ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều , mặt bên SCD là tam giác vuông tại S.. Tính thể tích khối chóp và tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.. Tìm toạ độ
Trang 1NHÁY A 2005
Thời gian làm bài : 180 phút
Đề A 2005
Câu 1 (2 điểm ) Cho hàm số : y = x - 2(m - 1) x 2 1
x 1
=
− 1) Định m để đồ thị hàm số có tiệm cận qua điểm (2; 3)
2) Định m để đồ thị có điểm cực đại cách tiệm cận xiên một khoảng là ½
Câu 2 (2 điểm ) :
1) Giải bất phương trình : 2x + 7− 3x - 2> x + 3
2) Giải phương trình : 2sin2(3 x + π/4) sin2x + (sinx - cos x)2 = 0
Câu 3 (1 điểm ) Tính tich phân : /2
0
sin 2x 1 3sin x
x
+
∫
Câu 4 (1 điểm ) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều ,
mặt bên SCD là tam giác vuông tại S Tính thể tích khối chóp và tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp
Câu 5 (1 điểm ) Cho x , y, z là các số dương thỏa mãn : 1 1 1 6
x+ + = , tìm giá trị lớn nhất của T = y z
3x 2y z+3y 2z x 3+ z 2x + y
Câu 6 (2 điểm )
1) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (x – 3)2 + (y + 2)2 = 8 Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn biết đường chéo hình vuông hợp với Ox một góc 450
2) Trong hệ trục Oxyz , cho đường thẳng d : x 1 3
y z
và mặt phẳng (P) : 2x + y + 2z =
0
a Tìm trên d điểm M cách mặt phẳng (P) một khoảng là 8
b Viết phương trình d’, hình chiếu của d lên (P)
2 2
x +y (x + )
log (x ) 3log (x ) 1
⎧⎪
⎨
GIẢI VẮN TẮT
Câu 1 1 y = mx – m + 2 + 1
x 1−
TC xiên qua (2 ; 3) Ù 3 = 2m – m + 2 Ù m = 1
2 y’ =
2
2
x - 2mx+ m -1
(x 1)
m
−
Vì ∆’ = m nên m > 0 thì có CĐ, CT và điểm CĐ là M(m m; 2 (m m m) 2m 2)
Trang 2= (1 - 1 ; 2 2 m)
d(M, ∆) =
2
1
m
2 1
m
+
Ù 4m = m2 + 1 Ù m2 – 4m + 1 = 0 Ù m = 2 ± 3
Câu 2
1) ĐK : x ≥ 2/3 : 2x + 7 > 3x - 2+ x + 3
Ù 2 x + 7 > 4 x + 1 + 2 3x + 7 x-6 2
Ù 3x + 7x - 6 < 3 x2 − <=> x < 32 2
3x 7 x – 6 x – 6 x 9
⎧
⎨
Ù 2/3 x < 32 Ù 2/3 ≤ x < 1
2x + 13x - 15> 0
≤
⎧
⎨
⎩
2) [1 – cos(6x + π/2)] sin 2x + 1 - sin 2x Ù sin 2 x + sin6x sin2x + 1 - sin 2 x = 0
Ù cos4x – cos8x + 2 = 0 Ù 2cos24 x - cos4x - 3 = 0 Ù cos 4x = - 1 Ù x = π/4 + k π/2
Câu 3 I = /2
0
2sin xcos x 1 3sin x
dx
1 sin x
+
∫
Đặt t = 1 3sin x+ => = +t2 1 3sin x =>2tdt=3cos x d x
=> I =
2
2
2 1
1 2
1 1
3
t
− +
t
3
=
2 2
2
1
t
t
Câu 4 Gọi I, J lần lượt là trung điểm của IJ: AB vuông góc IJ và SI nên vuông góc (SIJ)
Kẻ SH vuông góc IJ thì SH là đường cao hình chóp
Do SI = a 3 / 2 , SJ = a/2 và IJ = a => tam giác SIJ vuông tại S Suy ra: SH = .
4
SI SJ a 3
IJ = => V = 3
3
12
a
A
B C
D
I J
H
O
G
• Tâm mặt cầu O là giao điểm hai trục G x và
Jy của hai tam giác SAB và SCD
• R2 = SO2 = SG2 + SJ2 = (a2/3 + a2/4)
= 7a 2/12
=> R = 21
6
a
Trang 3Câu 5
Áp dụng BĐT: ( )(1 1) 4 1 1 1 1
4
a b
⎛
⎞
⎟, ta có :
4 3x 2y z 3y 2z x 3z 2x y
9
a b c
1
⎥
1
Vậy max T = 1 khi x = y = z = ½
Cách khác : Dùng BĐT Côsi cho 6 số, ta được :
1
⎞
⎟
⎠
Câu 6 1) Không mất tính tổng quát có thể giả sữ hệ số góc của BD là 1 Biết BD qua tâm I(3 ; - 2) nên
phương trình BD là : y = 1 (x – 3) – 2 = x – 5 Thế vào phương trình đường tròn, ta được phương trình hoành độ B, D :
(x – 3)2 + (x – 3)2 = 8 Ù x = 5 hay x = 1 ( đó là hoành độ B hay D)
Tương tự, phương trình AC là y = - 1.(x -3) – 2 = - x + 1 Thế vào phương trình đường tròn ta được hoành độ của A và C
2) a M = (t + 1; 2t ; 2t + 3), ta có :
d(M, (P)) = | 2 2 2 4 6 | 8
3
t+ + + +t t
= Ù |8t + 8| = 24 Ù t = 2 hay t = - 4 Vậy M =
b Ta tìm toạ độ giao điểm A của d và (P) : 2(t + 1) + (2t) + 2(2t + 3) = 0
Ù 8t + 8 = 0 Ù t = - 1 => A(0 ; - 2; 1)
d’ là giao tuyến của (P) và (Q), mặt phẳng qua d và vuông góc (P)
VTPT của (Q) là : nJJJG( )Q =[ ,a nJJG JJJGd ( )P ]= (2 ; 2 ; - 3)
= VTCP của d’ là : aJJGd' =[nJJJG JJJG( )P ,n( )Q ] ( - 7 ; 10 ; 2) Suy ra phương trình d’ : x 2 1
y+ z−
Câu 7 ĐK : x + y > 0 và x y > 0 Ù x , y > 0
(1) Ù log2(x + y) x y = 1 Ù (x + y)x y = 2
(2) Đặt t = 5x +y 2 2 ≥ 1: t - 50/t – 23 = 0 Ù t2 – 23t – 50 = 0 Ù t = 25
Ù x 2 + y2 = 2
Đặt S = x + y, P = x y : S P = 2 ; S2 – 2P = 2
S2 – 4/S - 2 = 0 Ù S3 - 2S – 4 = 0 Ù (S – 2)(S2 + 2S + 2) = 0 Ù S = 2 => P = 1
Trang 4Hệ có 1 nghiệm (1 ; 1)
