Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 450.. 1/ Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.. 2/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.. 2/ Viết phương trình mặt cầu S tiếp xúc với P có tâ
Trang 1TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC
ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA – NĂM HỌC 2014 -2015
Thời gian : 180 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1(2.0 điểm) Cho hàm số y =
1
1 2
x x
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên
2/ Tìm trên đồ thị (C) điểm M có hoành độ lớn hơn -1 và có khoảng cách từ M đến đường thẳng
: y = 3x + 5 ngắn nhất
Câu 2(1.0 điểm)
1/ Giải phương trình : (sin2x + cos2x )cosx + 2 cos2x – sinx = 0
2/ Giải phương trình trên tập hợp số C : i i
z
i
3 1 1 2
3
Câu 3 (0.5 điểm) Giải phương trình : 22x2 2x 1 9.2x2x40
Câu 4 (1.0 điểm) Giải bất phương trình:
3
7 3 3
32
2 2
x
x x
x x
Câu 5(1.0điểm) Tính tích phân I =
2
1
) 2 ( e x2 xdx
Câu 6(1.0điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên (SAB) vuông góc với
đáy , SA = SB Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 450
1/ Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a
2/ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD
Câu 7(1.0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1: x – 3y – 16 = 0 ; d2 : 3x - 4y -13 = 0 và điểm P(2;-3) Viết phương trình đường thẳng đi qua P và cắt d1 ; d2 lần lượt tại A ; B sao cho PA = PB
Câu 8(1.0 điểm) Trong hệ tọa độ Oxyz cho:
Mặt phẳng (P) : 2x - 3y + 6z -1 = 0 ; đường thẳng d :
1
2 1
3 2
x
và điểm A (-3;2;0)
1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và A
2/ Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) có tâm I nằm trên d và bán kính R=1
Câu 9 (0.5 điểm) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 người ta viết số có sáu chữ số như sau:
Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện một lần Hỏi có bao nhiêu
số như vậy ?
Câu 10( 1.0điểm) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của của biểu thức : M = (4x2 3y)(4y2 3x)25xy
……… HẾT………
Trang 2
ĐÁP ÁN
TXĐ: D = R \ 1
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y’= 2
) 1 (
3
x > 0 , x -1 Hàm số đồng biến trên khoảng (-;-1) ; (-1; + )
0,25
2 lim
y
y
x TCN : y = 2
y
x 1
y
x 1 lim TCĐ : x = -1
0,25
BBT x - -1 +
y ‘ + +
+ 2
y
2 -
0,25
1.1
(1đ)
Đồ thị :
0,25
y = 2 -
1
3
x M (C) M( x0 ; 1)
3 2
0
x và pt: : 3x – y + 5 = 0
0,25
Ta có : d( M,) =
2 2
0 0
) 1 ( 3
5 ) 1
3 2 ( 3
x x
=
1
1 1 10
3
0 0
x x
0,25
Vì x0 > -1 và (x0 + 1)
1
1
0
x = 1 nên d( M,) nhỏ nhất khi và chỉ khi x0 + 1 = 1
1
0
x
0,25
1.2
(1đ)
Suy ra x0 = -2 (loại) hoặc x0 = 0
x0 = 0 y0 = -1 Vậy M(0; -1)
0,25
2.1
(0,5đ)
(sin2x + cos2x )cosx + 2 cos2x – sinx = 0 sin2x.cosx + cos2x.cosx + 2cos2x – sinx = 0
2sinx.cos2x + cos2x.cosx + 2cos2x – sinx = 0 (2cos2x -1)sinx + cos2x (cosx + 2) = 0
cos2x( sinx + cosx + 2) = 0 cos2x0
0,25
