ĐẶT VẤN ĐỀ I./MỤC ĐÍCH YÊU CẦU Kỹ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải bài tập là vấn đề mà giáo viên nói chung luôn phải quan tâm.. Thực tiễn dạy và họ
Trang 1RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
“TOÁN CHIA HẾT” TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS
A ĐẶT VẤN ĐỀ
I./MỤC ĐÍCH YÊU CẦU
Kỹ năng giải toán và biết vận dụng kiến thức đã học của học sinh vào giải bài tập là vấn đề mà giáo viên nói chung luôn phải quan tâm Thực tiễn dạy và học cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán chia hết của học sinh còn rất yều Nhận thức về đề trên, tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán
để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán, Một trong các dạng toán đó là “Dạng toán chia hềt”
Do đó mục đích viết đề tài này là có thể góp phần bé nhỏ nào đó của mình vào việc nâng cao chất lượng dạy và học nói chung và giúp các em HS nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”, hình thành cho các em các
kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện tốt lời giải bài toán
II./THỰC TRẠNG BAN ĐẦU
Dạng toán chia hết được đề cập trong SGK ngay từ đầu lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người dạy và người học rất vất vả nhất là đối với HS lớp 8 và lớp 9 Thông thường khi dạy dạng toán này giáo viên lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản đã học ở lớp dưới làm mất rất nhiều thời gian của tiết dạy Bên cạnh đó kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi rất dài dòng và rất phức tạp, thực chất nêú các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì rất đơn giản.Trong quá trình giảng dạy nhiều GV không hay để ý tới dạng toán này
vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong SGK nên không nghĩ đó là trọng tâm của bài Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học sinh làm thêm trong sách bài tập hoặc ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy của HS Mặt khác tài liệu tham khảo viết về dạng toán này hầu như không có ở thư viện của trường Từ những suy nghĩ đó
và thực tế giảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này
III/ GIẢI PHÁP
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy đa phần học sinh chưa có kỹ năng giải toán “chia hết” vì các em chưa biết bài toán đó cần áp dụng phương pháp nào
để giải cho kết quả đúng nhất, nhanh nhất và đơn giản nhất Vì vậy để nâng cao
kỹ năng giải toán “chia hết” thì các em phải nắm được các dạng toán, các phương pháp gỉải, các kiến thức cơ bản được cụ thể hoá trong từng bài, từnbg chương, từng khối lớp Có thể nói rằng dạng toán “chia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng toán này
Là một giáo viên dạy toán tôi mong các em chinh phục được nó và không chút ngần ngại khi gặp dạng toán này Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy luận và óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt Hệ thống bài tập tôi đưa ra từ
Lê Thị Phương Mai_GV Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm 1
Trang 2dễ đến khó, bên cạnh đó còn có những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi.
Lượng bài tập cũng tương đối nhiều nên các em có thể tự học, tự chiếm lĩnh tri
thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này, điều đó giúp các em hứng thú học tập hơn rất nhiều
B./GIẢI QUYẾT VẦN ĐỀ
I/CƠ SỞ LÝ LUẬN
Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế tiết dạy về các bài tập thể hiện dạng toán “chia hết” Và trong những năm gần đây phương pháp dạy học môn Toán đã có một số cải tiến mới nhằm phát huy tính tích cực của học sinh bằng cách tăng cường hệ thống câu hỏi và bài tập có yêu cầu phát triển tư duy trong quá trình giảng dạy bài mới Vì vậy hệ thống bài tập thể hiện dạng toán
“chia hết” cũng có một vai trò quan trọng trong giải toán Nó giúp học sinh phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và lôgic
II./GIẢ THUYẾT
Để giúp học sinh học tốt, làm tốt được dạng toán “chia hết” này tôi đã trang bị cho học sinh nội dung kiến thức sau, đó là nền tảng, là cơ sở để áp dụng giải các bài tập dạng này
1.Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích
-Nếu a m và b m thì a+b m , a -b m, a.b m
-Nếu a m thì an
m (n là số tự nhiên)
2.Dấu hiệu chia hết cho2;4;5;6;3;8;9;11
2 Số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn
3 số có tổng các chữ số chia hết cho 3
4 Số chia hết cho 4 khi hai chữ số tận cùng lập thành một số
chia hết cho 4
5 Số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
6 Là số đồng thời chia hết cho 2 và 3
8 Số chia hết cho 8 khi ba chữ số tận cùng lập thành một số
chia hết cho 8
9 Số có tổng các chữ số chia hết cho 9
10 Số có chữ số tận cùng là 0
11 Số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số của nó đứng
ở vị trí lẻ và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn(kể từ trái sang phải) chia hết cho 11
3.Đồng dư
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số
dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu a b (mod )c
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+
a a (mod )m
a b (mod )m b a (mod )m
a b (mod );m b c (mod )m a c (mod )m
a b (mod );m c d (mod )m a c b d (mod )m
Trang 3a b (mod );m c d (mod )m ac bd (mod )m
a b (mod )m a n b n(mod )m
4.Nguyên tắc Đirichlê
Nội dung quy tắc này được phát biểu dưới dạng một bài toán sau: Nếu nhốt n thỏ vào m lồng(n>m) thì ít nhất có một lồng nhốt không ít hơn hai con thỏ
5.Phương pháp chứng minh quy nạp
Muốn chứng minh một khẳng định An đúng với mọi n=1,2,3 ta chứng minh như sau:
-Khẳng định A1 đúng
-Giả sử Ak đúng với mọi k ≥ 1, ta cũng suy ra khẳng định Ak+1 đúng
Kết luận: Khẳng định An đúng với mọi n=1,2,3
6.Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Muốn chứng minh khẳng định P đúng ta làm như sau:
-Giả sử P sai
-Từ giả sử sai ta suy ra điều vô lý
-Điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng định P đúng
*CÁC DẠNG TOÁN
Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người
học tham khảo, lựa chọn một số bài cho HS làm từ dễ đến khó Một bài có thể vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho HS tính linh hoạt trong quá trình giải toán
1.Dạng 1: Tìm các chữ số chưa biết của một số
Bài toán 1:Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và 8
Để tìm được a và b ta phải thấy được hai dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hết cho 5 và 8
Vì 19ab chia hết cho 5 nên b=0 hoặc b=5 và 19abchia hết cho 8 nên suy ra b=0
Mặt khác , 19a0 chia hết cho 8 nên 19a0chia hết cho 4 khi a0chia hết cho 4 suy ra a {0;2;4;6;8} Ta có 19a0 chia hết cho 8 khi 9a0chia hết cho 8 nên a=2 hoặc a=6 Vậy nếu a=2 thì b=0 và nếu a=6 thì b=0 ên số cầm tìm là 1920 và 1960
Bài toán 2 Chữ số a là bao nhiêu để aaaaa96 chia hết cho cả 3 và 8
vì aaaaa96 8 a96 8 100a + 96 8 suy ra 100a8
vậy a là số chẵn a 2, 4, 6, 8} (1)
vì aaaaa96 3 (a + a + a + a + a + 9 + 6 ) 3 5a + 15 3
mà 153 5a3
mà (5, 3) = 1
Suy ra a 3 vậy a 3, 6 ,9} (2)
từ (1) và (2 ) suy ra a = 6
KL: Vậy dố phải tìm là 6666696
Trang 4Bµi to¸n 3 : Tìm chữ số a để 1aaa1 11.
HD: tổng các chữ số hàng lẻ là 2 + a Tổng các chữ số hàng chữ là 2a
*Nếu 2a a + 2 a 2 thì 2a – (a + 2) = a -2 9 – 2 = 7
mà (a - 2) 11 nên a - 2 = 0 a = 2
*Nếu 2a a + 2 a 2 thì (a + 2) - 2a = 2 - a là 2 hoặc là 1 không chia hết cho 11.vậy a=2
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm x,y sao cho 1994xy 72
HD: 1994xy 72 = 72 2769 + 32 + xy 72 32 + xy 72
Vì 32 32 + xy 32 + 99 = 131 nên 32 + xy = 72 xy = 40 vậy x = 4 ,
y = 0
Bài 2; Tìm x để x1994 3 nhưng không chia hết cho 9
HD: Vì x1994 chia hết cho 3 (x + 1 + 9 + 9 + 4) chia hết cho 3
Hay (x + 25) chia hết cho 3 Vì 1 x 9 nên 24 23 + x 32
Trong các số tự nhiên từ 23 đến 32 có 24, 30 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9
Bài 3 phải viết ít nhât mấy số 1994 liên tiếp để được một số chia hết cho 3
HD: ta thấy tổng các chữ số của số 1994 là 23 nên khi chia cho 3 thì dư 2
nều viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tồng các chữ số của số nhận được có cùng số dư với 2k khi chia cho 3 Để nhận được sốp chia hết cho 3 thì 2k phải chia hết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3 tức là phải viết ít nhât 3 lần số 1994 liên tiếp nhau
