skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 trường thpt quan sơn tiếp cận và giải nhanh các bài tập về thể tích của khối đa diện

Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủđộng tư duy sáng tạo của Học sinh; phù hợp đặc điểm của từng lớp học, từngmôn học, bồi dưỡng phương pháp tự học; k

A-ĐẶT VẤN ĐỀ

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong giai đoạn đổi mới hiện nay trước yêu cầu của sự nghiệp CNH- HĐHđất nước, để tránh nguy cơ tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ thì việc cấpbách là phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Cùng với việc thay đổi vềnội dung cần có sự thay đổi về phương pháp dạy học

Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủđộng tư duy sáng tạo của Học sinh; phù hợp đặc điểm của từng lớp học, từngmôn học, bồi dưỡng phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm,rènluyện kỷ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lạiniềm vui hứng thú trong học tập cho học sinh

Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn Toán được nhiều học sinhyêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khókhăn và trở ngại cho không ít học sinh và giáo viên, thậm trí ta có thể dùng từ

“SỢ” học Từ việc học sinh sợ học dẫn tới giáo viên cũng ngại dạy và ngày cànghọc sinh học yếu hơn Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp Đây là phần cótrong cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và thường xuyên xuất hiện trongcác đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải

tư duy cao, khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà một chủ điểm quantrọng của hình học không gian tổng hợp đó là “TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI

ĐA DIỆN” nhưng qua thực tiễn giảng dạy tại Trường THPT Quan Sơn nhữngnăm qua trong các kỳ thi các em học sinh thường bỏ qua bài tập dạng này Như chúng ta đã biết trong giảng dạy đã chia ra 4 mức độ của nhận thức là

1, Nhận biết 2, Thông hiểu

3, Vận dụng 4, Sáng tạo

Như vậy việc đưa ra các bài tập tuỳ theo mức độ của nhận thức của học sinh

là việc cơ bản khi giảng dạy Để làm tốt việc dạy học phân hóa đối tượng vàđưa ra các bài tập phù hợp thì việc phân dạng, loại bài tập với giáo viên và giúphọc sinh phân dạng toán cũng rất quan trọng và cần thiết cho học sinh dễ hiểu,tạo sự thích thú đam mê trong học tập và khám phá

Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại, ngày càng yêu thích vàhọc toán hơn, cũng như giúp các em có kiến thức vững chắc để ôn thi Tốtnghiệp và ĐH-CĐ.Tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm:

“Hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quan Sơn Tiếp cận và giải

nhanh các bài tập về thể tích của khối đa diện”

B-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I.CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI:

Để làm tốt các bài tập về tính thể tích của khối đa diện việc đầu tiên chúng ta

cần phải giúp học sinh nắm vững các công thức và khái niệm sau:

Nếu khối đa diện (H) được chia thành các khối H 1 ; H 2 ; ;H n thì:

Thể tích của khối lăng trụ được tính theo công thức:

V = Bh

(B là diện tích đáy , h là độ dài đường cao)

Qua hai công thức trên ta thấy để tính được thể tích của khối đa diện yêu cầuchúng ta phải xác định được 2 yếu tố đó là tính được diện tích đáy và độ dài củađường cao

Để xác định chân đường cao học sinh cần lưu ý:

-Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy

-Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đườngtròn ngoại tiếp mặt đáy

- Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chânđường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy

-Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trêngiao tuyến của mặt phẳng đó và đáy

-Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trêngiao tuyến của hai mp đó

Để tính độ dài đường cao và diện tích đáy học sinh cần ghi nhớ và vận dụngtốt:

- Các hệ thức lượng trong tam giác, đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giácvuông

- Các khái niệm liên quan đến góc, khoảng cách và cách xác định

II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:

Trường THPT Quan Sơn đặt trên vùng kinh tế đặc biệt khó khăn, trình độdân trí còn thấp, phụ huynh học sinh chưa nhận thức được tầm quan trọng củaviệc học tập của con cái nên chưa có sự quan tâm và đầu tư đúng hướng Nănglực học tập của học sinh còn hạn chế do đầu vào lớp 10 quá thấp, khả năng tựhọc, tự tìm tòi sáng tạo của học sinh gần như chưa có Đa số học sinh không cóđầy đủ đồ dùng học tập, sách giáo khoa, sách tham khảo Ngoài thời gian tớitrường các em lại phải giúp bố mẹ công việc gia đình, có những em còn là laođộng chính để nuôi sống gia đình không có nhiều thời gian dành cho học tập.Nên các khái niệm các em thường nắm không vững, hay quên và khó vận dụng

năm gần đây trong các kỳ thi TN- ĐH CĐ lại thường có bài tính thể tích củakhối đa diện, thông thường các em thường bỏ qua câu này.