0
y
x -1 1/2
2
-1
Trang 3sinx + cosx + 2 = 0 (vô nghiệm)
cos2x = 0 x =
2 4
k
( k Z)
0,25
2.2
i
3 1 1 2
3
i
i z
2
z = i
5
1 5
7
2 2 1
2 x x 9.2xx 4 0 2 [2(x2x)]2 9.2x2x 40
2
1 2
4 2
2 2
x x
x
3
(0,5đ)
1
2 2
2
x x
x x
ĐK : x4
Với điều kiện trên ta có : 2(x2 16)x37x 2(x2 16) 102x
0,25
0 2 10
0 16 2
x
x
(I) hoặc
2 2
) 2 10 ( ) 16 (
2
0 2 10
x x
x
(II)
0,25
Giải hệ (I) ta có x > 5
Giải hệ (II)
34 10 34
10
5
x
x
10 34 x5
0,25
4
(1đ)
I =
2
1
) 2 ( e x2 xdx =
2
1
2xdx +
2
1
2
dx
xe x = 2
1 2
x + J = 3 + J
0,25
Tính J : Đặt u = x2
2
1
du = xdx
1
2
x
x
1
4
u u
0,25
J =
4
1 2
1
du
e u =
4
1 2
1 u
2
1 4
e
e
0,25
5
(1đ)
I =
2
6 4
e
6.1
A
D
I
J
H
Trang 4Gọi I là trung điểm của AB SI AB
(SAB) (ABCD) SI (ABCD) hay SI là chiều cao của S.ABCD
Và IC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD) hay SC ; ABCD( ) = SCI = 450
0,25
Trong BIC : IC = IB 2 BC2 =
2
5
a
SIC vuông cân nên SI = IC =
2
5
a
; V SI.S ABCD
3
1
2
5 3
1
a
a
6
5 3
a
0,25
6.2
(0.5đ)
Ta có AB // CD và CD (SCD) nên AB // (SCD) d( AB;SD) = d(AB;(SCD))
Gọi J là trung diểm của CD SI IJ
Trong SIJ , kẻ IHSJ ta có :
SI CD
IJ CD
CD IH IH (SCD)
Hay d( AB;SD) = IH
0,25
2 2 2
1 1 1
IJ SI
1
2 5
1
a a
SH =
3
5
a
d( AB;SD) =
3
5
a
0,25
Phương trình tham số của d1 :
t
t y
x
3
7 ; d2:
m
m y
x
3
4 7
5
A(7 + 3t; -3 + t) d1 ; B(-5 + 4m; -7 + 3m) d2
P làtrung điểm của AB , ta có :
3 2
3 7 3
2 2
4 5 3 7
m t
m t
2
2
m t
0,25
7
(1đ)
Đường thăng đi qua P(2;-3) và có VTCP AP(1;2) nên có phương trình
() :
' 2
' 3
2
t
t y
x
0,25
Chọn M(1 ; 3; -2) d ; AM = ( 4; 1; -2)
Đường thẳng d có VTCP : u = (-2;1;1)
n = AM u = (3;0;6) là VTPT của mp(Q)
0,25
8
(1đ)
Mp(Q) đi qua A(-3;2;0) và có VTPT n = (3;0;6) nên có phương trình:
3(x + 3) + 6( z- 0) = 0 x + 2z + 3 = 0
0,25
Tâm I (1 -2t; 3 + t; -2 + t) d
6 ) 3 ( 2
1 ) 2 ( 6 ) 3 ( 3 ) 2 1 ( 2
2 2
t20 7 t t1327
0,25
Trang 5t = -27 tâm I1 (55;-24;-29) (S1) : (x - 55)2 + (y + 24)2 + (z + 29)2 = 1
t = -13 tâm I2 (27;-10;-15) (S1) : (x - 27)2 + (y +10)2 + (z + 15)2 = 1
0,25
Gọi x = a1a2a3a4a5a6 là số thỏa mãn yêu cầu của đề bài toán
+Xếp 2 chữ số 1 vào 2 vị trí bất kỳ : có C 62 15 cách
Xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại thì có 4! = 24 cách
Suy ra có 15.24 = 360 số x trong đó có chữ số 1 xuất hiện 2 lần
0,25
9
(0,5đ)
+Tương tự với 4 trường hợp còn lại ,mỗi trường hợp cũng có : 360 số
Vậy ta có tất cả 5.360 = 1800 số x
0,25
Khai triển và thu gọn biểu thức M ta được:
M = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy
Từ x + y = 1ta có 1 = (x + y )3 = x3 + y3 + 3xy( x+ y) x3 + y3 =1 - 3xy
Nên M = 16x2y2 -2xy +12
0,25
Đặt t = xy Xét hàm số f(t) = 16t2 - 2t + 12 trên
4
1
; 0
Ta có f’(t) = 32t – 2 ; f’(t) = 0 32t – 2 = 0 t =
16 1
0,25
f(0)= 12 ; f(
4
1 ) = 42
25
; f(
16
1 ) = 16
10
(1đ)
Vậy GTLN của M là
42
25 khi t =
4
1 hay x = y =
2 1
GTNN của M là
16
191 khi t =
16
1 hay x =
4
3
2
; y =
4
3
2
hoặc x =
4
3
2
; y =
4
3
2
0,25
