Thời gian làm bài: 180 phút Không kể thời gian giao đề I.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. và khoảng cách từH đến mặt phẳng SMD.. Theo chương trình Chuẩn.. Theo
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN VI NĂM HỌC 20132014
Môn: Toán Khối AA 1 . Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số = +
-
x
y
x
2 1
1 có đồ thị ( ) C
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.
2. Tìm các giá trị mđể đường thẳng ( ) d1 :y= -3 x+ m cắt đồ thị ( ) C tại A và B sao cho
trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng ( ) d2 : x-2y +2= 0 ( O là gốc toạ độ )
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình : 2sin2 2sin2 tan
4
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
í
ï
p
2
0
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và đáy ABCD là hình chữ nhật ; AB=a AD, = 2 a Gọi M là trung điểm của BC , N là giao điểm của AC và DM , H là
hình chiếu vuông góc của A lên SB Biết góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) là a , với tan 2
5
a =
.Tính thể tích khối chóp S ABMN và khoảng cách từH đến mặt phẳng ( SMD ) .
Câu 6 (1,0 điểm) Cho a b c , , là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4
T
+ + +
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn.
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ;( ) ( 1 2 ;B 3 4 ; ) và đường thẳng d y - = : 3 0. ,Viết phương trình đường tròn ( ) C đi qua hai điểm , A B và cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M N sao cho , · 0
60 MAN = .
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho A ( 1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) ,C ( 0; 0;3 ) . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua , O C sao cho các khoảng cách từ A và B đến ( ) P bằng nhau .
Câu 9.a (1,0 điểm). Tìm số phức z thoả mãn z -1 = 5 và 17( z+z) = 5 z z
B. Theo chương trình Nâng cao.
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A( ) ( 1; 2 ,B 4;3 ) . Tìm toạ độ
điểm M sao cho · 0
135 MAB = và khoảng cách từ M đên đường thẳng AB bằng 10
2 .
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyzcho các điểm C( 0;0; 2 ,) ( K 6; 3; 0 - ) . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua C K sao cho , ( ) P cắt các trục Ox Oy lần lượt tại , , A B và thể tích khối tứ diện OABC bằng 3.
Câu 9.b (1,0 điểm).Tìm số phức z thoả mãn : z3-2z2 +5z - = 4 0
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN VI NĂM HỌC 20132014
Môn: Toán Khối AA 1 . Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
I/ Đáp án
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số = +
-
x
y
x
2 1
1 có đồ thị ( ) C 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số
· Sự biến thiên +
( ) 2
3
0
1
x
-
¢ = < " Î
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng :( -¥ ;1 ) và ( 1; +¥ )
+Giới hạn và tiệm cận:
lim ; lim
= -¥ = +¥ Þ đ thẳng x = 1 là tiệm cận đứng
®-¥ = ®+¥ = Þ đ thẳng y = 2 là tiệm cận ngang
0.25
· Bảng biến thiên:
y
0.25
2.Tìm các giá trị mđể đường thẳng ( ) d1 :y= -3 x+ m cắt đồ thị ( ) C tại A và B sao cho
trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng ( ) d2 :x-2y +2= 0 ( O là gốc toạ độ )
P trình hoành độ giao điểm: + = - + Û -( + ) + + = ( ) ( ¹ )
-
x
x
2
2 1
( ) d 1 cắt đồ thị ( ) C tại A và B Û ( ) 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1
2
*
m
ìD = + - + > ì + < Ú + > é < -
ï
ï
0.25
Gọi x x là nghiệm của 1, 2 ( ) 1 . Khi đó A x( 1; 3- x1+m) ( ;B x2; 3 - x2 + m ) . Gọi G là
trọng tâm tam giác
1 2
1 2
1 2
G
G
x OAB
y
ì
ï
Þ í
ï
0.25
Câu 1
(2 điểm)
( ) 2
GÎ d Û x - y + = Û + - æç - ö ÷ + = Ûm =
không thoả mãn
( ) * .Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0.25
Câu 2
4
Đáp án chính thức
(gồm 06 trang)
Trang 3Đ/K cos 0 ( )
2
p
Phương trình 1 cos 2 2 sin2 tan 1 sin 2 2 sin2 tan
2
0.25
2 sin cosx 2 sin tan 1 0 2 sin cosx sinx 0
cos
x
+
( cos sin )( sin 2 1) 0 cos sin 0 tan 1
sin 2 1 0 sin 2 1
4
,
4
p
p
p p
é
= - +
ê
ê = +
ê
Z ( Thoả mãn điều kiện ( ) * )
0,25
Vây phương trình có một họ nghiệm duy nhất : ( )
4 2
ï
í
ï
Đ/K
8
5
x
x
y
y
ì
> -
ï + >
Û
+ >
î ï > -
ï
î
Bổ đề với mọi a b 1 a x a-x b x b - x
> ³ Þ + ³ + (*) dấu bằng với x = 0
1
x
ab
Nếu
0
1
1
x
x
a b
a b
x
ab
ab
ì - ³
ï
³
î
î
đúng
Nếu
0
1
1
x
x
a b
a b
x
ab
ab
ì - £
ï
£
î
î
đúng
0.25
Áp dụng. Đặt x-y= t thì pt ( ) 1 trở thành
2t+ +2- +t +9t+ +9- +t =11t+ + 11 - + t ( ) 1¢ theo bổ đề trên ta được
2 2 11 11
Û
từ đây suy ra
2t+ +2- +t +9t+ +9- +t £11t+ + 11 - + t dấu bằng xẩy ra khi t=0Ûx-y=0 Û x= y
0.25
Câu 3
(1 điểm)
Thế vào pt( ) 2 được 5 log 83( x+3) =3 log2 ( 9x + 5 ) đặt 5 log 83 ( x+3) = 15 u , ta có
9 5 32
u
u
x
x
ì + =
ï
î Xét hàm số ( ) 13 1 9 27
f u = ×æç ö÷ + × æç ö ÷
với mọi u Î ¡
0.25
Trang 4( ) 13 1 ln 1 9 27 ln27 0 ,
f¢ u = ×æç ö÷ + ×æç ö ÷ < " Î u
è ø è ø ¡ h/số f u ( ) đồng biến trên ¡ mặt khác ( ) 1 13 9 27 8
32 32
f = + × = Pt ( ) 3 Û f u( ) = f ( ) 1 Ûu= Þ1 x = 3 (t/mđk) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x y = , ) ( ) 3, 3
0.25
p
2
0
Ta có: sin10x+ cos10x+ sin6x.cos4x+ cos6x.sin4x=( sin6x+ cos6x)( sin4x + cos 4 x ) 0.25
0.25
= 1 5 3 cos 4 + x 3 cos 4 + x = 1 15 14 cos 4 + x + 3cos 4 2 x
15 14 cos 4 1 cos8 33 28 cos 4 3.cos8
0.25
Câu 4
(1 điểm)
p
ò
0.25
Cho hình chóp S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và đáy ABCD là hình chữ nhật ; AB=a AD, = 2 a Gọi M là trung điểm của BC , N là giao điểm của AC và
DM , H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Biết góc giữa SC và mặt phẳng ( ABCD ) là
a , với tan 2
5
a = Tính thể tích khối chóp S ABMN và khoảng cách từH đến mặt phẳng
( SMD ) .
Ta có AC= AB2+BC2 = a 5, AC là hình chiếu vuông góc củaSC trên mặt phẳng
( ABCD ) ( SC ABCD,( ) ) ( SC AC, ) SCA · tan SA
AC
2
SA a
0.25
BCDÞdtD = dtD = dtD = dt D
Từ đó
2
2
a
Vậy thể tích
2
V = ×SA dt× = ×a × =
0.25
Câu 5
(1 điểm)
2
3
SB = SB = SA + AB =
dtD dt D
0.25
Trang 5.
.
a
6
SD= SA +AD = a
2,
DM = CD +CM =a D SBC vuông tại B nên ta có 2 2
2
nê ta có D SMD vuông tại M 1 2
2
SMD
3
.
2
2
2.
,
3
2
B SMD SMD
a
d H SMD
dt D a
0.25
Cho a b c , , là các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4
T
+ + +
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
a +b +c + ³ a+b + c+ ³ a+ + + b c
a b+ a+ c b+ c £ a+b a b+ + c = a+ b a b+ + c
2
3 a b c
0.25
Suy ra
2 2
T
Đặt a b c+ + =t t , > Khi đó 0 8 27 2
2 2.
T
+
0.25
Xét hàm số ( ) 8 27 2 , 0
2 2.
= - " >
( )
2 3
8
2
t
t
+
0.25
Câu 6
(1 điểm)
Bảng biến thiên
( )
( )
8
Theo bảng biến thiên ta thấy ( ) 5
8
T £ f t £ Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c = 2
Vậy giá trị lớn nhất của T bằng 5
8 khi a=b=c = 2
0.25
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ;( ) ( 1 2 ;B 3 4 ; ) và đường thẳng d y - = : 3 0. ,Viết phương trình đường tròn ( ) C đi qua hai điểm A B và cắt đường , thẳng d tại hai điểm phân biệt M N sao cho , · 0
60 MAN = .
Câu 7a.
(1 điểm)
C x +y - ax- by+ = c (đk 2 2
0)
a +b - > c
0.25
Trang 6( ) ( )
3; 4
ï
ï
î
Vậy ( ) C có tâm I a( ;- + a 5 )
bán kính 2 ( ) ( 2 ) ( 2 )
R= a + -a - - a = a - a +
( ) C cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M N sao cho , · 0
60 MAN = Suy ra
MIN = ÞI MN =I NM = hạ ( ) ( , ) 1
2
1
2
Khi a = 1 ta có đường tròn ( ) 2 2
C x +y - x- y + = ( loại do , I A khác phía đường thẳng d )
C x + y - x- y+ = Û C x- + y - = (t/ mãn)
0.25
Trong không gian với hệ toạ độOxyz,cho A ( 1;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) ,C ( 0; 0;3 ) . Viết phương trình
m phẳng ( ) P qua , O C saocho khoảng cách từ A đến ( ) P bằng khoảng cách từ B đến ( ) P
P ax by cz+ + +d = a +b +c >
0
0; 0;3
c d
c d
ï
+ =
ï
î
. Vậy ( )P :ax by + = 0 0.25
( )
Mà d A P( ,( ) ) d B P( ,( ) ) 2a 2 22 b 2 a 2b a 2 b
0.25
· a= 2 b chọn a=2,b = khi đó ta có mp 1 ( )P : 2x+y = 0 0.25
Câu 8a.
(1 điểm)
· a= - 2 b chọn a=2,b = - khi đó ta có mp 1 ( )P : 2x-y = 0 0.25
Tìm số phức z thoả mãn z -1 = 5 và 17( z+z) = 5 z z
Mặt khác ( ) ( 2 2 ) ( )
Từ ( ) ( ) 1 , 2 ta có hpt ( )
2 2
2 2
ï
í + =
ï
î
. giải hệ phương trình ta được 5
3
a
b
=
ì
í
= ±
î
0.25
Câu 9a.
(1 điểm)
Þ
vậy có hai số phức toả mãn là z= ± 5 3 i 0.25
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A( ) ( 1; 2 ,B 4;3 ) . Tìm toạ độ điểm M
sao cho · 0
135 MAB = và khoảng cách từ M đên đường thẳng AB bằng 10
2 .
Câu 7b.
(1 điểm)
Giả sử M x y ( 0; 0 ) . Hạ MH ^ AB , từ giả thiết suy ra 10
2
MH = và D MAH 0.25
Trang 7vuông cân tại 2 10 2 5
2
Theo yêu cầu bài toán
0
cos135
5
AB AM
AM
=
î
ï
uuur
0.25
0
0
0
0
1 1
0; 0
2 2
2 1
x
M
y
y
é ì - = -
í
ê
é
- = -
î
ê
Û ê
ê ì - = - -
ê
ê í
- =
ê î
ë
0.25
Vậy có hai điểm M thoả mãn là M( 0; 0 &) M - ( 1;3 ) 0.25
Trong không gian với hệ toạ độOxyzcho các điểm C( 0;0; 2 ,) ( K 6; 3; 0 - ) . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P đi qua , C K sao cho ( ) P cắt các trục Ox Oy lần lượt tại , , A B và thể tích khối
tứ diện OABC bằng 3.
Giả sử ( ; 0;0 ,) ( 0; ; 0 ,) ( 0) ( ) : 1
2
a b
a b
Î Û - = Û - = .Mặt khác OABC là tứ diện vuông tại
A nên 1 2 3 9 (**)
6
OABC
V = a b = Û ab = Giải hệ phương trình ( ) ( ) * , ** :
0.25
2
2
3, 3
2 3
6 3
3
6,
2
2 3
9
2 3 9 0 (vn)
ab
ì
Û
í
í
ì
ë
ì
í
= -
êî
î
ë
0.25
Câu 8b.
(1 điểm)
Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là
Tìm số phức z thoả mãn : z3-2z2 +5z - = 4 0
Phương trình 3 2
z - z + z - = ( ) ( 2 )
2
1
4 0 (***)
z
=
é
Û ê
- + =
ë
0.25
Giải ( *** ) có 1 16 15 2 2 1 15, 3 1 15
Câu 9b.
(1 điểm)
Phương trình có ba nghiệm 1 1 , 2 1 15 , 3 1 15
Hết
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl
