE và CD, I D

vì B = α và C = β không đổi và BC cố định E

nên A cố định

+Từ giả thiết, dễ dàng chứng minh được B M C

AEMD là hình bình hành Hình 6

-> làm tiếp như bài toán 5, kết quả:

Khi điểm M di chuyển trên đường thẳng BC thì điểm I di chuyển trên đường thẳng PQ (P,Q lần lượt là trung điểm của AB và AC)

Đến đây, chúng ta thấy rằng đã có nhiều thú vị từ bài toán gốc và không ít chúng ta đến đây có lẽ đã chấp nhận dừng lại và thoả mãn với sự khai thác! Nhưng chưa hết thú vị đâu, nếu tiếp tục suy xét, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, chúng ta vẫn có thể khai thác tiếp và còn được những bài toán mới thú vị và hay hơn

*Khai thác 2.2.5: Ở các bài toán trên, bài toán mới chỉ tìm hiểu khi có một điểm M

di động trên một đoạn BC cố định Câu hỏi đặt ra: liệu có thể thay đổi giả thiết từ bài toán gốc để xét với 2 điểm di động trên các đoạn thẳng cố định hay không? Thật bất ngờ là hoàn toàn được!: Nhờ dựa vào tính chất của hình bình hành và cách giải các bài toán ở trên, chúng ta có bài toán hay và khó hơn sau đây:



Bài toán 7.

Cho ∆ABC cân tại A Hai điểm E và D thứ tự di chuyển trên các cạnh AB,

AC sao cho AE = CD Tìm tập hợp trung điểm I của DE

Gợi ý giải: Hình 7 A

+Kẻ DM // AB (M BC), E

=> DM = DC = AE

=> AEMD là hình bình hành B M C +Đến đây làm tiếp tương tự như các bài toán trên, Hình 7

ta có kết quả : điểm I di chuyển trên đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC)



Bài toán 8. (bài toán 7 là trường hợp riêng của bài toán 8):

Cho ∆ABC Hai điểm E và D lần lượt di chuyển trên các cạnh AB, AC

sao cho CD AD BE AE Tìm quỹ tích các trung điểm I của ED

Gợi ý giải:

=>

BM

CM

AD

CD

 (talet) mà

BE

AE AD

CD

 (GT) A

=> CM BM BE AE => EM // AD (talet đảo) E I D

=> ADME là hình bình hành

=> trung điểm I của DE cũng là trung điểm của AM B M C

-> làm tiếp tương tự bài toán 7 Hình 8

Kết quả:

Quỹ tích các điểm I chính là đường trung bình PQ của ∆ABC (PQ//BC)

*Khai thác 2.2.6:

Từ các bài toán 7 và 8, lại khéo léo thay đổi giả thiết, ta có được hai bài toán rất hay và chắc chắn sẽ rất khó nếu ta chưa biết đến các bài toán ở trên:



Bài toán 9

Cho góc xAy cố định Hai điểm E, D lần lượt di chuyển trên hai cạnh Ax, Ay sao cho AE + AD = a không đổi Tìm quỹ tích các trung điểm I của ED