Với thực trạng như vậy để giúp học sinh phát huy năng lực tư duy logic, trừutượng, tạo hứng thú trong học tập Bổ xung kiến thức cho các em có đủ kiến

thức để bước vào hai kỳ thi lớn là kì thi TN- ĐH CĐ Tôi xin giới thiệu đề tài:

“Hướng dẫn học sinh lớp 12 Trường THPT Quan Sơn tiếp cận và giải

nhanh các bài tập về thể tích của khối đa diện”

III BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:

Để tạo hứng thú học hình không gian cho học sinh cũng như giúp các em cóthể vận dụng lý thuyết vào việc giải nhanh bài tập trong quá trình giảng dạy vàđặc biệt là trong các tiết ôn tập tôi thường giúp học sinh hệ thống lại các kiếnthức liên quan, sau đó thực hiện các ví dụ từ mức độ đơn giản nhất sau đó nângdần mức độ khó hơn Giúp học sinh một mặt cũng cố kiến thức cũng từ đó hìnhthành phương pháp giải cho mỗi dạng toán mà không cảm thấy bị ngợp hoặcthấy khó quá mà bỏ cuộc

Thể tích của khối đa diện có thể phân ra làm hai dạng cơ bản nhưng trong mỗidạng lại có thể chia nhỏ ra để dễ nhớ ,dễ học cụ thể:

DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN

Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy SE

là đường cao của khối chóp

Ví dụ 2: ( Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau)

Cho hình chóp S.ABC có AB=5a,BC=6a,CA=7a Các mặt bên (SAB), (SBC),(SCA) cùng tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn học sinh:

Gọi D là hình chiếu của S lên (ABC)

Suy ra D là tâm tròn tròn nội tiếp tam giác ABC Suy ra SD là đường cao củakhối chóp

Ta có SABC= p(p a)(p b)(p c)=6a2 6 (

2

AB AC BC

p   ) mặt khác SABC=pr  r= S p = 6

3

2

a

Trong SDK ta có SD=KDtan600 = r.tan600= 2a 2

Do đó V SABC =31 SD.S ABC =8a 3 3.

Ví dụ 3 : (Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy 1 góc bằng

Suy ra SO là đường cao của khối chóp

OA=R= a4.b s.c =a  SO=OA.tan600=a 3

Do vậy V SABC =31SO.S ABC = 3

4

a

Ví dụ 4: (Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy)

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,SA=a, SB=a 3

và (SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,BC

Hãy tính thể tích khối chóp S.BMDN

Hướng dẫn học sinh giải:

AB

O

CS

N

Trong tam giác SAB kẻ SH vuông góc với AB, suy ra SH cũng là đường caocủa chóp SABCD và SBMDN SABCD=4a2

Ta có: SADM=1/2AD.AM= a2 và SCDN=1/2.CD.CN= a2

Nên SBMDN=SABCD-SADM-SCDN=4a2 -2a2=2a2

mặt khác 12 12 12

SB SA

SB SA

SB SA

3

Ví dụ 5: (Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy)

Tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC=a Trên đường thẳng vuông gócvới (ABC) tại A lấy S sao cho (ABC) và (SBC) tạo với nhau 1 góc 600 Tính thểtích của S.ABC

Hướng dẫn học sinh:

Gọi I là trung điểm của BC; SA vuông góc với đáy

Trong tam giác ABC ta có AI =

2

BC

= 2

Ví dụ 6: (ĐH- KA 2009) ( Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy)

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a,CD=a Góc giữa (SBC) và đáy bằng 600 Gọi I là trung điểm của AD, Biết(SBI), (SCI) cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn học sinh:

Nhận xét: Vì (SBI), (SCI) cùng vuông góc với đáy  SI(ABCD)

Gọi H là hình chiếu của I lên BC, J là trung điểm AB

S

BIA

C

 mà SI=IH.tan600= a

5

3

Ví dụ 7: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A,

AC=a, góc ACB=600 Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1)một góc 300.Tínhthể tích khối lăng trụ

Hướng dẫn học sinh:

Trong tam giác ABC ta có AB=AC.tan600=a 3

Ta có ABAC và ABA1A Nên AB mp(ACC1A) do đó AC1B=300

JS

S

 AC1=AB.cot300=3a Trong tam giác ACC1 ta có CC1= 2 2

Hướng dẫn học sinh:

B1

C1

A

1

B

CA

a mặt khác A1A= A1B= A1C

 A1ABC là tứ diện đều Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đườngcao của tứ diện cũng như lăng trụ

Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH=a33 vàA1AG=600

A1G=AG.tan600=a vậy VLT=A1G.SABC=

4

3

Hướng dẫn học sinh:

ABC vuông cân tại C và AB= 2  SABC=1

2.CA.CA=1

2 (ABB1) vuông góc với ABC từ A1 hạ A1G AB tại G A1G chính là đườngcao Từ G hạ GH  AC tại H  góc A1HG=600 Đặt AH=x(x>0)

Do AHG vuông cân tại H nên HG=x và AG=x 2

HGA1 ta có A1G=HG.tan600=x 3

trong A1AG có A1A2=AG2+A1G2  3=2x2+3x2 hay x=

5 15

Chú ý: Trong quá trình giảng dạy tùy từng đối tượng học sinh, tình huống

trực tiếp trên lớp ta có thể bổng sung các câu hỏi phụ để dẫn dắt học sinh trungbình yếu cũng có thể tiếp cận và lĩnh hội được nội dung của phương pháp Đốivới học sinh khá giỏi có thể lấy các ví dụ yêu cầu cao hơn hoặc các câu hỏi cầnmức độ tư duy cao hơn

Với ví dụ 8,9 là các ví dụ yêu cầu cao hơn trong việc xác định và tính độ dài củađường cao nên ví dụ này ta giành cho học sinh khá giỏi

TÍNH THỂ TÍCH BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP :

Nhận xét : Trong nhiều bài toán nếu tính trực tiếp như trên có thể gặp khó

khăn với 2 lí do: Hoặc khó xác định và tính chiều cao, hoặc tính được diện tíchđáy nhưng cũng không dễ dàng Khi đó trong nhiều trường hợp ta có thể hướnghọc sinh đi theo con đường khác:

- Phân chia khối đa diện cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản

mà các khối này dễ tính hơn

- So sánh thể tích khối đa diện cần tính với các khối khác đã biết thể tích

Tinh thần của phương pháp là ta sử dụng phân chia lắp ghép các khối đadiện, để đưa về bài toán áp dụng tính thể tích theo công thức hoặc sử dụng bàitoán tỉ lệ của hai khối tứ diện sau:

H

Bài toán: Cho hình chóp SABC Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt

ba điểm A1,B1,C1 khác với S chứng minh: S A B C1 1 1 1 1 1

Gọi H,E lần lượt là hình chiếu của A, A1 trên (SBC) AH / / A1E

nên SAH và SA1E đồng dạng 

1

1 SA

SA E

1 1 1

sin

3 1

sin 3 1

1 1

SC SB

SB E A

AH BSC

SC SB E A

BSC SC

SB AH V

V

C B SA

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a.

A1A =2a và A1A tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA

Gọi H là hình chiếu của A1 trên (ABC)

KhiđóA1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a 3  VLT=A1H.SABC=

4

3 4

Mặt khác ta nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp: CA1B1C1

B1ABC ; A1B1 CA mà V CA1B1C1 =V B ABC

Ví dụ 2: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạch AB bằng a Các cạnh bên tạo

với đáy một góc 600 Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC vàvuông góc với SA Tính thể tích của S.DBC

K

Ví dụ 3: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,A1A=c,BC=b Gọi

E,F lần lượt là trung điểm của B1C1 và C1D1 Mặt phẳng FEA chia khối hộpthành hai phần hãy tính tỉ số thể tích hai khối đa diện đó

Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c”

Theo TA-LET 31

1

1 1

HB

1 1

KD

1 3

1

3

1

1 1

3 2

1 3

1

2

1 3

1

1

abc c

b a JA

AI AA

3abc abc abc

A

IC

S

D

HH’

DẠNG 2: DÙNG CÔNG THỨC THỂ TÍCH ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP

HÌNH HỌC KHÁC:

DÙNG CÔNG THỨC THỂ TÍCH ĐỂ CHÚNG MINH CÁC HỆ THỨC:

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD ,điểm M ở miền trong của tứ diện AM cắt (BCD)

tại A’, BM cắt (ACD) tại B’; CM cắt (ABD) tại C’; DM cắt (ABC) tại D’

BCD MBCD

V  ( đpcm)

ABCD ABCD ABCD

I

E

F

J

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD, M là điểm nằm trong tứ diện cách đều các mặt của

tứ diện một khoảng r Gọi ha,hb,hc,hd là khoảng cách từ A,B,C,D đến các mặt đốidiện chứng minh: 1 1 1 1 1

BCD MBCD

M

A’

B’

H

Tương tự ta có '; '; '

ABCD ABCD ABCD

Ví dụ 1: Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông

góc với đáy , AB=a, BC=b, SA=c Tính khoảng cách từ A đến (BCD)

Hướng dẫn học sinh:

Ta có BC vuông góc với SA và AB nên BC vuông góc với SB

 tam giác SBC vuông tại B

1 2

Ví dụ 2: Cho chóp S.ABC, đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy AB = a, AC = 2a, SA = a.Mặt phẳng qua A vuông góc với SC tại K cắt SB

tại H Tính SK và diện tích AHK

Bài 2: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a.

Bài 3: Cho chóp đều S.ABCD có AB=a góc giữa mặt bên và đáy bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA (ABCD),

AB a , SC 3a, SA BC Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

Bài 5: Tính thể tích của khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

SA ABC , AB a , AC 2a, SA 3a

Bài 6: Cho tam giác cân ABC, có ABAC 2b, BC 2a Trên đường thẳng

vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA a

a Tính thể tích khối chóp SABC

b Tính diện tích SBC , suy ra khoảng cách từ A đến mp(SBC).

Bài 7: Cho chóp S.ABC có SB=SC=BC=CA=a hai mặt bên (ABC) và (ASC)

cùng vuông góc với (SBC) Tính thể tích S.ABC

B

C

Bài 8: Cho chúp S.ABCD cú hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cựng vuụng gúc

với đỏy,cũn đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật biết AB=a; BC=2a và SA=3a Tớnh thểtớch khối chúp S.ABCD

Bài 9: Cho chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng cạnh a; (SAC) vuụng gúc với

đỏy; gúc ASC bằng 900 và SA tạo với đỏy gúc α Tớnh thể tớch khối chúp

Bài 10: Cho chúp S.ABC cú gúc BAC bằng 900, gúc ABC bằng α; tam giỏcSBC đều cạnh a, (SBC) vuụng gúc với (ABC) Tớnh thể tớch khối chúp

Bài 11: (ĐH-A 2012) Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh

a Hỡnh chiếu vuụng gúc của S lờn (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB thỏa mónHA=2HB Gúc giữa SC và (ABC) bằng 600 Tớnh thể tớch của S.ABC và khoảngcỏch giữa SA và BC

Bài 12: (ĐH-A 2010): Cho khối chopS.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng

cạnh a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,AD Gọi H là giao điểm của CN

và DM Biết SH vuụng gúc với đỏy ABCD và SH=a 3 Tớnh thể tớch củaS.CDNM

Bài 13: (ĐH-A 2011) Cho chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng cõn tại B

AB=BC=2a Hai (SAB) và (SAC) cựng vuụng gúc với đỏy Gọi M là trungđiểm AB Mặt phẳng đi qua SM và song song với BC, cắt Ac tại N Biết gúcgiữa (SBC) và (ABC) bằng 600 Tớnh thể tớch khối chúp S.BCNM

Bài 14: Tớnh thể tớch của khối chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a,

cạnh bờn tạo với đỏy một gúc 300

Bài 15: (HSG-Thanh húa) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là

tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và ABC 30 0 Tính thể tích của khốilăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và CB’ bằng

Bài 17: (ĐH KB 2011)Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 cú đỏy ABCD là hỡnh chữ

nhật AB = a, AD = a 3 Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A1 trờn mặt phẳng(ABCD) trựng với giao điểm AC và BD Gúc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1)

và (ABCD) bằng 600 Tớnh thể tớch khối lăng trụ đó cho và khoảng cỏch từđiểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a

Bài 18: (HSG Nghệ An) Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' cú đỏy là tam giỏc đềucạnh a Hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A ' lờn mặt phẳng (ABC) trựng vớitrọng tõm tam giỏc ABC Biết khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AA ' và BC

bằng a 3

4 Tớnh theo a thể tớch khối lăng trụ ABC.A 'B'C'.

Bài 19: Cho tứ diện S.ABC cú ba cạnh SA, SB, SC đụi một vuụng gúc và

SA=a, SB=b, SC=c Hai điểm M, N lần lượt thuộc 2 cạnh AB, BC sao cho