hình học không gian thái nên

Tính h theo a để hai mặt phẳng SAB vàSAC vuông góc nhau... Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC.. Viết phương trình mặt cầu S có đường kínhlà đoạn vuông góc chung của d1 và d2

BÀI 1Câu 1:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) :

GI ẢI Câu 1:

Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0

(P) : (m 2n)x my nz 2m 6n 0

° Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2

° (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

A

H

F

D

° Vậy, d(A B; B C ) FH/ / / a 21

7

Cách 2:

° Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông

⇒∆ABC, ∆A/B/C/ là các tam giác đều cạnh a

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

1 Tìm điểm M thuộc (∆) để thể tích tứ diện MABC bằng 3

2 Tìm điểm N thuộc (∆) để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất

a z

y

Câu 2: (1,0 điểm)

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = SB = SC, khoảngcách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và(SAC) vuông góc nhau

° [AB; AC] ( 3; 6; 6)uuur uuur = − − = −3(1; 2; 2)− = −3.nr , với n (1; 2; 2)r = −

° Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ nr: (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0

° Gọi O là tâm của ∆ABC

° Ta có: SA SB SCOA OB OC ( ABC đều)== == ∆

M C

⇒ là góc phẳng nhị diện (B, SA, C)

° ∆SAB= ∆SAC (c.c.c) ⇒ IB IC= ⇒ ∆IBC cân tại I

° (SAB) (SAC)⊥ ⇔ ∆IBC vuông cân tại I IM 1BC

° Gọi H là tâm của ∆ABC

và M là trung điểm của BC

° Ta có: SA SB SCHA HB HC ( ABC đều)== == ∆



° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc A(0; 0; 0),

° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA; SBuuur uur nên có pháp vectơ nr 1

° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA; SCuuur uuur nên có pháp vectơ nr 2

Trang 4

S z

A z

H B

M y C

° (SAB) (SAC)⊥ ⇔cos(n ; n ) 0r r1 2 =

GIẢI

Câu 1:

Mặt cầu (S): (x 2)− 2+ −(y 3)2 +z2 =13 m− có tâm

I(-2; 3; 0), bán kính R IN= = 13 m− , với m < 13

và đi qua điểm A(0; 1; -1)

° AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; 6)uur= − uur r = −

Trang 5

H N M

I

° Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d):

° Ta có: IH = h

⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ m = −12 (thỏa điều kiện)

° Vậy, giá trị cần tìm: m = -12

Câu 2:

Cách 1:

° Gọi N là điểm đối xứng của C qua O

° Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)

° Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

° Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz

đôi một vuông góc O(0; 0; 0),

là trung điểm của AC

° MN là đường trung bình của ∆ABC

a 3

a 3 y C

N O

M a

x B

° Ta có: d(B; (OMN)) 3.a 0 0 a 3 a 15

Câu 2:

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ∆ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o

GIẢICâu 1:

Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0

° Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định bởi (α) và (xOy) có dạng: m(2x – y + z – 5) – nz = 0 ⇔ (P) : 2mx my (m n)z 5m 0− + + − =

° Giao điểm A, B, C của (P) và 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa độ:

° Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G

trên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông

a

3

° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA, SBuuur uur nên có pháp vectơ nr1

° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA, SCuuur uuur nên có pháp vectơ nr2

Trang 8

z x

x

y C

B

A

E

F G M

° Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o.

2 o

Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng

(d) : x1−1=2y = z+22 và mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z = 0

Câu 2:

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2 , SA vuônggóc với (ABC) và SA = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC Tínhgóc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF

° Theo giả thiết: d(A; α) = d(A; ∆)

Trang 9

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF

° Áp dụng định lý hàm Côsin vào ∆SEM có:

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

Trang 10

z

a S

A x E B

M F y

C

C S

F M B E K

H A

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF.ta có:

° Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : 2x z a 0.r + − =

L

ỜI GIẢI Câu 1:

(P) : 2x 2y z m+ + − 2 −3m 0=

Trang 11

2 2 2

(S) : (x 1)− + +(y 1) + −(x 1) =9 có tâm I(1; -1; 1) và bán kính R = 3.

(P) tiếp xúc (S) ⇔ d[I, (P)] R=

2 2

° Vậy, (P) tiếp xúc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi đó (P): 2x + 2y + z – 10 = 0

° Đường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình:

Do đó ∆SAC vuông tại A có AM là

trung tuyến nên MA 1SC

2

=

° Ta lại có: SA (ABC)AB BC ( ABC vuông tại B)⊥⊥ ∆



⇒ SB BC⊥ (định lý 3 đường vuông góc)

Do đó ∆SBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên MB=12SC.

° Suy ra: MA = MB ⇒ ∆MAB cân tại M

° Dựng MH // SA và HK // BC (H AC; K AB)∈ ∈

° ∆MHK vuông tại H có: MK2 =MH2 +HK2 =a2 +a2 =2a2 ⇒ MK a 2=

° Diện tích ∆MAB: SMAB 1.MK.AB 1.a 2.a a 22

B K A

z S 2a

M

C y

a 5 H

B

A K

x a 5

° Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc và

2a aA(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0

ty

t2x

=

−

+

012z3y4x4

03yx

Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kínhlà đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)

GIẢI Câu 1:

ϕ

° Do S.ABC đều và ∆ABC đều nên

chân đường cao đỉnh S trùng với

giao điểm ba đường cao là trực tâm O

của ∆ABC và có ∆SBC cân tại S

suy ra: BC SH, BC AH,⊥ ⊥ nên ·SHA= ϕ

° Vì S.ABC là hình chóp đều

nên chân đường cao đỉnh S trùng

với tâm O đường tròn (ABC)

° Gọi M là trung điểm của BC Ta có:

A

z

S

(d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương ur1 =(2; 1; 0)

(d2) đi qua điểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương ur2 =(3; 3; 0)−

° AB (3; 0; 4)uuur= −

° AB.[u ; u ] 36 0uuur r r1 2 = ≠ ⇒AB, u , uuuur r r1 2 không đồng phẳng

° Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau

° (d2) có phương trình tham số:

/ /

° Tọa độ trung điểm I của MN: I(2; 1; 2), bán kính R 1MN 2

2

° Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x 2)− 2 + −(y 1)2+ −(z 2)2 =4

BÀI 8Câu 1:

Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0,

(Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng:

Trang 15

(d1): ; (d ): x 23 y31 z42

3

1

z4

3

y2

=

−

−

=+

Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P) và (Q), và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2)

Câu 2:

Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N lần lượt là trung điểm của ABvà C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN)

GIẢICâu 1:

(P) có pháp vectơ nrP =(3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n ,− = − = r/P với nr/P =(1; 4; 1)−

° (Q) có pháp vectơ nrQ =(3; 4; 9)−

° (d1) có vectơ chỉ phương ur1 =(2; 4; 3)−

° (d2) có vectơ chỉ phương ur2 = −( 2; 3; 4)

2

u r

B d 2

d 1 A

° Hai hình chóp B/A/MCN và B/.A/NC có chung

đường cao vẽ từ đỉnh B/ và SA MCN / =2.SA NC /

° Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz

đôi một vuông góc,

B M

tx

6't3y

'tx

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d2) Tìm phương trìnhtham số của đường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1)

Câu 2:

1 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a,mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α

GIẢICâu 1:

(d1) có vectơ chỉ phương ur1 =(1; 1; 2)

(d2) có vectơ chỉ phương ur2 =(1; 3; 1)

117

° Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB)⊥ ∩ = ⊂ ⇒ SH (ABC)⊥

° Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc α và ∆ABC đều, nên suy ra

H là trung điểm AB

° Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz

đôi một vuông góc, H(0; 0; 0),

x

H

a 2

a 3 2

B

N

ϕ

1 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (∆3) đối xứng với (∆2) qua (∆1).

2 Xét mặt phẳng (α) : x + y + z + 3 = 0 Viết phương trình hình chiếu của (∆2) theophương (∆1) lên mặt phẳng (α)

3 Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) để MM MMuuuur1 +uuuur2 đạt giá trị nhỏ nhất biết

° Gọi H là hình chiếu của A trên (∆1)

° Gọi A/ là điểm đối xứng của A qua H ⇒ A/(-1; -1; -7)

° Gọi K là hình chiếu của B trên (∆1) và B/ là điểm đối xứng của B qua K Tương tự như trên ta tìm được:

H

° Phương trình đường thẳng (∆3) đối xứng với (∆2) qua (∆1) chính là phương trìnhđường thẳng A B qua A/ / / với vectơ chỉ phương ar.

° Vậy, phương trình chính tắc (∆3): x 1 y 1 z 711+ = 74+ = 13+

2 Mặt phẳng (β) chứa (∆2) và (β) // (∆1)

⇒ (β) có cặp vectơ chỉ phương ur1 = −( 7; 2; 3), ur2 =(1, 2, 1)−

⇒ [u ; u ] ( 8; 4; 16)r r1 2 = − − − = −4(2; 1; 4)= −4n ,rβ với nrβ =(2; 1; 4)

° Phương trình mp (β) qua A(7; 3; 9) ∈ ∆( )2 với pháp tuyến nrβ:

( ) : 2x y 4z 53 0β + + − =

° Ta có: ( ) ( ) ( )α ∩ β = ∆/2 là hình chiếu của (∆2) lên (α) theo phương (∆1)

° Vậy, phương trình hình chiếu /2

x y z 3 0( ) :

2x y 4z 53 0

+ + + =



3 Gọi I là trung điểm M M1 2 ⇒ I(5; 2; 5)

° Ta có: MM MMuuuur1+uuuur2 = 2MIuuur

MM MM

⇒ uuuur +uuuur nhỏ nhất ⇔ 2MIuuur nhỏ nhất

⇔ M là hình chiếu của I trên (α)

° Phương trình đường thẳng (∆) qua I

và vuông góc với (α) là:

° Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH BC.⊥

° ∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a ⇒ AH=2a và

(AB/ là đường chéo của hình vuông AA/B/B cạnh a)

° Vậy, ∆AB/I vuông tại A

2 /

° Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH BC⊥

° ∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a

aAH

2

2

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

⇒ uuur ⊥uur Vậy, ∆AB/I vuông tại A

* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ nr1=(0; 0; 1)

* mp (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương AB , AIuuur uur/ , nên có pháp vectơ:

B

C A

H

I

y z