- Nhận biết được và cho ví dụ cụ thể được về phương trình bậc nhất hai ẩn.. - Biết cách viết tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn và vẽ minh hoạ được bằng hình học.. - Nhận biết đ
Trang 1
ÔN TẬP CHƯƠNG 3
A.Lý thuyết
Phần 1: Yêu cầu kiến thức cần nắm đối với học sinh yếu ,kém
- Nhận biết được và cho ví dụ cụ thể được về phương trình bậc nhất hai ẩn
- Biết cách viết tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn và vẽ minh hoạ được bằng hình học
- Nhận biết được và cho ví dụ cụ thể được về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hiểu và giải được thành thạo hệ phương trình bằng hai phương pháp cộng và thế đối với các hệ phương trình có hệ số bằng số đơn giản
- Bước đầu tiếp cận với các hệ phương trình có tham số đơn giản, biết thay và giãi
hệ với tham số cụ thể
- Bước đầu làm quen với các bài toán giải bằng cách ứng dụng giải hệ phuơng trình đơn giản như xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B
- Làm quen và giải các bài toán giải bằng các lập hệ phương trình đơn giản theo trình tự các bước
Phần 2: Yêu cầu kiến thức cần nắm đối với học sinh TB và khá
- Nẵm vững và cho ví dụ cụ thể được về phương trình bậc nhất hai ẩn
- Biết cách viết tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn và vẽ minh hoạ được bằng hình học
- Nhận biết được và cho ví dụ cụ thể được về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Hiểu và giãi được thành thạo hệ phương trình bằng hai phương pháp cộng và thế đối với các hệ phương trình có hệ số bằng số
- Giải hệ bằng phương pháp minh hoạ bằng đồ thị :
Cho hệ pt:
= +
= +
' ' 'x b y c a
c by ax
⇔
+
−
=
+
−
=
) ' ( '
' ' '
) (
d b
c x b
a y
d b
c x b
a y
* Vẽ d và d' trên cùng một mặt phẳng toạ độ
* Xác định giao điểm chung : +Nếu d cắt d' tại điểm A (x0; y0) ⇒ Hệ có một nghiệm duy nhất (x0; y0) + d// d' ⇒ Hệ vô nghiệm
+ d trùng với d' ⇒ Hệ vô số nghiệm và nghiệm tổng quát là ( x ∈ R; y=
b
c x
b
a
+
−
)
- Bước đầu tiếp cận với các hệ phương trình có tham số đơn giản, biết thay và giãi
hệ với tham số cụ thể ,giải biện luận hệ có tham số
- Giải thành thạo các bài toán giải bằng cách ứng dụng giải hệ phuơng trình đơn giản như xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B và một số bài toán khác
Trang 2- Nắm vửng các bước giãi các bài toán giải bằng các lập hệ phương trình và giải nhiều bài cụ thể
B Bài tập:
Phần 1: Yêu cầu đối với học sinh yếu.
Bài 1: Giải hệ pt bằng phương pháp thế:
a )
=
+
=
+
7 3
2
3
y
x
y
x
b ) + =35x y x− =2y 528 c ) − = −32x x y+5y=18
Giãi
a )PP thế : Hướng dẫn HS chọn PT(1) ⇒ y= 3 -x (1')
Thế vào PT (2) ta được :
2x + 3( 3 -x ) = 7 ⇔ 2x +9 - 3x = 7
⇔ -x = 7-9 =-2 ⇔ x= 2
Thay x = 2 vào (1') ⇒ y= 3 -2 = 1
Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất ( x= 2 ; y =1)
c)
=
−
=
⇔
−
=
+
=
⇔
= + +
+
=
⇔
−
=
−
=
+
2
3 39
13
8 2 1
) 8 2 ( 5 3
8 2 8
2
1 5
3
y
x x
x y x
x
x y y
x
y
x
Bài 2: Giải hệ pt bằng phương pháp cộng đại số:
a)
=
+
=
+
7 3
2
3
y
x
y
x
b ) − = −− + =x y2x y 21 c ) + = −4x x y− =2y 51
Giãi
a)PP cộng : Nhân 2 vế của PT(1) với 2 ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho :
=
+
=
+
7
3
2
6
2
2
y
x
y
x
⇔
= +
=
3
1
y x
y
⇔
=
=
2
1
x y
b) x− + =2−x y2y= −12⇔2− + =2x x y−4y= −14⇔x y==10
c) 4x x y+− =2y= −51⇔8x x+−22y y= −=101 ⇔2x y== − −1 x 1⇔x y== −11
Bài 3: Xác định các giá trị của a và b để hệ pt
5
x by
ax by
+ =
a) có nghiệm (-1;3)
b) Có nghiệm (− 3;3)
HD giải:
a) Hệ pt có nghiệm (-1;3) ta thay x = -1; y = 3 vào hệ pt ta có
Trang 33.( 1) 3 6 3 3
b) Hệ pt có nghiệm (− 3;3)ta thay x = -3, y = 3 vào hệ pt ta được
5 3.( 3) 3 6 3 6 9
10 ( 3) 3 5 ( 3) 3 5
3
b
=
Bài 4: Cho hệ pt
−
=
+
=
+
1
1
2
m
my
mx
y
mx
Giải hệ pt khi:
a) m = 3
b) m = 2
c) m = 0
HD giải: a) Khi m = 3 ta có hệ pt
= +
= +
2 3 3
1 2 3
y x
y x
gải hệ pt được nghiệm là (x;y) = (-
3
1
; 1)
c) Khi m = 2 ta có hệ pt
= +
= +
1 2 2
1 2 2
y x
y x
hệ có vô số nghiệm
Ta có công thức nghiệm tổng quát là
−
=
∈
2
2
1 x y
R x
hoặc
−
=
∈
2
2
x
R y
Bài 5: Cho hệ pt
=
+
=
+
2
.
1
y
x
a
ay
x
(I)
a) Giải hệ pt khi a = 2
b) Với giá trị nào của a thì hệ pt có nghiệm duy nhất
HD giải:
a) Khi a = 2 hệ pt có nghiệm (x;y) = (1;0)
b)
−
=
−
−
=
⇔
= +
−
−
=
⇔
(*) 2 ) 1 (
1 2
) 1 (
1 )
a y
a
ay x
y ay a
ay x
pt (*) có nghiệm duy nhất ⇔ 1 – a2 ≠ 0⇔ a ≠ ± 1
Bài 6: Cho hệ PT :
−
=
+
=
+
1
1
2
m
my
mx
y
mx
a; Tìm m biết nghiệm của hệ là x= -1/3 ; y =1 ?
b; Giải hệ với m =0 ?
Trang 4HD Giải :
a; Vì nghiệm của hệ là x= -1/3 ; y =1 Nên Ta thay vào hệ ta có :
3 3
3 1
1 )
3
/
1
(
1 1 2
).
3
/
1
(
=
⇔
=
=
⇔
−
= +
−
= +
−
m m
m m
m
m
m
Vậy với m= 3 thì hệ trên có nghiệm là x= -1/3 ; y =1
b; Thay m = 0 vào hệ PT ta được :
−
=
=
⇔
−
=
+
=
+
1 0
1 2 1 0
0
0
1
2
y
x
y
x
⇒ Hệ PT vô nghiệm
Bài 7: tìm a và b biết :
a; Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1 ; 5 ), B ( -1 ; -1 )
b; Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B ( ; 1 )
2
3 −
Giải :
a; Vì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1 ; 5 ), B ( -1 ; -1 ), nên thay vào
phương trình đường thẳng ta có hệ:
+
−
=
−
+
=
b
a
b
a
1
5
Giải ra ta được : a=3; b = 2
b Vì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B ( ; 1 )
2
3
− nên thay vào phương trình đường thẳng ta có hệ:
+
=
−
+
−
=
b
a
b
a
2
3
1
5
3
Giải ra ta được :
a=-13
8
; b = -
13 1
Bài 8:
Bảy năm trước tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4 Năm nay tuổi mẹ vừa đúng gắp 3 lần tuổi con Hỏi năm nay mỗi nguời bao nhiêu tuổi ?
Giải:
Gọi số tuổi năm nay của mẹ là x
Gọi số tuổi năm nay của con là y ( x,y ∈N*)Vì bảy năm truớc tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 nên ta có:
(x-7) = 5 (y-7) + 4 (1)
Năm nay mẹ gấp 3 lần tuổi con nên:
x = 3y (2)
Ta có hệ PT
=
+
−
=
−
) 2 (
3
) 1 ( 4 ) 7 ( 5 7
y x
y x
Thay (2) vào (1) ta có:
3y-7=5y-35+4
Trang 52y = 24 ⇒ y=12 TMBT
x =3.12=36 ⇒ x=36 TMBT
vậy tuổi mẹ năm nay là 36 ; còn tuổi con là 12
Bài 9
Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng hai lần chữ số hàng đơn vị cộng thêm 2 và tổng của hai chữ số là số nguyên tố nhỏ nhất có hai chữ số
Hướng dẫn giải :
Gọi số phải tìm là ab ( a;b ∈ N ; 1≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 )
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
=
+
+
=
11
2
.
2
b
a
b
a
Giải hệ này ta tìm được : a = 8 ; b = 3
Vậy số phải tìm là : 83
Bài 10
Một khu vườn hình chữ nhật có tổng nữa chu vi và chiều dài bằng 66m ; có nửa tổng chu vi và 2 lần chiều rộng là 48 m Tính diện tích khu vườn ?
Giải:Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật ; Gọi y (m) là chiều dài hình chữ nhật
( ĐK: 0<x< y )
Chú ý : nữa chu vi là : x +y
Ta có hệ PT:
= +
= +
48 3
66 2
y x
y x
Giải hệ ra ta có : x = 6 ; y = 30
Vậy chiều rộng là 6 m ; chiều dài là 30 m
Diện tích Hình chữ nhật đó là : 6 30 = 180 m2
Phần 2: Yêu cầu đối với học sinh trung bình, khá
Bài 1: Giải hệ pt bằng phương pháp thế:
a)
=
=
⇔
=
−
=
⇔
=
− +
−
=
⇔
=
− +
−
=
⇔
=
+
=
−
11 59 11 38 38
11
5 3 28
10 6 5
5 3 28
) 5 3 ( 2 5
5 3 28
2
5
5
3
y
x x
x y x
x
x y x
x
x y y
x
y
x
b)
=
−
=
⇔
−
=
+
=
⇔
= + +
+
=
⇔
−
=
−
=
+
2
3 39
13
8 2 1
) 8 2 ( 5 3
8 2 8
2
1 5
3
y
x x
x y x
x
x y y
x
y
x
c)
−
=
−
=
⇔
−
=
=
⇔
=
−
=
⇔
+
= +
=
⇔
=
+
+
=
19 12 19 8
19 12 3 2
4 9 3
2 4 3 2
36 9 32 4 3 2
4
9
4
8
3
2
y
x
y
y x
y y
y x
y x
y x
y
x
y
x
TMĐKy≠-4)
Bài 2: Giải hệ pt bằng phương pháp cộng đại số:
Trang 6a)
7 7
9
9
x
y
=
b) 32x x y+− = −5y=18⇔66x x+−103y y= −=224⇔132x y= −=y268⇔x y= −=23
c) − +x3−x2y4=y0=2⇔36x x−+64y y== −02⇔x y−2− =y= −02⇔x y==12
Bài 3: Xác định các giá trị của a và b để hệ pt
=
+
=
+
5
7
3
by
ax
by
x
d) có nghiệm (-1;3)
e) Có nghiệm ( 2 ; 3 )
HD giải: a) Hệ pt có nghiệm (-1;3) ta thay x = -1; y = 3 vào hệ pt ta có
=
=
⇔
= +
−
=
⇔
=
+
−
=
+
−
5 3
1 3 5
3
10 3 3 10 5
3
.
)
1
.(
7 3
.
)
1
.(
3
a
b a
b b
a
b
b) Hệ pt có nghiệm ( 2 ; 3 )ta thay x = 2, y = 3 vào hệ pt ta được
−
=
−
=
⇔
−
=
−
=
⇔
=
− +
−
=
⇔
=
+
=
+
2 3 3
6 3 3 7
2
2 2 3 3
2 3 7
5 2 3 7 2
2 3 7 3 5
3
2
7 3
2
3
a
b
a
b
a
b b
a
b
Bài 4: Giải các pt sau
a)
= +
= +
⇔
=
+
=
+
3
1 3 3
10
1 1 5 3
12
1 4
3
4
3
10
1 1
5
3
y x
y x
y
x
y
x
(ĐK: x ≠ 0, y ≠ 0)
y
a
x = ;1 =
1
=
− +
−
=
⇔
= +
= +
3
1 ) 5
3 10
1 ( 3 3
5
3 10 1
3
1 3 3
10
1 5
3
a a
a b
b a
b a
=
=
⇔
−
=
=
12 1 36 1
5
3
10
1
30
1
5
6
b
a
a
b
a
12 36 12
1 1 36
1 1
TM y
x
y
x
=
=
⇔
=
=
vậy hệ pt có nghiệm (x;y)=(36;12)
Trang 7b)
= +
+
−
= +
+
−
12
1 2
1 1
1
1 2
15
1
8
y
x
y
x
(ĐK: x ≠ 1, y ≠ -2)
x =
− 1
1
y = + 2
1
⇒ hệ có dạng
= +
−
−
=
⇔
= +
= +
1 )
12
1 ( 8 12 1
12 1
1 15 8
v v
v u
v u
v u
=
=
⇔
=
−
=
⇔
28 1 21 1
3
1
7
12
1
u
v
v
v u
⇒
=
=
⇔
= +
=
−
⇔
= +
=
−
19
29 21
2
28 1 21
1 2 1 28
1 1 1
y
x y
x
y
x
(TMĐK)
Bài 5: Cho hệ pt
=
+
=
+
2
.
1
y
x
a
ay
x
(I)
c) Giải hệ pt khi a = 2
d) Với giá trị nào của a thì hệ pt có nghiệm duy nhất
HD giải:
c) Khi a = 2 hệ pt có nghiệm (x;y) = (1;0)
d)
−
=
−
−
=
⇔
= +
−
−
=
⇔
(*) 2 ) 1 (
1 2
) 1 (
1 )
a y
a
ay x
y ay a
ay x
pt (*) có nghiệm duy nhất ⇔ 1 – a2 ≠ 0⇔ a ≠ ± 1
Bài 6: giải hệ pt
a)
=
=
⇔
=
−
= +
⇔
=
− +
= +
⇔
=
−
=
+
2
5 3
7 21
) )(
(
7 21
7
2
x y
x
y x y
x y x
y x y
x
y
x
b)Cho hệ pt
=
−
=
−
334 3 2
1
y x
y mx
tìm giá trị của m để hệ pt vô nghiệm
Giải:
=
−
−
=
⇔
=
−
−
−
=
⇔
=
−
−
=
⇔
2002 )
2 3 (
1 2004
) 1 ( 2 3
1 2004
2 3
1
x m
mx y mx
x
mx y y
x
mx y
(*)
Hệ pt vô nghiệm khi pt (*) vô nghiệm ⇔ 3-2m = 0 ⇔ m = 23
c)Cho hệ pt
= +
= +
1
y x
m y nx
Tìm m để hệ pt có nghiệm với mọi giá trị của n
Từ pt (2) ta có y = 1-x thế vào pt (1) ta được nx + 1 – x = m⇔ (n – 1)x = m – 1(*)
+ Nếu n ≠ 1⇒ x = m n−−11 ⇒ y = 1- 11= −−1
−
−
n
m n n
m
⇒ hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = … + Nếu n = 1 thì pt (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1
Vậy hệ pt có nghiệm với mọi giá trị của n khi và chỉ khi m = 1
Trang 8Bài 7 tìm a và b biết :
a; Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B ( ; 1 )
2
3
− ; b; Để đường thẳng : ax- 8y = b, đi qua hai điểm M(9 ;-6) và giao điểm của hai đường thẳng(d1) : 2x +5y = 17 và (d2) : 4x - 10y = 14
Giải :
a; Vì đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B ( ; 1 )
2
3 − nên thay là phương trình đường thẳng ta có hệ:
+
=
−
+
−
=
b
a
b
a
2
3
1
5
3
Giải ra ta được :
a=-13
8
; b = -
13 1
b; Hướng dẫn :
Trước hết ta giải hệ
=
−
= +
14 10 4
17 5 2
y x
y x
tìm được giao điiểm của(d1) và (d2) là A(6;1) Muốn cho đường thẳng ax-8y=b đi qua hai điểm M và A thì a,b phải là nghiệm của hệ phương trình
=
−
= +
b a
b a
8
6
48
9
Đáp số: a=- , 120
3
56 b= − Bài 8
Nếu hai đội công nhân cùng làm chung sẽ hoàn hành công việc trong 8 h ; nếu đội thứ nhất chỉ làm trong 3 h rồi đội thứ hai cùng làm tiếp trong 4 h nữa thì chỉ xong được 0,8 công việc Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì sau bao lâu hoàn thành công việc ?
Giải:
GV hướng dẫn HS làm như sau :
Gọi thời gian đội 1 làm 1 mình xong việc là x giờ
Thời gian đội 2 làm một mình xong việc là y giờ ( x;y > 8 )
Mỗi giờ đội 1 làm được
x
1
( công việc ) Mỗi giờ đội 2 làm được 1y ( công việc )
Mổi giờ cả hai đội làm được
8
1
(công vịêc)
Ta có PT: 0 , 8
8
1 4
1
3 ⋅ + ⋅ =
x
Mặt khác nếu đội 1 làm trong 3 h ; đội 2cùng làm tiếp 4 h thì chỉ xong 0,8 công việc nên
ta có PT: 0 , 8
8
1 4
1
3 ⋅ + ⋅ =
x
Trang 9Ta có hệ PT:
= +
= +
8 , 0 2
1 1 3
8
1 1 1
x
y x
y
a
x = ;1 =
1
Ta có hệ mới :
= +
= +
8 , 0 2
1 3
8 1
a
b a
Giải ra ta có : a =
10
1
; b =
40 1
Suy ra : x = 10 ; y = 40 ( thoã mãn bài toán)
Vậy nếu đội 1 làm 1 mình thì sau 10 h mới xong công việc
Vậy nếu đội 2 làm 1 mình thì sau 40 h mới xong công việc
Bài 9 Hai phân xưởng của 1 nhà máy theo kế hoạch phải là 540 dụng cụ.Nhưng do cải
tiến kĩ thuật phân xưởng 1 vượt mức 15% kế hoạch, phân xưởng 2 vượt mức 12% kế hoạch của mình, do đó cả 2 tổ đã làm được 612 dụng cụ.Tính số dụng cụ mà mỗi phân xưởng đã làm
HD giải: Gọi số dụng cụ phân xưởng 1 phải sx theo kế hoạch là x (dụng cụ);Gọi số
dụng cụ phân xưởng 2 sx theo kế hoạch là y (dụng cụ);ĐK: x,y nguyên dương, x, y <540 Theo kế hoạch cả 2 phân xưởng sx 540 dụng cụ nên ta có pt x + y = 540(1)
Dựa vào số dụng cụ cả 2 phân xưởng đã sx ta có pt 612
100
112 100
115
=
x
Giải hệ pt ta được x = 240, y = 300 ⇒ phân xưởng 1 đã sx 276 dụng cụ
Phân xưởng 2 đã sx 336 dụng cụ
Bài 10
Một người đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An Nếu đi với V= 45 km /h thì đên nơi sớm hơn dự định 13phút 20 giây Nêú đi với V= 35km/h thì đến nơi chậm hơn so với dự định là 2/7 h Tính quảng đường Chu Lai - Hội An và vận tốc dự định ?
Giải:
GV: Thông thường các bài toán giải bằng cách lập hệ PT có hai điều kiện ; mổi đkiện
giúp ta lập được một PT Trong các bài toán về chuyển động cần nhớ công thức liên hệ giữa quảng đường ; vận tốc và thời gian : S = vt ; chú ý đến đơn vị của mỗi đại lượng Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phương trình
Điều kiện Quảng đường Vận tốc Thời gian Quan hệ
y/35- x =2/7
Ta có hệ PT :
=
−
=
−
7
2
35
9
2
45
x
y
y
x
Giải hệ ra ta được : x = 2 ; y = 80 (thoã mãn bài toán)
Vậy quảng đường ChuLai - Hội An là 80 km ; và thời gian dự định là 2 giờ