Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P= Bài 4: Cho tam giỏc ABC khụng cõn tại A, gọi M là trung điểm của BC, AD là đường cao, E, F lần lượt là cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc của B, C trờn đường kớnh AA’ c
Trang 1Đề số 16
Đề thi hs giỏi môn toán 9 vòng 2
Năm học: 2008-2009
Thời gian 150 phút
Thời gian 150 phút kông kể thời gian phát đề
b)Cho hệ: Tớnh biểu thức P=
Bài 2: a) Giải phương trỡnh:
b) Cho x Tớnh P=(
b) Cho a Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của
P=
Bài 4: Cho tam giỏc ABC khụng cõn tại A, gọi M là trung điểm của BC, AD là
đường cao, E, F lần lượt là cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc của B, C trờn đường kớnh AA’ của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC Chứng minh rằng: M là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc DEF
Bài 5: ( 2 điểm ): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z; biết
rằng x; y; z là các số thực thoả mãn điều kiện y2 + yz + z2 = 1 -
2
3x2
Trang 2
đáp án Bài 1:
a) Ta cú:
Do đú:
Vỡ n nguyờn dương nờn
Kết luận: hoặc
b) Ta cú:
Vậy
Bài 2:
a) Ta cú:
Kết luận: hoặc
b) Trước hết ta tớnh x, ta cú:
Suy ra
Lại cú:
Suy ra
Từ đú ta cú: x
Suy ra:
P=(
Trang 3Vậy P=1
Bµi 3:
Vì
Vậy
Mặt khác, ta có:
(1) Lại có:
(2) Nhân vế theo vế 2 bất đẳng thức (1) và (2) rồi rút gọn, ta được:
b) Ta có:
Suy ra:
Suy ra Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Tương tự như vậy và
Suy ra P=
Hay là
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Bµi 4:
Vì nên tứ giác ADFC là tứ giác nội tiếp
(1) Lại có nên tứ giác AEDB là tứ giác nội tiếp
Suy ra (2)
Mặt khác: (Cùng bù với ) (3)
Trang 4(Tứ giỏc là tứ giỏc nội tiếp) (4)
Từ (2), (3), (4) suy ra (5)
Từ (1) và (5) suy ra
Suy ra AD là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc DEF
Vỡ MD AD nờn MD đường thẳng chứa đường kớnh của đường trũn (6)
Bõy giờ gọi K là giao điểm của ME với CF
Dễ dàng nhận thấy ( gúc, cạnh, gúc)
Suy ra ME=MK hay núi cỏch khỏc M là trung điểm của EK
Xột tam giỏc vuụng EFK cú FM là trung tuyến, do đú ME=MF, suy ra M nằm trờn đường trung trực của của EF hay núi cỏch khỏc M nằm trờn một đường kớnh khỏc của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc DEF (7)
Từ (6) và (7) suy ra M chớnh là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc DEF ĐPCM
Bài 5:
+ Ta có y 2 + yz + z 2 = 1 -
2
3x2
2y 2 + 2yz + 2z 2 = 2 – 3x 2
3x 2 + 2y 2 + 2yz + 2z 2 = 2 ( 1 )
x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz + x 2 – 2xy + y 2 + x 2 – 2xz + z 2 = 2
( x + y + z ) 2 + ( x – y ) 2 + ( x – z ) 2 = 2
( 1,0 điểm )
+ Do ( x – y ) 2 0; ( x – z ) 2 0 nên từ ( * ) suy ra ( x + y + z ) 2 2
Hay - 2 xyz 2
( 0,5 điểm )
+ Dấu “ = ” xảy ra khi x – y = 0 và x – z = 0 hay x = y = z
Thay vào ( 1 ) đợc 9x 2 = 2; x =
3
2
; x = -
3 2
( 0,25 điểm )
+ KL: Với x = y = z = -
3
2 thì min B = - 2
Với x = y = z =
3 2
thì max B = 2