De thi chon doi tuyen toan thi tinh nam hoc 2010-2011

Gọi D, F lần lợt lợt là trung điểm của AB và AC, O là giao điểm các đờng trung trực của tam giác ABC.. G và E tơng ứng là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD.. Từ G kẻ đờng thẳng song

Phòng GD& ĐT Thuận Thành

Đề kiểm tra chọn đội tuyển HSG lớp 9

Năm học: 2009-2010 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1(6đ)

2 2

2

2

3 :

) 2

2 4

4 2

2

x x

x x x

x x

x x

x



















a) Rút gọn A

b) Tìm x để A  A

c) Tính giá trị của A biết x 7  5

Bài 2(4đ)

a) Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0

Chứng minh :

abc

3 c

1 b

1 a

1

3 3

b) Giải phơng trình : 2x(8x-1)2(4x-1)=9

Bài 3(4đ)

a) Chứng minh : a5-a chia hết cho 30 với aZ

b) Chứng minh rằng : x5-x+2 không là số chính phơng với mọi xZ+

Bài4 (4đ)

Cho tam giác cân ABC đỉnh A, đờng cao AH Gọi D, F lần lợt lợt là trung điểm của AB và AC, O là giao điểm các đờng trung trực của tam giác ABC G và E tơng ứng là trọng tâm của các tam giác ABC và ACD Từ G kẻ

đờng thẳng song song với AC cắt BC tại I

a) Chứng minh:

DO

HI AD

GH



b) Chứng minh: OE vuông góc với CD

Bài 5:(2đ)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là một điểm thuộc miền trong tam giác ABC Gọi H;K;I lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên BC; AC; AB Xác định trí của M để AI2 + BH2 + CK2 nhỏ nhất

Hớng dẫn chấm toán 9 Bài 1:

a) (2đ) Rút gọn A

A=

) 3 (

) 2 ( ) 2 )(

2 (

) 2 ( 4 ) 2

















x x

x x x

x

x x

x

(0.5đ)

3

2

4 4 4 4

















x

x x

x x x

x

=

3

2

) 2

(

4







x

x x

x

x

(0.5đ)

=

3



x

b)(2đ) Tìm x để A  A

để A  A thì A<0 hay

3



x

Vì 4x2>0 với mọi x đkxđ nên x-3<0 (0.75đ)

đối chiếu đkxđ ta thấy với x<0; x 0  ; 2 ; 2 thì A  A (0.5đ)

c)(2đ)

- Từ x 7  5 tính đợc x = 12 và 2 (mỗi giá trị cho 0.5đ)

- Thay x=12 vào A tính đúng giá trị (0.75đ)

Nếu HS nào thay cả x=2 vào thì trừ điểm

Bài 2 (4đ)

a)(2đ)

Vì: (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a,b,c0  ab  ac  bc  0  0

abc

bc ac ab







(0.75đ)

0 c

1 b

1

a

1







c

1

; y b

1

; x a

1





áp dụng bài toán cơ bản ta có

Nếu x+y+z=0 thì: x3+y3+z3=3xyz  đpcm (0.75đ)

b)(2đ)phơng trình :

2x(8x-1)2(4x-1)=9 ( 64 x 2 16 x 1 )( 8 x 2 x ) 9









( 64 x 2 16 x 1 )( 64 x 2 16 x ) 72









Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 k 2 72 , 25 k 8 , 5







Với k=8,5 Ta có x=

2

1 x

; 4

1





Với k=-8,5 phơng trình vô nghiệm vậy phơng trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2 (0.5đ)

Bài 3(4đ)

có: a5-a=a(a4-1)=a(a2-1)(a2+1)=a(a-1)(a+1)(a2-4+5)

=a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1) (0.75đ)

vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên 30; 5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết cho 30 

(Kết luận cho 0.25đ) b) (2đ)

Từ bài toán trên ta có: x5-x 5 (0.75 đ)

 x5-x+2 có tận cùng là 2 hoặc 7 (không có số chính phơng nào có tận

Vậy x5-x+2 không thế là số chính phơng với mọi x Z (0.25đ)

Bài 4

a) (2đ)

Chỉ ra tan giác GHI đồng dạng tam giác ADO (1.5đ)

Lập tỷ số

DO

HI AD

GH

F

E D

O G

C I

H

B

A

b) (2đ)

Từ trên ta có

DO

AD HI

HG

 mà DE = 2/3 DF = 2/3 HC = 2 HI (0.5đ) GH=1/2 AG

Suy ra

DO

AD DE

AG HI

GH



 mà DAG  ODE suy ra ADG đồng dạng

DOE

Suy ra AGD  DEO suy ra EO vuông góc với CD (0.5đ)

Bài 5(2đ)

I K

H

M

C B

A

Chứng minh đợc AI2 + BH2 + CK2 = BI2 + CH2 + AK2 (0.5đ)

Ta có (AI – IB)2  0 suy ra 2 (AI2 + IB2)  (AI + IB)2

hay 2(AI2 + IB2)  AB2

Chứng minh tơng tự ta có 2( BH2 + CH2)  BC2

2 ( CK2 + KA2)  AC2 (0.75đ)

Từ 3 điều trên suy ra

2 (AL2 +BH2 + CK2) + 2 (BI2 + CH2 + AK2)  AB2+ BC2 + CA2

Suy ra AI2 + BH2 + CK2 

4

1

( AB2 + BC2 + CA2) không đổi (0.5đ) dấu bằng xảy ra khi I;K;H đều là trung điểm của các cạnh hay M là giao điểm các đờng trung trực của tam giác ABC suy ra cực trị cần tìm (0.25đ)

Chú ý:

- Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa

- Điểm của học sinh để nguyên đến 0.25 đ không làm tròn số

- Học sinh không vẽ hình không chấm bài

- Bài đợc điểm 20 phải trình bày sạch đẹp đúng