Trắc nghiệm : Hãy chọn một phương án đúng nhất trong các câu sau: 1.. O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác.. a2 sinα cosα Câu 10: Trong một tam giác, có 3 điểm sau luôn nằm trên một đờ
Trang 1Đề thi chọn học sinh giỏi toán 9 ( vòng 1)
Năm học 2007 - 2008 Thời gian 120 phút (De 1)
I Trắc nghiệm : Hãy chọn một phương án đúng nhất trong các câu sau:
1 Khi rút gọn biểu thức 8+ 60 ta có kết quả là:
a 3 + 5 b 15 + 1 c 5 - 3 d Một kết quả khác
2 Giá trị bé nhất của biểu thức:
A = x2 +2x+1 + 4x2 +4x+1 + 9x2 −6x+1 là:
3 Tập nghiệm của phương trình:
19 x2 − 1 + 5 x− 1 + 91 x2 − 3x+ 2 = 3 là
a {1;2} b {1;2;3} c {2;3} d {1}
4 Để hàm số
Y = (m- 3m)x3 + ( m-3)x2 + 2 x + 7 là hàm bậc nhất thì giá trị của m phải là:
a m = 0 b m = o và m = 3 c m = 3 d với mọi m thuộc R
5 Điểm cố định mà đường thẳng Y = mx -
2
m
- 1 luôn luôn đi qua khi m thay đổi có toạ độ là:
a ( ; 1
2
1 − ) b ( -1; 2) c ( 1;
2
1 ) d ( 1; 1)
6 Cho ∆ ABC vuông tại A có AB = 2AC, AH là đường cao Tỷ số HB:HC là:
7 Tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 16; AB = 12 Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt
AC ở D và E Độ dài DE là :
8 Cho góc ∝ thoả mãn 00 < ∝ < 900 ta có các kết luận sau:
a sin∝ < cos∝ b tg∝> cotg∝ c sin∝<tg∝ d Chưa thể kết luận được
9 Cho đường tròn có bán kính 12 Độ dài dây cung vuông góc với một bán kính tại trung điểm của bán kính ấy là:
10 Cho ∆ ABC cân tại A; đường cao AH = 2; BC = 8 Độ dài đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:
II Phần tự luận
Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a A = 4+ 7 - 4− 7 − 2
b B = x− x2 −4 + x+ x2 −4 ( với x≥2)
Câu 2: Chứng minh rằng nếu a> b> 0 thì: 2a3 - 12ab + 12b2 + 1 ≥ 0
Câu 3: Cho ∆ ABC vuông tại A, đường cao AH Tia phân giác của góc HAC cắt HC tại D Gọi K là hình chiếu của D trên AC
a Chứng minh ∆ ABD cân
b Biết BC = 25 cm; DK = 6cm Tính độ dài AB
Trang 2(De 2)ề thi hsg huyện 2007-2008 I.Trắc nghiệm (4điểm)
Câu 1: Điều kiện của x để biểu thức
4
1
2 −
x có nghĩa là:
a x>2 ; b x≠ ±2 ; c: x < - 2 ; d: x >2 hoặc x< -2
Câu 2: trong các số sau có bao nhiêu số vô tỉ:
-
2
1
9 ; - 4 ; (1,25)2 ; 3
64
1
− ; 2+ 3 - 2− 3
a: 0 ; b: 1 ; c: 2 ; d: 3
Câu 3: Giá trị của biểu thức (
5 8
8 5
−
+ +
5 8
5 8
+
− ) : 3 3
) 27 ( :
13 − là:
a: -
9
338 ; b: - 2 ; c:
13
Câu 4: Tam giác MNP có M (-1;0) , N(1;0), P (0;1) là:
a: ∆ cân tại M ; b: ∆ cân tại N ; c:∆ đều ; d: ∆vuông cân
Câu 5: Giá trị lớn nhất của biểu thức: −2x2 +5x là:
a:
8
4
4
2
2
5
Câu 6: Có thể nói gì về số đờng tròn đi qua 3 điểm A,B,C cho trớc
a: Có thể không có đờng tròn nào ; b: có ít nhất 1 đờng tròn
c: Có thể có 2 đờng tròn ; d: Có thể có 3 đờng tròn
Câu 7: Trong các hình sau hình nào có vô số trục đối xứng
a: Hình chữ nhật ; b: Hình tròn
c: Hình thoi ; d: Hình vuông
Câu 8: Cho ∆ABC O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác Gọi D,E,F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC,
AB Nếu góc A≥ góc B≥góc C thì có thể nói gì về quan hệ giữa ba đoạn thẳng OD,OE,OF
a: OD≥OE≥OF ; b: OD≤OE≤OF
c: OD<OF<OE ; d: OD>OF>OE
Câu 9: Giá trị của biểu thức: tgα + cotgα = 3.Giá trị của A = Sinα cosα là:
a: A = 1 ; b: A = 3 ; c: A =
3
1 ; d: Một kết quả khác
Câu 10: Hàm số y = (t2 – 2)x + 3 đồng biến khi và chỉ khi
a: t > 2 ; b: t > 2 ; c: t < - 2 ; d: t = ± 2
II Tự luận (6đ)
Câu 1: Cho biểu thức A =
x x x
x x x x x x
x x x
4
4 4
4
2
2 2
2
− +
−
−
−
−
−
− +
a.Rút gọn A
b Tìm x để A< 5
Câu 2: 1 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác.Chứng minh
a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) ≥2(ab + bc + ca)
2 Tìm số chính phơng abcd biết ab – cd = 1
Câu 3: 1 Cho ∆ABC vuông ở A Đờng cao AH Gọi D và E lần lợt là hình chiếu của H trên AB, AC, biết BH = 4cm, CH = 9 cm
a Tính độ dài đoạn DE
b Chứng minh AD.AB = AE.AC
2 Cho ∆ABC vuông ở A có AB<AC và trung tuyến AM, ACB = α , AMB = β
Chứng minh (sin α + cos α )2 = 1 + sin β
(De 3)ề thi học sinh giỏi toán 9 – Vòng I
I Trắc nghiệm Hãy chọn phơng án trả lời đúng ứng với lời dẫn của mỗi câu sau:
Câu 1: Giá trị của biểu thức M = 3 5+2 13 + 3 5−2 13
A Số hữu tỷ âm B Số hữu tỷ dơng C Số vô tỷ âm D Số vô tỷ dơng
Trang 3Câu 2:Giá trị nhỏ nhất của biểu thức : y = x−3+ 5−x là:
A 2 B 2 2 C 2 D Một đáp án khác
Câu 3: Giải phơng trình x+3+4 x−1+ x+8−6 x−1 =5 ta có nghiệm là
A x = 1 B x= 10 C 1 x≤ ≤10 D Một nghiệm khác
Câu 4: Biểu thức (2x−3)(5−2x) xác định khi :
A Không có giá trị của x B Mọi x thuộc R C -1,5 x≤ ≤2,5 D.Một kết quả khác
Câu 5: Cho P =
2007
1
3
1 2
1 1
1
+ + +
A P < 2007 B 2007 < P < 2 2007 C P > 2 2007 D.Một kết quả khác
Câu 6: Đơn giản biểu thức
A = ( 1 + tg2α )( 1 – sin2α ) - ( 1 + cotg2α )( 1 – cos2α ) ta đợc:
A A = 0 B A = 1 C A = cos2α - sin2α D Một kết quả khác
Câu 7: Các chiều cao của một tam giác bằng 3; 4; 5 Tam giác này là:
A Tam giác vuông B Không phải tam giac vuông C.Tam giác đều D.Tam giác cân
Câu 8: Cho x2 +
x2
1 = 7 ( x > 0 ) Giá trị của x5 +
x5
1
là :
Câu 9: Cho hình bình hành ABCD có BD ⊥BC ; AB = a ; A = α Diện tích hình bình hành ABCD là:
A sinα cosα B a2 sin2α C a2 cos2α D a2 sinα cosα
Câu 10: Trong một tam giác, có 3 điểm sau luôn nằm trên một đờng thẳng:
A.Trực tâm, trọng tâm và giao điểm 3 đờng phân giác B.Trực tâm, trọng tâm và giao điểm 3 đờng trung trực
A Trực tâm, giao điểm 3 đờng phân giác, giao điểm 3 đờng trung trực
B Cả A, B, C đều đúng
C Câu 1: Cho A =
3
1 9
3 3
4 3 2
2
−
−
−
+ +
−
x x x
x x
x
x x
x
a Rút gọn A b.Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên
Câu 2: Tìm x, y nguyên dơng sao cho :
x2 = y2 + 13 + 2y
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông ở A có đờng cao AH Gọi D, E, F lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA Chứng minh rằng :
a AH AE = 2AD AF
b
AF AD
1 1
4
+
=
De 4
Đề thi học sinh giỏi khối 9 (vòng 1) năm học 2007 – 2008
Hãy chọn phơng án trả lời đúng?
Câu1:
Với x > 2 thì giá trị của biểu thức: x+3+2 x+2 − x+6−4 x+2 bằng:
a 3 b 2 c − x+2 d Một đáp số khác
Câu2:
Biểu thức: 2x2 +4x−6 xác định khi:
a Với mọi x R∈ b x≥1 hoặc x≤−3 c 1≤x≤3 d Một đáp án khác
Câu3:
Trang 4Giá trị của biểu thức:
3 2 3 2
2
−
−
a 2 b 2 c 1 d Một đáp án khác
Câu4:
Luỹ thừa bậc 4 của 1+ 1+ 1 là:
a 2+ 3 b.3 c 1+2 3 d 3+2 2
Câu5:
Cho hàm số:f(x) = ax+ 3 (a ≠0) ; g(x) = (a2 +1)x−1 ta có:
a f(x) + g(x) đồng biến b f(x) - g(x) đồng biến c g(x) – f(x) nghịch biến
Câu6:
Đơn giản biểu thức: A =
2 cos 2
sin cos
2 2
2
2 2
−
−
−
α
α
α Ta đợc
a A =
2
1
b A =
2
1
− c A=sin2α d Cả a, b, c đều sai
Câu7:
ABC∆ có gócA = gócB + 2gócC và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp Độ dài ba cạnh của tam giác đó là:
a 4, 5, 6 b 5, 6, 7 c 2, 3, 4 d Cả a, b, c đều sai
Câu8:
Ta có các phát biểu sau:
1) Một điểm O cho trớc và một số phụ r cho trớc xác định một đơnggf tròn tâm O bán kính r
2) Qua 2 điểm A, B cho trớc xác định đợc một đờng tròn đờng kính AB
3) Qua 3 điểm chỉ xác định đợc một và chỉ một đờng tròn
Các phát biểu đúng là:
a Chỉ 1) b Chỉ 2) c Chỉ 3) d Chỉ 1 và 2
II/ Phần tự luận:
Câu1:
Cho biểu thức: A =
2 2
2 4
2
−
− +
−
x x
x
a) Rút gọ A
b) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu2:
Cho a, b, c thoả mãn a > c , b > c > 0 Chứng minh rằng:
ab c
b c c
a
Câu3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, dây CD Gọi H, K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A,
B đến CD
a) Chứng minh rằng: CH = DK
b) Chứng minh rằng: SAHKB = SACB + SADB
c) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm
d)
De 5
Đề thi thử HSG khối 9
Môn thi: Toán
(Thời gian 90 phút làm bài)
A:Phần trắc nghiệm (3 điểm)
• Hãy chọn một phơng án đúng nhất trong các câu sau
1 Tính 58+3( 5+1) có kết quả
A:10 , B: 5 , C:4 , D: 3
2 Rút gọn biểu thức 3 7+5 2 +3 7−5 2 ta đợc kết quả là
A:14, B:2 , C: 1 , D:23 7
3 Hàm số y = (m2 −1).x+5 đồng biến khi
A: -1< m < 1 , B: m>-1 , C: m>1 , D: m >1 và m <-1
4 Cho hình vẽ ( cho cả 3 trờng hợp )
1, SinB bằng
Trang 5a: BC AC , b : AH BC , c : AH BC , d : AH AC
2,Trong các hệ thức sau hệ thức nào không đúng
a: AH2=BH.HC, b: AH.BC=AB.AC
c: AH2= 22. 22
AC AB
AC AB
+ d: AC2=AB.HC
3, Cho ^
C =300 , M là trung điểm của BC khi đó trờng hợp nào sau đây không đúng
a: B = 600 , b: ∆ AMB đều , c: AM=AB , d: AC= 2AM
B : Phần tự luận (7điểm)
Bài 1: a Tính A= ( 1 2).( 1 2) ( 1 12)
3
1 2
1
n
−
−
b Cho x, y, z > o thoả mãn xy+ yz+ xz = 1, tính tổng
2
2 2
2
2 2
1
) 1 ).(
1 ( 1
) 1 ).(
1 ( 1
) 1 ).(
1 (
z
y x
y
x z
x
z
b
ca a
bc + + ≥ + + , với mọi a,b,c >0
Bài 3: *1 Cho tam giác ABC vuông tại A , đờng cao AH, trung tuyến AM Gọi D
và E thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC
a Chứng minh AD.AB = AE.AC
b Gọi K là giao điểm của AM và DE chứng minh AK DE = AD AE
c Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để diện tích tứ giác AEHD bằng một nửa diện tích tam giác ABC
*2 Dựng hành thang cân ABCD (AB CD) biết AB = BC = 3cm
và AC⊥AD
De 6: Đề thi học sinh giỏi khối 9 (vòng 1) năm học 2007 – 2008 Câu1:
Với x > 2 thì giá trị của biểu thức: x+3+2 x+2 − x+6−4 x+2 bằng:
a 3 b 2 c − x+2 d Một đáp số khác
Câu2:
Biểu thức: 2x2 +4x−6 xác định khi:
a Với mọi x R∈ b x≥1 hoặc x≤−3 c 1≤x≤3 d Một đáp án khác
Câu3:
Giá trị của biểu thức:
3 2 3 2
2
−
−
a 2 b 2 c 1 d Một đáp án khác
Câu4:
Luỹ thừa bậc 4 của 1+ 1+ 1 là:
a 2+ 3 b.3 c 1+2 3 d 3+2 2
Câu5:
Cho hàm số:f(x) = ax+ 3 (a ≠0) ; g(x) = (a2 +1)x−1 ta có:
a f(x) + g(x) đồng biến b f(x) - g(x) đồng biến c g(x) – f(x) nghịch biến
Câu6:
Trang 6Đơn giản biểu thức: A =
2 cos 2
sin cos
2 2
2
2 2
−
−
−
α
α
α Ta đợc
a A =
2
1 b A =
2
1
− c A=sin2α d Cả a, b, c đều sai
Câu7:
ABC∆ có gócA = gócB + 2gócC và độ dài 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp Độ dài ba cạnh của tam giác đó là:
a 4, 5, 6 b 5, 6, 7 c 2, 3, 4 d Cả a, b, c đều sai
Câu8:
Ta có các phát biểu sau:
4) Một điểm O cho trớc và một số phụ r cho trớc xác định một đơnggf tròn tâm O bán kính r
5) Qua 2 điểm A, B cho trớc xác định đợc một đờng tròn đờng kính AB
6) Qua 3 điểm chỉ xác định đợc một và chỉ một đờng tròn
Các phát biểu đúng là:
a Chỉ 1) b Chỉ 2) c Chỉ 3) d Chỉ 1 và 2
II/ Phần tự luận:
Câu1:
Cho biểu thức: A =
2 2
2 4
2
−
− +
−
x x
x
c) Rút gọ A
d) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu2:
Cho a, b, c thoả mãn a > c , b > c > 0 Chứng minh rằng:
ab c
b c c
a
Câu3: Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, dây CD Gọi H, K theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ A,
B đến CD
e) Chứng minh rằng: CH = DK
f) Chứng minh rằng: SAHKB = SACB + SADB
g) Tính diện tích lớn nhất của tứ giác AHKB, biết AB = 30cm, CD = 18cm
ĐÁP ÁN de 1
I Trắc nghiệm ( Mỗi ý đỳng cho 0,4 điểm)
II Tự luận
Cõu 1: ( 2 điểm)
a Ta cú:
2
) 1 7 ( 7 4
2 +
= + ( 0,25 điểm);
2
) 1 7 ( 7 4
2
−
=
2
1 7 1
7+ − + − ( 0,25 điểm); A = 2
2
2
− = 0 ( 0,25 điểm)
b B2 = x - x2 −4+x+ x2 −4+2 (x− x2 −4)(x+ x2 −4) ( 0,5điểm)
B2 = x + x + 2 x2 −x2 +4 (0,25 điểm)
B = 2(x+2) ( 0,25 điểm)
Cõu 2: ( 1,5) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức
2a3 - 12b ( a-b) + 1≥ 0 ( 0,25 điểm)
- Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức:
a2 ≥ 4b( a- b) (2)
⇔ ( a - 2b)2 ≥ 0; (đỳng) ⇒ (2) đỳng (0.25đ)
từ (2) ⇒ 3a2 ≥ 12b(a-b) (3) (0.25đ)
Muốn chứng minh (1) đỳng ta chứng minh
2a3 - 3a2 + 1 ≥ 0 (4) (0.25đ)
Trang 7⇔ 2a3 – 2a2 – a2 + 1 ≥ 0
⇔ 2a2(a - 1) – (a - 1)(a + 1) ≥ 0 ⇔ (a - 1)(2a2 – a - 1) ≥ 0 ⇔(a - 1)(a2 – a + a2 - 1) ≥ 0
⇔ (a−1) [a(a−1)+(a−1)(a+1)]≥0 ⇔ (a−1) ( [ a−1)(2a+1)]≥0
⇔ (a - 1)2 (2a + 1) ≥ 0 đỳng (vỡ a > 0) ⇒ (4) đỳng (0.25đ)
Vỡ 3a2 ≥ 12b (a-b) theo (3)
⇒ 2a3 – 12b (a-b) + 1 ≥ 2a3 – 3a2 + 1 ≥ 0 (theo (4)) (0.25đ)
Cõu 3: (2,5đ)
Vẽ hỡnh đỳng (0.25đ)
a) (1đ)
+ Vỡ ∆ AHD = ∆ AKD (Cạnh huyền và gỳc nhọn bằng nhau) (0.25đ)
+ Suy ra Dˆ1 =Dˆ2 (cặp gúc tương ứng)
(0.25đ)
+ Dˆ1 =B AˆD (so le trong) (0.25đ)
+ Suy ra Dˆ1 =B AˆD ⇒ ∆ ABD cõn tại B (0.25đ)
b) (1.25đ)
+ Gọi cạnh AB là y ⇒ BD = y (theo (1)) (0.25đ)
+ Ta cú:
AB2 = y2 = BH.BC = 25 (y-6) (vỡ HD = DK) (0.25đ)
Hay: y2 = 25y – 150 (0.25đ) ⇔ y2 = 25y + 150 = 0⇔ (y – 10) (y – 15) = 0 (0.25đ)
Đáp án toán 9 (de 2)
I Trắc nghiệm (4đ)
II Tự luận (6đ)
Câu 1: (1,5đ)
ĐKXĐ: x2 – 4x ≥0 ⇔ x(x-4) ≥0 ⇔ x≥4 hoặc x ≤0
x - x2 −4x ≠0 x ≠ x2 −4x x2 ≠x2 - 4x
⇔ x≥4 hoặc x ≤0 ⇔ x≥4 hoặc x<0
x ≠0
a
) 4 (
) 4 4
)(
4 4
( ) 4 )(
4 (
) 4 (
) 4 (
