Chứng minh rằng 2 tan ; 2 tan ; 2 tan A B C lập thành một cấp số cộng theo thứ tự trờn khi và chỉ khi cosA; cosB; cosCcũng theo thứ tự đú lập thành một cấp số cộng.. a.Viết phương trỡnh
Trang 1Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hoá
TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2009-2010 Mụn thi: Toán LỚP : 12 THPT
Ngày thi: 23/10/2009 Thời gian: 180 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1:1 Lập bảng biến thiờn của hàm số 2 2
2
x
x x
y Sử dụng bảng biến thiờn biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh .
2 2
2
m x
x x
2.Giải bất phương trỡnh
4 2 1 1
2
x x
x
Bài 2: 1 Tỡm a, b để hệ phương trỡnh
b x
y
a y
x
2 2 1 1
cú nghiệm
2 Giải phương trỡnh sinx – 2sin2x – sin3x =2 2
Bài 3: 1 Cho bốn biến số a, b , c , d nhận bốn giỏ trị khỏc nhau trong tập{14; 15; 11; 2009}.
) ( ) ( ) ( ) (a b b c c d d a
Tỡm giỏ trị của cỏc biến a, b, c, d sao cho biểu thức M nhận giỏ trị nhỏ nhất
2 Cho A, B, C là ba gúc của một tam giỏc Chứng minh rằng
2 tan
; 2 tan
; 2 tan A B C lập thành một cấp số cộng theo thứ tự trờn khi và chỉ khi cosA; cosB; cosCcũng theo thứ tự đú lập thành một cấp số cộng
Bài 4: 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường trũn (C): x2 + y2 = R2 và một điểm
M(x0;y0) nằm ngoài đường trũn (C) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1 và MT2 tới đường trũn (T1, T2 là hai tiếp điểm)
a.Viết phương trỡnh đường thẳng T1T2
b Giả sử M chạy trờn đường thẳng (d) cố định,khụng cắt đường trũn (C) Chứng minh rằng khi đú cỏc đường thẳng T1T2 luụn đi qua một điểm cố định
2 Trờn mặt phẳng (P) cho hai tia ox; oy vuụng gúc với nhau.Trờn đường thẳng (d) vuụng gúc với (P) tại O lấy một điểm S sao cho SO = a (a là hằng số dương) M, N lần lượt là hai điểm chuyển động trờn hai tia ox, oy sao cho luụn cú OM + ON = a Tỡm quĩ tớch tõm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN Chứng minh rằng khi tứ diện SOMN cú thể tớch lớn nhất thỡ mặt cầu ngoại tiếp của nú
cú bỏn kớnh nhỏ nhất
Bài 5 Chứng minh rằng với mỗi số nguyờn dương n cho trước tồn tại khụng quỏ một số tự nhiờn
1
n
n k
k
n C
- Hết
-TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHON ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2009-2010
Số bỏo danh
Trang 2
Môn Toán –Lớp 12 THPT
điểm B1(6đ) 1(3đ)
Lập bảng biến thiên của hàm số 2 2
2
x
x x
y Sử dụng bảng biến thiên biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
2 2
2
m x
x x
Lời giải Tập xác định R \ 1
1 )
2 2 ( 2 4 2
1 2
2 2 4 2 1
2 2
1 2 2
2 2 , 2 2 2 , 1 , 2
2
2 1
x Khi x x x y
x khi x x x y y x Khi x x x y
x khi x x x y y
2 1 0
, 2 1
2
,
1 x y x
y
xlim ,
x
xlim1 , lim1
Bảng biến thiên
+
y
y'
y 2 '
y 1 '
x
3
2+ 2
3
2- 2
0 0
+
1- 2
+
+
+
+
-
Biện luận:
2
3
m Phương trình vô nghiệm
2
3
m Phương trình có 1 nghiệm
2
3 2
2
3
m Phương trình có 2 nghiệm
+ m = 2
2
3
Phương trình có 3 nghiệm
+ m > 2
2
3
Phương trình có 4 nghiệm
1,0
1,0
1,0 2(3đ)
Giải bất phương trình
4 2 1
1
2
x x
x
Lời giải:
Điều kiện: x 1
Bất phương trình đã cho tương đương với phương trình
Trang 3) 1 1 ( 2 ) 16 1 ( 16
4 1
2
Nhân cả hai vế của phương trình với 1 1 2 0
2 2
2 )( 1 1 16
1
x )2x2
Nhận thấy bất phương trình nghiệm đúng với x = 0 (1) Với x 0 chia hai vế của bất phương trình cho x2 ta được )( 1 1 ) 2
16 1
16 1
16 1 ( 0
\ ] 1
; 1
Vậy x [ 1 ; 1 ] \ 0 đều là nghiệm của bất phương trình đã cho (2)
Từ (1) và (2) suy ra nghiệm bất phương trình đã cho là x [ 1 ; 1 ]
0,5
0,5
0,5 1,0 0,5 B2(3đ) 1(1đ) Tìm a, b để hệ phương trình
b x
y
a y
x
2 2 1 1
có nghiệm
Lời giải:
+Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm là (x0;y0)tức là có
) 2 ( 1
) 1 ( 1
2 0
2 0
b x y
a y x
Nhận thấy x0 1và y0 1 Đặt
sin sin
0 0
y x
với
2
, 2
Từ (1) và (2) ta có
b sin cos sin cos sin cos sin cos sin(
a
1
a b (3) Vậy (3) là điều kiện cần để hệ đã cho có nghiệm
+ Điều kiện đủ: Với a b 1
Ta đăt
sin sin
y x
với
2
, 2
hệ phương trình đã cho trở thành
b a
cos sin
cos sin
(*) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm
Hệ (*) tương đương với hệ
b a b a
) sin(
) sin(
(**)
màab a b 1và a b a b 1 suy ra hệ (**) chắc chắn có nghiệm (m ; n) tức là
n m
(***)
Do hệ (***) là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có định thức D = 2 0
1 1 1 1
nên hệ (***)
có nghiệm suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm Vậy a b 1 là điều kiện cần và đủ để hệ phương trình đã cho có nghiệm
0,5
Trang 40,5 2(2đ) Giải phương trình sinx – 2sin2x – sin3x = 2 2
Lời giải:
Ta có phương trình sinx – 2sin2x – sin3x = 2 2 (sinx sin 3x) 2 sin 2x 2 2
2 2
sin 2 cos
Để phương trình (1) có nghiệm điều kiện cần là sin 2 1 ( 2 ) 2 2
x
Mà sin 2 x 1 2 , xR suy ra điều kiện cần để (1) có nghiệm là
) ( , 2 1
sin 2 1 sin 2x 2x x k kZ
x thì phương trình đã cho có vế trái là
) 3 2
3 sin(
) 2 sin(
2 ) 2
Vì vậy x k , (kZ
) không phải là nghiệm của phương trình đã cho Suy ra phương trình vô nghiệm.
1,0
1,0 B3(3đ) 1(1đ) Cho bốn biến số a, b , c , d nhận bốn giá trị khác nhau trong tập{14; 15; 11; 2009}.
Đặt M = (a b) 2 (b c) 2 (c d) 2 (d a) 2
Tìm giá trị của các biến a, b, c, d sao cho biểu thức M nhận giá trị nhỏ nhất
Lời giải:
Ta có M = 2 (a2 b2 c2 d2 ) 2 (ac)(bd)
Đặt E = 2(a + c)( b+ d) thì
M đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi E đạt giá trị lớn nhất Đặt x = a + c và y = b + d thì S = x + y = 14 + 15 + 11 + 2009 = 2049 không đổi
Ta có 4xy = (x + y)2 + (x – y )2 = (x + y)2- ) 2
2 (
2 (
Vậy E lớn nhất khi và chỉ khi xy lớn nhất ) 2
2 (S x
nhỏ nhất x = a + c gần
2
S
nhất Cho a , c nhận hai số khác nhau trong 4 số đã cho thì tổng của chúng là các số 25, 26, 29,
2020, 2023, 2024 Biểu diễn các tổng đó lên trục số ta thấy số 29 và số 2020 có điểm biểu diễn gần điểm biểu diễn của 1024 , 5
S
hơn và điểm biểu diễn của 1024,5 cách đều hai điểm biểu diễn của số
29 và số 2020 suy ra a, c phải là hai số có tổng bằng 29 hoặc bằng 2020 Vây để M đạt giá trị nhỏ nhất thì hai biến a, c phải nhận hai giá trị khác nhau trong tập
14 , 15 còn hai biến b, d nhận hai giá trị khác nhau trong tập 11 , 2009 hoăc a,c nhận hai giá trị khác nhau trong tập 11 ; 2009 còn b,d nhận hai giá trị khác nhau trong tập {14; 15}
0,25
0,25 0,25
0,25
2(2đ)
Cho A, B, C là ba góc của một tam giác Chứng minh rằng
2 tan
; 2 tan
; 2 tan A B C lập thành một cấp số cộng theo thứ tự trên khi và chỉ khi cosA; cosB; cosCcũng theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng
Lời giải:
Trang 5Do
2 tan , 2 tan , 2 tan A B C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng suy ra
) 1 ( cos cos
cos 2
cos cos
cos 1 cos 1
2
cos 2 cos 2 2 sin 2 2 cos 2
) 2
cos 2
(cos 2
sin 2
cos 2
cos 2
cos 2 sin 2 2 cos
2 cos 2
sin 2 2
cos 2 cos 2 sin 2
tan 2 2
tan 2 tan
2 2
2 2
C A
B
C A
B B
C A C A B
B
C A C
A B B
C A B B
C
B C
A
C A B
C A
Có đẳng thức (1) chứng tỏ cosA, cosB, cosC theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng
1,0
1,0 B4(6đ) 1(3đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 = R2 và một điểm
M(x0;y0) nằm ngoài đường tròn (C) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT1 và MT2 tới đường tròn (T1,
T2 là hai tiếp điểm)
a.Viết phương trình đường thẳng T1T2
