Bài tập toán thể tích potx

Biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo α.. Tính thể tích hình chóp S.ABC Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC.. Chứng minh m

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo α

Lời giải:

Do (SCI)⊥(ABCD) ; (SBI)⊥(ABCD) ⇒SI⊥(ABCD)

Kẻ IK⊥BC⇒SK⊥BC (định lý ba đường vuông góc)

.(2 )2

Mà SI = IK.tg(600) = 3 IK ; BC = BI = a 5 ; IC = a 2

BH2 = BC2 – HC2 = 5a2 –

2 2 2

a

  =

2 9 2

a ⇒ BH = 3 2

2

a

2

5 5

BIC

a a

a

a

Vậy SI = 3 3 5 3 15

=

3

5

S ABCD a

Bài 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

Ta có : BD ⊥AC; BD ⊥ SA Þ BD ⊥ (SAC) Þ BD ⊥ SO

SOA=éSBD ABCD ù=

3 2

a

D

C I

K

2a

60 0

C K

H

a

a

S

C D

Bài 3: Cho hình chóp SABC có góc (·SBC) (, ABC)=600, ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a Tính thể tích hình chóp S.ABC

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC thì SM ⊥ BC,

Suy ra ∆SMA đều có cạnh bằng 3

2

a

Do đó 1 600

2

SMA

16

3

a 2

3 4

a 2

=

=

1

3

16

3

a 16

3 a a 3

=

3

=

M

C

B

A S

M

S

A

B Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD

Lời giải:

Thể tích của khối tứ diện SACD là: 1 1 3 3

a

O

C

A

D S

60 0

Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD=a 2 , CD = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA=3 2 ,a a( >0) Gọi K là trung điểm của cạnh DC Chứng minh mặt phẳng (SBK) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và tính thể tích khối chóp SBCK theo a

Lời giải:

Gọi H là giao của AC và BK thì

a

a

CH = CA= Þ BH2+CH2=2a2=BC2Þ BK^AC

Từ BK^AC và BK^SAÞ BK ^(SAC)Þ (SBK) (^ SAC)

2

3

a

A

H S

D

K

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD (tức SA = SB = SC = SD) và ABCD là hình vuông), cạnh đáy là

a, cạnh bên làm với mặt đáy góc a (

4

p

a > ) Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a và a Lời giải: S.ABCD là hình chóp tứ giác đều Þ SH ^(ABCD) với H là tâm của hình vuông ABCD

2

2

a

Vậy thể tích hình chóp S.ABCD bằng:

a

H

C D

S

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với diện tích Q Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy, còn các mặt bên (SBC) và (SCD) tạo với đáy lần lượt là góc a b, Tính thể tích hình chóp theo

Q, a b,

Lời giải:

Ta có: ( ) ( ) ( )

ïî

Từ AB^BCÞ SB^BC (định lý ba đường vuông góc) Þ SBAˆ =a Tương tự SDAˆ =b

Gọi các cạnh của hình chữ nhật đáy là AB = a; AD = b; h = SA

Ta có: Q = a.b

a tan tan

h

ü

ï

( )

tan

tan

b

.tan

tan

Q

b

tan

b

Từ (1) và (2) cho ta:

3

b

l a

C D

S

Bài 8: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C) Các nửa đường thẳng Ax, Cy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ở cùng một phía đối với mặt phẳng đó Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích hình chóp B.AMNC (đỉnh B, đáy AMNC)

Lời giải:

:

MI

AI

ìïï

ïïî

Mà AI^BI (định lý ba đường vuông góc) Þ BI ^(AMNC)

Do đó h = BI là đường cao hình chóp B.AMNC

Diện tích đáy B của hình chóp B.AMNC là hình thang vuông AMNC

2 AM +CN AC=2 m n a+

Thể tích hình chóp B.AMNC là:

2

m n a a

B A

x

y

I

M

N

Bài 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy AB = a và góc ·SAB=α Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a, α

Lời giải:

đường xiên hình chiếu

a

O

A s

D

Gọi M là trung điểm AB và O là tâm hình vuông (đáy của hình chóp A.ABCD)

Ta có: SO là đường cao của hình chóp

OM ⊥AB

⇒ ⊥ (định lý ba đường vuông góc)

.tan tan

2

a

Định lý pitago trong ∆SOM O(µ =900) , cho ta:

α

Thể tích hình chóp:

3 2

−

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và SA = SB = SC = SD a Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a

Lời giải:

O

D

A

S

M

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD ⇒SO là đường cao hình chóp

Gọi M là trung điểm AB Ta có: OM ⊥ AB⇒SM ⊥AB (định lý ba đường vuông góc)

2

ABCD

2

với đáy góc 60 0 Tính thể tích hình chóp S.ABCD.

Lời giải:

O C

B

A

D

S

I

Gọi I là chân đường cao kẻ từ S trong ∆SAD

Ta có: các mặt bên hợp với đáy góc 600, nên hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy sẽ cách đều các cạnh đáy Suy ra: SO là đường cao của hình chóp

∆SOI vuông c SIOos· IO

SI

2 os

3

IO

(1)

sin 6

(2)

Từ (1) và (2): 3

2

a

SI OA= = (đường cao tam giác đều)

2

3 3 2

a

 

2 3

2

ABCD

a

Bài 12: Cho tứ diện ABCD, trong đó AD vuông góc với mặt phẳng ABC, AD = 4a, AB = 3a, AC = 4a,

BC = 5a, a là số dương cho trước Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông, tính thể tích tứ diện đó

Lời giải:

Ta có: BC2 =25a2 =16a2+9a2 =AC2+AB2Þ DABC là tam giác vuông tại A

2

ABC

Thể tích tứ diện: 1 1.6 42 8 3

V = S AD= a a= a (đvdt)

C D

B

Bài 13: Cho một hình tứ diện SABC với SAB, SBC, SCA vuông góc với nhau từng đôi một và có diện tích tương ứng là 24cm2, 30cm2, 40cm2 Tính thể tích của hình tứ diện đó

Lời giải:

z x

y

30cm

40cm

24cm

S

C A

B

Đặt: SA = x, SB = y, SC = z

2.24 48

2.30 60

2.40 80

xy

yz

zx

ïï

ïï

Þ íïï = =

ïïî

48.60.80 6.10.8 80

Bài 14: Cho tứ diện SABC có cạnh SA^(ABC). Nhị diện cạnh SB là nhị diện vuông, cho biết:

SB=a BSC= B=a < <a

Tính thể tích tứ diện SABC Với giá trị nào của a thì thể tích đó lớn nhất.

Lời giải:

A

B

C

Ta có : BC = SB = a 2

sin 2 sin

Thể tích tứ diện: 1 1 3 2 sin 2

a

D

( )

3 2

1 6

SABC

a

V

Đẳng thức trong (1), xảy ra sin 2 1

4

p

3 2 max

6

SABC

a V

4

p

a = (ycbt) Bài 15: Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lần lượt chọn các điểm A, B, C Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo:

OA = a, OB = b, OC = c

Lời giải:

c a

b

O

C A

B

K

H

Dựng OK^BCÞ BC^(AOK)( )1

Dựng OH ^AKÞ OH ^(ABC) tại H (do: Þ( )1 BC^OH )

Khi đó ta có: d O ABCéë;( )ù=û OH .

Xét:

AOK vu ng ta

BOC vu ng ta

ïïï

íï

ïïïî

abc OH

+ + (ycbt) Bài 16: Cho tứ diện SABC có cạnh SA^(ABC), nhị diện cạnh SB là nhị diện vuông Cho biết cạnh

2

SB=a , góc ·BSC=450, góc ·AS 0

2

aæç a ö÷

= ççè < < ÷÷ø Tính thể tích tứ diện SABC.

Lời giải:

S

A

B

C

Ta có :

AS os

c

SC

a

ìïï =

ïïï

íï

ïïïî

Thể tích tứ diện là:

3

Bài 17: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a Tính thể tích tứ diện OO’AB

Lời giải:

Kẻ đường sinh AA’ Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’ và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D

Do BH ^A D v BH' à ^AA ' nên BH ^(AOO A' ')

1 3

Ta có:

'

BO D

2

a BH

Vì AOO’ là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên:

2

'

1

2

AOO

Vậy thể tích tứ diện OO’AB là:

Câu 18: Cho hình chóp SABC có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD=a 2,SA= và SA vuông góca

với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC ; I là giao điểm của BM và

AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

Lời giải:

a

a

I

M N

A

D

S

H

A’

A

B

O

D

Xét ABMD và DBCA vuông có 1

2

ABC

AB = =BC Þ D đồng dạng DBCA

( )1

SA^ ABCD Þ SA^MB

Từ (1) và (2) Þ MB^(SAC)Þ (SMB) (^ SAC)

Gọi H là trung điểm của AC Þ NH là đường trung bình của SACD

/ /

NH

ìïï

ï

Þ íï

ïïî nên NH là đường cao của khối tứ diện ANIB.

Do đó: 1

3

Ta có:

2

,

Bài 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCMN

Lời giải:

M H S

A

B

C N

K

Gọi K là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SK

Do BC^AK BC, ^SAÞ BC^AH

Do AH ^SK AH, ^BCÞ AH ^(SBC)

Xét tam giác vuông SAK:

19

a AH

Xét tam giác SAB:

2 2

2

4

5

Xét tam giác SAC:

2 2

2

4

5

Suy ra

2

SMN

SBC

Vậy, thể tích khối chóp A.BCNM là: 1. . 3 3 3

a

Bài 20: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

(00 900)

j < <j Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, j

Lời giải:

O

C D

S

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì SO là đường cao của hình chóp S.ABCD Suy ra góc ·SAO j=

2

ABCD

Thể tích hình chóp S.ABCD là:

a

Bài 21: