Cho đường tròn O; R, hai đường kính AH và DE.. Gọi M; N thứ tự là trung điểm của BH và HC.. Chứng minh DM, EN là các tiếp tuyến của O; R.. Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung
Trang 1PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2
NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
_
Câu I (6 điểm)
1 Chứng minh rằng: ∀ ∈a Z thì A a= 3 − 6a2 − 7a+ 12 luôn chia hết cho 6
2 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số xy, biết rằng xxyy xx= 2 + yy2
3 Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
P
− − − là số hữu tỉ.
Câu II (4 điểm)
1 Giải phương trình: x2 + 4x+ = 5 2 2x+ 3
2 Giải hệ phương trình:
5
5 15
+ − =
+ = +
Câu III (4 điểm)
1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thứcB x y z= + + , biết rằng x y z , , là số
thực thoả mãn điều kiện:
2
1 2
x
y + yz z+ = −
2 Cho a b c R, , ∈ và abc=2010
ab a +bc b +ca c =
Câu IV (6 điểm)
1 Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AH và DE Qua H kẻ tiếp tuyến với (O) cắt
AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C Gọi M; N thứ tự là trung điểm của BH và HC
a Chứng minh DM, EN là các tiếp tuyến của (O; R)
b Chứng minh trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH
c Hai đường kính AH và DE của (O; R) phải thỏa mãn điều kiện gì để diện tích tam giác AMN bé nhất?
2 Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, C là một điểm thuộc đường tròn đó Chứng minh rằng: Nếu ∆ACO và ∆ BCO có bán kính đường tròn nội tiếp bằng nhau thì C là điểm chính giữa cung AB
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2PHÒNG GD & ĐT NGHĨA ĐÀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN VÒNG 2
NĂM HỌC 2009 - 2010
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 9
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang
1
Chứng minh rằng: ∀ ∈a Z thì A a= 3 − 6a2 − 7a+ 12 luôn chia hết cho 6
A = a3 – 6a2 – 7a + 12 A = a3 – a – 6a2 – 6a + 12
A = a(a – 1)(a + 1) – 6a2 – 6a + 12
Do a(a – 1)(a + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên a(a – 1)(a+1) 6 Mặt khác – 6a2 – 6a + 12 6 nên A 6
1 đ
0,5 đ 0,5 đ
2
Tìm số tự nhiên có 2 chữ số xy, biết rằng xxyy xx= 2 + yy2
Điều kiện: 1 ≤ x, y ≤ 9 và x,y nguyên
Ta có: xxyy xx= 2 +yy (1)2
⇔ x.100.11 + y.11= x2.112 + y2.112 ⇔ 100x + y = 11(x2 + y2) => (x y+ ) 11M
=> x + y =11 ( với 2 ≤ x + y ≤ 18) => (x; y) chỉ có thể là các cặp số:
(2; 9); (9; 2); (3; 8); (8; 3); (4; 7); (7; 4); (5; 6); (6; 5) Thay lần lượt từng cặp trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 8 và y = 3 thỏa mãn.
Vậy số cần tìm là 83
0,25 đ
0,5 đ 0,5 đ 0,75 đ 0,5 đ
3
Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
P
− − − là số hữu tỉ.
P
(a b) + (b c) + (c a) + (a b b c)( ) ( + b c c a)( ) ( + c a a b)( ) =
2
P
Do a b c, , là các số hữu tỉ đôi một khác nhau nên P Q∈
1 đ
0,25 đ 0,25 đ
I 1
Giải phương trình: 2
x + x+ = x+ ĐK: 3
2
x≥ −
Ta có: x2 + 4x+ = 5 2 2x+ 3 ⇔ x2 + 2x+ + 1 2x+ − 3 2 2x+ + = 3 1 0
0,25 đ
1 đ 0,75 đ
Trang 32 2 1 0 ( 1) ( 2 3 1) 0
2 3 1 0
x
x
+ =
⇔ + + + − = ⇔ + − =
Vậy: phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
2
Giải hệ phương trình:
5
5 15
+ − =
+ = +
Ta có:
5
5 15
+ − =
+ = +
5
+ − =
⇔ + + − = +
+ − =
⇔ + = +
+ − = + − =
= = ±
⇔ ⇔
= =
Vậy hệ có 2 nghiệm là: ( 5;0) ; (− 5;0)
1 đ
0,75 đ 0,25 đ
1
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B x y z= + + , biết rằng
, ,
x y z là số thực thoả mãn điều kiện: 2 2 3 2
1 2
x
y +yz z+ = − .
Ta có : y2 + yz + z2 = 1 -
2
3x2 ⇔ 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 – 3x2
⇔ 3x2 + 2y2 + 2yz + 2z2 = 2 ( 1 )
⇔ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + x2 – 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 = 2
⇔ ( x + y + z )2 + ( x – y )2 + ( x – z )2 = 2
Do ( x – y )2 ≥ 0; ( x – z )2 ≥ 0 nên suy ra ( x + y + z )2 ≤ 2
Hay - 2 ≤x+y+z≤ 2 Dấu “ = ” xảy ra khi x – y = 0 và x – z = 0 hay x = y = z
Thay vào ( 1 ) ta có: 9x2 = 2; x =
3
2 ; x = -
3 2
Vậy Với: x = y = z = -
3
2 thì min B = - 2
Với: x = y = z =
3
2 thì max B = 2
0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ
2 Cho a b c R, , ∈ và abc=2010.
ab a +bc b +ca c =
Vì abc= 2010suy ra a; b; c khác 0
Thay 2010 abc= vào vế trái, ta có:
ab abc a abc bc b abc ca c
ab ac c b c ac ca c
0,5 đ
1 đ 0,25 đ
Trang 41 1 1
ac c
ac c
+ +
+ + (Đpcm)
0,25 đ
K
N
C M
B
I
H
O
E A
D
0,25 đ
1a
Ta có: ( vì tam giác DHO cân tại O)
( vì tam giác DMH cân tại M)
⇒MD là tiếp tuyến của (O;R)
Tương tự NE là tiếp tuyến của (O;R) (đpcm)
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
1b
Kẻ MK ⊥AN tại K và MK cắt AH tại I ⇒ I là trực tâm của AMN
Ta chứng minh I là trung điểm của OH Thật vậy:
Do ABC vuông tại A, đường cao AH ⇒ AH2 = BH.CH ⇒ =
⇒ = ⇒ = ⇒ BHO AHN (c.g.c) ⇒
⇒I là trung điểm của OH
Vậy trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm của OH (đpcm)
0,25 đ 0,5 đ
0,5 đ 0,25 đ
1c
Ta có: SAMN = = R.MN = (BH + HC) 2 = R
= R = 2.R2
0,5 đ 0,25 đ
Trang 5SAMN = 2R2 BH = HC ABC vuông cân tại A AH là phân giác của ·BAC cũng là phân giác của ·DAE Do đó: AD =AE hay tứ giác ADHE là hình vuông Suy ra: AH⊥DE
Vậy min SAMN = 2R2 AH ⊥ DE (đpcm)
0,5 đ
H 0,25 đ
2
ACO
1 . 1 .
BCO
Gọi r 1 ; r 2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACO và BCO.
ACO
S∆ = r AC+ r OA+ r OC = r AC+ R
BCO
S∆ = r BC+ r OB+ r OC = r BC+ R
Vì S∆ACO =S∆BCO (theo (1)) nên 1 .( 2 )
2r AC+ R = 1 .( 2 )
2r BC+ R Suy ra: AC BC hay AC BC= » = »
Vậy C là điểm chính giưa của cung AB
0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ
0,25 đ 0,25 đ
Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.