2.Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số
Bài toán 1 : Chứng minh rằng 2139+3921 chia hết cho 45
*Cách 1: Ta có 2139 + 3921 = (2139- 1 ) + (3921 + 1)
Vì 2139- 1 = 20 (2138+ 2137+ …+ 1) chia hết cho 5
Vậy 3921 + 1 = 40 (3920 - 3919+ …+1) chia hết cho 5
Suy ra: (2139- 1 ) + (3921 + 1) chia hết cho 5
Mặt khác 2139- 3921 = (2139- 339) + (3921 - 321) + (339 + 321)
Mà 2139- 339= 18 (2138+ …+338) chia hết cho 9
2139- 339 = 36 (3920+…+320) chia hết cho 9
Vậy 339+ 321= 321 (318 + 1) = (33)7 (318+ 1) chia hết cho 9
Mà ( 5,9) = 1 nên 2139 + 3921 45
Trang 5*Cách 2: vì 45 = 5.32 nên để chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 45 thì ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 5.32
Ta có: 2139 = (20 + 1)39 = 2039 + 39 2038 + …+ 39.20 + 1= 10M + 1.3921
= (30 + 9)21 = 3021+ 21.3020.9 + 9 +…+ + 21.30.920+ 921 = 10N + 9
Như vậy: 2139 + 3921 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho 5
Mặt khác 2139 + 3921 = (7.3)39 + (13.3)21 = 739.339+ 1321+ 321
= 321 739 318+ 1321 321
= 321 (739 318+ 1321) = (33)7 (739 318+ 1321) chia hết cho 9
*C¸ch 3 Ta có: 21 1 (mod 20)
39 -1 (mod 20) Vậy 2139 + 3921 139+ (-1)21 0 (mod 20)
Như vậy 2139 + 3921 chia hết cho 20; do đó 2139 + 3921 chia hết cho 5 (*) Tương tự ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 9
KL: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45
Bài toán 2 : Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 60
Chứng minh rằng: A chia hết cho 3,7 và 15.
Ta có: A =2 + 22 + 23+…+ 260
A = 2(1+2)+ 23 (1+2)+…+ 259 (1+2) = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259)
A = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259) chia hết cho 3
Ta có A = 2 + 22 + 23+…+ 260
A = 2 (1 + 2 + 22) + 24 (1 + 2 + 22) + … + 258 (1 + 2 + 22)
A = 2 7 + 24.7 + … + 258.7
A = 7 (2 + 24 + …+ 258) chia hết cho 7
Ta có A = 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + … +257(1 + 2 + 22 + 23)
A = 2 15 + 25.15 + …+ 257.15
A = 15( 2 + 25 + … + 257) chia hết cho 15
KL: Vậy A chia hết cho 3,7 và 15
Bài toán 3:Chứng minh rằng 4343-1717 chia hết cho 5
Ta có 4343= 4340 433= (434)10.4343
Ta có 433 có tập cùng là chữ số 1 nên 434 có tận cùng là chữ số 1 hay 4340 có tận cùng là chữ số 1
Trang 64343 có tận cùng là chữ số 7 Vậy 4340.433 có tận cùng là chữ số 7 hay 433 có tận cùng là chữ số 7
Ta có 1717 = 1716 .17 = (174)4 17
Vì 174 có tận cùng là 1 nên ( 17 4 ) 4cũng có tận cùng là 1 hay 176 cũng có tận cùng là 1 Do đó 1716.17 có tận cùng là 7
Hai số 4343 và 1717 có chữ số tận cùng giống nhau nên 4343-1717 có chữ số tận cùng là 0, Suy ra 4343-1717 chia hết cho 5
Bài tập tương tự
Bài1 Cho B = 3 + 33 + 35 + …+ 31991
Chứng minh rằng B chia hết cho 13 và 41
Bài 2 Cho C = 119 + 118 + 11 7 + …+ 11 + 1
Chứng minh rằng C chia hết cho 5
Bài 3 Chứng minh rằng A chia hết cho B với
A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 + 1003
B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100
Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ
Bài toán 1: Chứng minh rằng n3-n chia hết cho 6 với n nguyên
*Cách 1: Vì (2,3) = 1 nên chỉ cần chứng minh n3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3 Ta có n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n - 1)
Mà n, n + 1, n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1)(n - 1)2
Mặt khác: n có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k
Z)
+ Nếu n = 3k thì n3 – n = (3k)2- 3k = 3k (9k2 – 1) 3
+ Nếu n = 3k + 1 thì n3 – n = n(n + 1)(n - 1) =3k(3k + 1)( 3k + 2) 3 + Nếu n = 3k + 2 thì n3 – n = n(n + 1)(n - 1) = (3k + 1)( 3k + 2)( 3k + 3) = 3(k + 1)( 3k + 1)( 3k + 2) 3 KL: Vậy n3 – n 6 với n nguyên
*Cách 2: Nếu n là số nguyên thì chỉ có thể biểu diễn thành một trong các
dạng sau 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 ( do phép chia một số cho 6)
+ Nếu n = 6p thì n3 – n = 6p (6p + 1)(6p - 1) 6
+Nếu n = 6p + 1 thì n3 – n = 6p(6p + 1)(6p + 2) 6
+ Nếu n = 6p + 2 thì n3 – n = 6(3p + 1)(2p + 1)(6p + 1) 6
Trang 7+ Nếu n = 6p + 3 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6.
+ Nếu n = 6p + 4 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6
+ Nếu n = 6p + 5 thì n3 – n = 6(36p3+ 54p2 + 26p – 4) 6
KL: Vậy n3 – n 6 với n nguyên
*Cách 3: Ta chứng minh n3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3
Nếu n 0 (mod 2) thì n3 – n 03 – 0 0 (mod 2)
Nếu n 1 (mod 2) thì n3 – n 13 – 1 0 (mod 2)
Như vậy với n nguyên, n3 – n 0 (mod 2) nghĩa là n3 – n chia hết cho 2 Mặt khác
+ Nếu n 0 (mod 3) thì n3 – n 03 – 0 0 (mod 3)
+ Nếu n 1 (mod 3) thì n3 – n 13 – 1 0 (mod 3)
+ Nếu n 2 (mod 3) thì n3 – n 23 – 2 0 (mod 3)
Với n nguyên n3 – n 0 (mod 3) nghĩa là n3 – n chia hết cho 3
KL: Vậy n3 – n 6 với n nguyên
Bài toán 2: Chứng minh rằng 2n +
nchuso
1
11 chia hết cho 3
*Chú ý: Số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư trong phép chia cho 9 Do đó
nchuso
1
11 - n chia hết cho 9
Ta có: 2n +
nchuso
1
11 = 3n + (
nchuso
1
11 - n) chia hết cho 3
Bài toán 3: Chứng minh rằng A = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
*Cách 1 : A = 10n + 18n – 1 = 10n - 9n + 27n – 1 =
nchuso
9
99 - 9n + 27n
= 9(
nchuso
1
11 - n) + 27n
Mà 27n chia hết cho 27 nên (
nchuso
1
11 - n) chia hết cho 9 suy ra 9(
nchuso
1
11 - n) Vậy 10n + 18n – 1 chia hết cho 27
*Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học)
+ Nếu n = 1 thì A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hết cho 27
Trang 8Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+ Giả sử mệnh đề đúngv với n = k tức là Ak = 10k + 18k -1 chia hết cho 27
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
Thật vậy Ak+1 = 10k+1 + 18(k + 1) – 1 = 10k.10 + 18k + 18 – 1
Ak+1 = 10 (10k + 18k -1) – 9.18k +27
Ak+1 = 10 (10k +18k-1) – 27.6k + 27
Mà 10 ( 10k + 18k-1) 27 => Ak+1 27
27 6k 27 ; 27 27
Vậy 10n + 18 n-1 chia hết cho 27
Bài toán 4: Với mọi n dương chứng minh:
B = 7n +3n -1 chia hết cho 9
Cách 1: (Phương pháp quy nạp toán học)
+Nếu n = 1 thì B = 7 + 3 - 1 = 9 9
Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là Bk = 7k +3k -1 chia hết cho 9
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1
Thật vậy: Bk+1 = 7k+1 = 3 ( k+1) -1
Bk+1 = 7 7k + 3k + 3 -1 Bk+1 = 7 ( 7k + 3k -1) – 6 3k – 9 Bk+1 = 7( 7k + 3k -1) – 9.2k -9 Bk+1 9
Vậy 7n + 3n -1 9 mọi n nguyên dương
Cách 2: Ta có : 7n + 3n -1 = (6 + 1) n + 3n -1
= 6n + c1
n 6n-1 + c2 n 6 n-2 + … + cnn-1 6 + cnn + 3n-1
=(6n+ cn1.6n-1 + cn2 6n-2 +… + cnn-2 62) + cnn-1 6+ cnn+3n-1
=(3.2)n +cn1 (2.3)n-1 + cn2 (3.2)n-2+….+cnn-2+(3.2) n+2+d cnn-1 6 + cnn + 3n-1
=2n 3n + cn1 2n-1.3n-1+….+ cnn-2.3n-2.2n-2 + 6n + 1 + 3n -1
Trang 9=32 (2n 3n-2+ cn1.2n-1.3n-2 + … +cnn-2 22 )+9n.
=9(2n 3n-2 + cn1 2n-1 3n-2+…+ cnn-2 22) + 9n 9
Vậy 7n + 3n -1 9 mọi n nguyên dương
Bài tập tương tự
Bài1: Chứng minh rằng :
a)-10n + 72n -1 chia hết cho 91
b)- 22n +15n-1 chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì
(n+ 19931994 ) (n+ 19941993 ) chia hết cho 2
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133
+Đối với bài số 3 thì đây là dạng toán chia hết mà số mũ chứa chữ nên khi làm cần định hướng cho học sinh cách làm như sau:
Cách 1:
Ta có: 122n+1+11n+2 = (122)n 12 + 11n 112
=144n 12+ 11n 121 =12( 144n – nn) + 12.11n + 121 nn
= 12 133 M + 133 11n
Mỗi số hạng đều hết cho 133 nên 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133
Cách 2 : (Phương pháp quy nạp toán học).
Với n =1 thì tổng 123 + 113 = (12 + 11) (122 -12 11 + 112)
=22.133 chia hết cho 133
vậy mệnh đề đúng với n=1
Giả sử mệnh đề đúng với n=k Tức là 122k+1+11k+2 chia hết 133
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1
Thật vậy: 122k+3 +11k+3=144 122k+1+11k+3
= 133 122k+1 +11 122k+1 + 11k+3
=133 122k+1 +11 (122k+1 + 11k+2 )
Vỉ 133 122k+1
133; 11(122k+1 +11k+2) 133
Trang 10133 122k+1+11(132k+1 +11k+2) chia hết cho 133
Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133
Cách 3:
Ta có : 122n+1+11n+2 =122n+1 +11n+2+112(2n+1) -112(2n+1)
=(122n+1+112(2n+1)) - (112(2n+1) -11n+2)
=122n+4 +(112)2n+1 –(114n+2 -11n+2)
=(122n+1 +(112)2n+1) -11n+2 (113n-1)
Vì 122n+1 + (112)2n+1 = (12 +112) P 133
và 113n -1 = (113 -1) Q =(n-1) (n2 +11 +1) Q
= 10 133 Q 133
Vậy 122n+1 +11n+2 chia hết cho 133
Dạng 4:Tìm điều kiện để một bài toán chia hết cho một số hoặc cho một biểu thức
Bài toán 1:tìm số tự nhiên n sao cho n2 +4 n +1
Ta có : 14
n
n
n = 115
n
n
= (n 1)(n1)5n 1 = n-1 + 51
n
để (n2 + 4) (n+1) thì 5 n+1 hay n+1 Ư(5)
Mà Ư(5) ={1; 5}
*n+1 = 5 -> n = 0 (thoả mãn)
*hoặc n+1 = 5 -> n = 4 (thoả mãn)
Vậy với n = 0 ; n = 4 thì n2 + 4 n+1
Bài toán 2: tìm số tự nhiên n để : 32n+3 + 24n +1) 25
đặt A = 32n+3 + 24n +1) =27.32n + 2 24n =25 32n + 2(32n+24n) =BS25 + 2(9n + 16n) +Nếu n lẻ thì 9n +16n
25 do đó A25 +Nếu n chẵn thì 9n có tận cùng là 1, còn16n có tận cùng là 6
2( 9n +16n) có tận cùng là 4 Vậy A không chia hết cho 25
Vậy với n lẻ thì 32n+3 + 24n +1) 25
Bài toán 3: Cho đa thức f(x) = a2x 3 +3ax2 -6x -2a (a Q)
Xác định a sao cho f(x) (x +1)
+Cách 1: đặt phép chia đa thức.
a2 x3 +3ax2 -6x -2a = (x +1) a2x2 +(3a –a2 ) x +(a2-3a -6) +(-a2 +a +6)