b Giả sử M chạy trên đường thẳng (d) cố định,không cắt đường tròn (C) Chứng minh rằng khi đó các đường thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định
Lời giải:
Câu a Gọi T1(x1; y1), T2(x2; y2) Tiếp tuyến MT1 có phương trình là x1x + y1 y – R2 = 0
Do tiếp tuyến đi qua M(x0; y0) suy ra MT1: x1 x0 + y1 y0– R2 = 0 Tương tự MT2: x2 x0 + y2 y0 – R2 = 0
Như vậy tọa độ hai tiếp điểm T1, T2 cùng thỏa mãn phương trình x0 x + y0 y – R2 = 0 Nên đường thẳng T1T2 có phương trình là : x0 x + y0 y – R2 = 0
Câu b.vì (d) là đường thẳng cố định nên (d) đi qua điểm cố định A(a; b) và nhận véc tơ
)
; (a1 b1
u làm véc tơ chỉ phương (a1 và b1 là hằng số)
Phương trình tham số của (d) là
t b b y
t a a x
1 1
Do (d) không cắt đường tròn (C) nên (d) không đi qua gốc tọa độ suy ra 1 1 0
1
1
b
a b a
Điểm M(x0; y0) thuộc đường thẳng (d) nên tồn tại giá trị t sao cho
t b b y
t a a x
1 0
1 0
khi đó
1 1
2 1
a
Đường thẳng T1T2 đi qua một điểm cố định khi tồn tại duy nhất một điểm I(x1; y1) sao cho
1 1 1
1 1
1x b y t ax by R
Khi hệ
2 1
R by ax
y b x a
có nghiệm duy nhất
Do ab1 a1b 0 nên hệ
2 1
R by ax
y b x a
luôn có nghiệm duy nhất Suy ra đường thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định
0,5
1,0
0,5
1,0
Trang 62(3đ) Trên mặt phẳng (P) cho hai tia ox; oy vuông góc với nhau.Trên đường thẳng (d) vuông góc
với (P) tại O lấy một điểm S sao cho SO = a (a là hằng số dương) M, N lần lượt là hai điểm chuyển động trên hai tia ox, oy sao cho luôn có OM + ON = a Tìm quĩ tích tâm I của mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN Chứng minh rằng khi tứ diện SOMN có thể tích lớn nhất thì
mặt cầu ngoại tiếp của nó có bán kính nhỏ nhất
Lời giải:
O K
H
I
N
M
S
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SOMN suy ra I là giao điểm của mặt phẳng trung trực đoạn SO với đường thẳng ( )vuông góc với (P) tại tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN
Gọi K, H lần lượt là trung trực của SO và MN ,H là tâm đường tròn ngoại tiếp OMN
Qua H kẻ đường thẳng cắt Ox tại M0 cắt Oy tại N0 sao cho tam giác OM0N0 vuông cân tại
O.Không mất tính tổng quát ta giả sử N là điểm giữa đoạn ON0 thì M0 sẽ là điểm giữa đoạn
OM Kẻ NN1//Ox với N1 M0N0 N0NN1 vuông cân tại N nên NN 1 NN0 (1)
Và HNN1 HMM0 (g,c,g) NN1 MM0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra MM 0 NN0
Vậy
2 )
( )
0 0
a ON OM
a ON OM NN
ON M M OM ON
Nên M0, N0 là hai điểm cố định
y
x
N1
N0
M0
H
M
N
O
Mà HI OK I là ảnh của H qua phép tịnh tiến theo véc tơ OK Do H M0N0 cố
định nên quĩ tích tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SOMN là đoạn EF ảnh của đoạn
0
0N
M qua phép tịnh tiến theo véc tơ OK
0,5
0,5
Trang 7Ta có thể tích hình chóp SOMN là V OS OM ON a.OM.ON
6
1
6
1
Suy ra V lớn nhất khi OM.ON lớn nhất Mà OM + ON = a không đổi nên OM.ON lớn nhất
2
a ON
OM
Gọi R là bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SOMN
Ta có R = IM
2 4
2 2
2 MN a
Mà MN2 = OM2 + ON2 = (OM +ON)2 -2 OM.ON = a2 – 2OM.ON (4)
Vì V lớn nhất OM.ON lớn nhất nên từ (3) suy ra MN2 nhỏ nhất Lại do (3) suy ra R2 nhỏ nhất R nhỏ nhất
0,5
0,5
0,5
0,5 B5(2đ) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước tồn tại không quá một số tự nhiên
1
n
k sao cho C n k C n k 1
Lời giải:
Ta có
(*) 2 1
1 2
1 1
1 1
! 1 (
) 1 (
!
! )!.
(
! 1
n k
n k k
k n k
k n k
n k
n k
k n
n C
n k n
Nhận thấy phương trình (*) vô nghiệm khi n chẵn và có nghiệm duy nhất khi n lẻ (1)
2
1
n
n
dấu bằng xảy ra khi n = 1 kn 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
1,0 0,5
0,5 Đáp án này gồm có 6 trang
