Tính thể tích khối chóp S ABC.. và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB.. Tìm toạ độ điểm H hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng AB.. Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của elí
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC, LẦN 6 NĂM HỌC 20132014
Môn: Toán Khối BD Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2 2 ( )
y=x + m x + , trong đó m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ( ) 1 khi m = 1
2. Chứng minh rằng đường thẳng d y: =x + luôn cắt đồ thị hàm số 1 ( ) 1 tại hai điểm phân biệt với mọi m Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình cos 22 2 cos 3 sin 3 2
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình: ( 2 )( 2 ) 2
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân ( 3 ) 2
1
1 ln 2 1
2 ln
=
+
ò
Câu 5 (1,0 điểm).Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Tam giác SAC cân tại S , · 0
60
Mặt phẳng ( SAC ) vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) . Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách từ
điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) .
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số a b c d , , , là các số thực bất kỳ .Chứng minh rằng :
3
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a ( 1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2
C x +y - x- y + = và điểm M - ( 3;1 ) Gọi A và B là các tiếp điểm kẻ từ M đến ( ) C Tìm toạ độ điểm H hình chiếu vuông góc
của M lên đường thẳng AB.
.Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ đô Oxyz ,cho mặt phẳng ( )P :x+2y- + = z 5 0 và đường
d + = + = - Hãy viết phương trình mặt phẳng ( ) Q chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng ( ) P một góc bằng 0
30
Câu 9.a (1,0 điểm). Xác định phần thực ,phần ảo của số phức 3 2 3 3 2 3
z
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,cho elíp ( ) E có tiêu điểm thứ nhất là F - ( 3; 0 ) và
đi qua điiểm 1 ; 4 33
5
. Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của elíp ( ) E .
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng 1 : 1 3
d + = = -
- , 2 : 2
d = - =
- - và A - ( 1; 2; 0 ) .Lập phương trình mặt phẳng ( ) P song song với hai đường thẳng
1, 2
d d và cách A một khoảng bằng 3.
Câu 9.b (1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn z+2z = + 3 i Tìm 2014 2013 2012 2011
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01
trang)
Trang 2ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20132014 LẦN 6
MÔN: TOÁN; Khối B,D
(Đáp án thang điểm gồm 5 trang)
m
1. ( 1,0 điểm)
Khi m = 1 hàm số (1) có dạng 4 2
2 1
y=x + x +
a) Tập xác định D = ¡
b) Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: 3 ( 2 )
Ta có y'>0Ûx>0 ; 'y <0Ûx< 0 :
hàm số nghịch biến trên khoảng ( -¥ ;0 , ) và đồng biến trên khoảng ( 0; + ¥ ) .
0,25
+) Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x=0,y CT = 1
+) Giới hạn: lim lim
x y x y
+) Bảng biến thiên:
y
1
0,25
Đồ thị : Nhận xét : hàm số đã cho là
(học sinh tự vẽ đồ thị)
hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung là trục đối xứng.
0,25
2. ( 1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng d y: = + x 1 là
( )
3 2
0
x
=
é
ë
Số giao điểm của hai đồ thị tương ứng số nghiệm phương trình ( ) * Ta thấy pt ( ) * có một nghiệm x = 0 , ta sẽ chứng minh pt ( ) ** có đúng một nghiệm khác 0 với mọi giá trị của m
0,25
1
(2,0
điểm)
· Nếu m = 0 thì pt ( ) ** trở thành x3 - =1 0Û x = Þ pt 1 ( ) * có đúng hai nghiệm. 0,25
· Nếu m ¹ 0 , xét hàm số ( ) 3 2
f x =x + m x - trên ¡ .
Ta có ( ) 2 2
f¢ x = x + m > " Î ¡ x Þ hàm số f x ( ) luôn đồng biến trên ¡ Þ pt f x ( ) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên ¡
0,25
Ta có ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )
f = - f = m > Þ f f < Þ pt f x = có nghiêmi thuộc khoảng
cos 2x sin 4x sin 2x 2
2
p
2
(1,0
điểm)
2
2
cos 2x cos4x sin 2x 2
1 sin 2x 1 2 sin 2x sin 2x 2 sin 2x sin 2x 2 0
0,25
Trang 3sin 2x sin 2x 2 0
Vậy phương trình có 1 họ nghiệm ( )
4
x p k k
p
Phương trình: ( 2 )( 2 ) 2 ( 2 )( 2 ) 2 ( )
3x x 3 2x 3x x 3 2x 12x 3x x 3 4x 12 x
( )
2
2
2
é - - =
- - = -
ê
0,25
6
3
(1,0
điểm)
2
Û + - = Û = Vậy tập nghiệm của phương trình là
( chú ý: có thể từ pt ( ) * nhận xét x = 0 không là nghiệm của pt( ) * Khi x ¹ 0 chia hai vế của phưong trình ( ) * cho x , sau đó đặt 2 t 3 x 3
x
= - đua về pt bậc hai ẩn t , giải tìm tÞ x )
0,25
2
ln 1
2 ln
x
+
+
+Tính
3
1
1
1
e
e
e
I =ò x dx= x = -
0,25
4
(1,0
điểm)
2 ln
ln 2 ln ln
e
+
Vậy
3
ln
Gọi H là trung điểm của ACÞSH ^ AC ( do D SAC cân tại S ) .
Mà ( SAC) ( ^ ABC) ÞSH ^ ( ABC ) đặt SH =x,( x > 0 ) . Ta có
3
,
Áp dụng định lí cô sin cho tam giác SBC với · 0
60
SBC =
ta được SC2 =BS2+BC2-2BS BC .cos 60 0 Þ 6
2
a
0,25
.
Kẻ HK ^ABÞ AB^( SHK) ( Þ SAB) ( ^ SHK )
6
a
0,25
5
(1,0
điểm)
( )
3
a
Trang 4Đặt x a b; y c d ; z ad bc
a b c d ac bd
T
T
=
0,25
2
1
T
6
(1,0
điểm)
Yêu cầu bài toán x+y+z ³ 3Û x+y+z2 ³ Û3 ( x+y+z) 2 ³3 ( xy+yz+ zx )
( ) ( 2 ) ( 2 ) 2
1
0
ë û luôn đúng . Ta có điều phải chứng minh
0,25
C x +y - x- y+ = Û C x- + y- = Þ C có tâm I ( ) 1;3 bkính R = 2
Ta nhận thấy hai véc tơ uuurIH , IM uuur
cùng chiều , nên uuurIH =t IM.uuur ( t >0 ) Û
Û
0,25
Theo hệ thức lượng trong tam giác AMH vuông , ta có 2 2
4
IH IM× =IH IM× =IA =R = uuur uuur
( 0 ) ( 0 ) ( ) ( )
1
5
7.a
(1,0
điểm)
Khi đó toạ độ điểm 1 13 ;
5 5
H æç ö ÷
Mặt phẳng ( ) Q có vtpt ( ) 2 2 2
Q
nr = a b c a +b +c >
Mặt phẳng ( ) P có vtpt n =r P ( 1; 2; 1 - )
Đường thẳng d : đi qua điểm M - - 0 ( 1; 1;3 ) và có véc tơ chỉ phương u = r ( 2;1;1 )
Do d nằm trong ( ) Q nên ta có
nr ^ur Ûnr ur= Û a+ + =b c Þc= - a b- Ûn r = a b - a b -
0,25
Ta có ( ( ) ( ) ) 0 0 ( )
2
P Q
P Q
P Q
+
+ +
r r
r r
( ) 2
5a 2b 4ab 2 a b 5a 2b 4ab 2 a b 3a 0 a 0
8.a
(1,0
điểm)
Mà đường thẳng d nằm trong ( ) Q Þ ( ) Q đi qua điểm M - - 0 ( 1; 1;3 )
( ) ( Q :1 y+1) ( - z-3) =0Û( ) Q :y- +z 4= 0 Vậy mp ( )Q :y- +z 4= 0 0,25
gt ( 3 2 3)( 2 3 ) ( 3 2 3)( 2 3 )
11
z
3 2 6 3 9 2 6 3 2 6 3 9 2 6
11
6 2 2 3
11
z
Û = .suy ra phần thực của z bằng 6( 2 2 3 )
11
và phần ảo của z bằng 0 0,25
9.a
(1,0
điểm)
Vậy phần thực của z bằng 6( 2 2 3 )
11
Trang 5( ) E có tiêu điểm F - ( 3; 0 ) nên có c = 3 .
Phương trình chính tắc của ( ) E có dạng ( )
a +b = > >
0,25
Ta có 2 2 2 2 ( )
3 1
a =b +c =b +
0,25
1 528
Tức là ta có ( )
25 22
0,25
7.b
(1,0
điểm)
Hình chữ nhật cơ sở của elíp ( ) E có kích thước ( 2 ; 2a b = ) ( 10 ; 2 22 ) từ đó diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 10 2 22´ = 20 22 (đ/v dt)
0,25
vtcp của d là 1 u =r 1 ( 1; 3; 4 - )
,vtcp của d là 2 u =r 2 ( 2; 1; 2 - - ) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) P là n r
nr^u nr r^ur Þnr= u u r r = =
0,25
Suy ra ( )P : 2x+2y+ +z m = 0 .Từ giả thiết d A P = ( ;( ) ) 3
2 4
4 4 1
m
- + +
+ +
0,25
8.b
(1,0
điểm)
Vậy ( )P : 2x+2y+ +z 7= 0 hoặc ( )P : 2x+2y+ -z 11= 0 0,25
Gọi z=a bi+ ,( a b , Î ¡ ) . Từ giả thiết z+2z = + Û3 i a+bi+2( a bi- ) = + 3 i . 0,25
0,25
1+ = -z 2 i,1+z = +1 1-i = -1 2iÞ 1+z 1+z = 2-i 1 2- i = - 5 i 0,25
9.b
(1,0
điểm)
( )
1005
5.2 1
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
Đáp án trình bày một cách giải gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.
Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl