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
A
−
−
−
− +
− +
− +
−
− +
=
− +
−
−
−
−
−
− +
x x x
x x
x
4 4
2 4
−
=
−
b A< 5⇒ x2 −4x < 5 ⇔ x2 −4x−5<0⇔(x+1)(x−5)<0⇔−1<x<5
Kết hợp với điều kiện ta có
x ≥4 hoặc x <0 ⇔ -1<x<0
-1 < x <5 4 ≤x ≤5
Vậy : Để A< 5 thì -1 <x<0 hoặc 4 ≤x ≤5
Câu 2: 1 áp dụng bất đẳng thức CôSi ta có
1 +b2 ≥2b ⇔ a(1 + b2) ≥2ab
1 +c2 ≥2c ⇔ b(1 + c2) ≥2bc
1 +a2 ≥2a ⇔ c(1 + a2) ≥2ac
⇒ a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) ≥ 2ab +2bc +2ac
⇒ a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) ≥ 2 (ab +bc ca)
2 abcd = n2 (n∈N)
abcd = n2 ⇒ 100 ab + cd = n2
⇒ 100(1 + cd ) + cd = n2
⇒ 100 + 101 cd = n2
⇒ 101 cd = n2 – 100 = (n-10)(n+10)
ta có n<100 và 101 là số nguyên tố nên suy ra
Trang 8101 = n+10 ⇒ n= 91 A Thử lại abcd = 912= 8281
a Tứ giác ADHE là hình chữ nhật
( Vì tứ giác ADHE có 3 góc vuông) D
⇒Ta có: AH2 = BH.CH = 9.4 =36 B C
b Xét ∆AHC vuông tại H có HE ⊥ AC
⇒ AH2 = AE.AC (1)
∆ AHB vuông tại H có DH ⊥ AB ⇒ AH2 = AD.AB (2) Từ (1) và (2) ta có: AE.AC = AD.AB
2 (1đ) (sin α +cosα)2 =1+sinβ
⇒ sin2α+2cosα.sinα +cos2α = 1 +sin β ⇒ 1 + 2cos α.sinα =1+sinβ ⇒ 2 cosα.sinα =sinβ (1) Chứng minh (1):
Ta có: 2
BM
AH BM
AH BC
AH BC
BC
AH BC BC
AB BC
2
2 2
2
B β α ⇒ 2.cos
AM
AH BM
AH
=
= α
α.sin ( Vì AM là đờng trung tuyến ∆ABC) H M C ⇒ 2 cos α sinα =sinβ
Vậy: (sin α +cosα)2 =1+sinβ
Đáp án toán 9 De 3
I Trắc nghiệm ( 4 điểm ) – Mỗi câu đúng 0.4 điểm
II Tự luận ( 6 điểm )
Câu 1: 2 điểm ĐKXĐ: x > 3 0.25 điểm
a A =
3
2 x
b A là số nguyên khi x chia hết cho 3 ⇔ x = 3k ( k ∈N* ) ⇔ x = 9k2 (k ∈N* ) Vậy A nguyên khi x = 9k2
với k là số nguyên dơng : 0.75 điểm
Câu 2: ( 2 điểm )
Từ x2 = y2 + 2y + 13 ta có : x2 = ( y + 1 ) 2 +12 ⇔( x + y + 1 )(x – y – 1 ) = 12
Do ( x + y + 1 ) - (x – y – 1 ) = 2y + 2 và x, y ∈ N* nên x + y + 1 > x – y – 1 Vì vậy x + y + 1 và x – y –
1 là hai số nguyên dơng chẵn Mà 12 = 2 6 nên chỉ có một trờng hợp : x + y + 1 = 6 và x – y – 1 = 2 Vậy x =
4 và y = 1
Câu 3: ( 2 điểm ) Mỗi ý 01 điểm
a) Do AH ⊥ BC ( gt ) ; BAC = 900( gt ) nên AH BC = AB AC (1 )
Mà BC = 2AE ( Tính chất đờng trung tuyến trong tam giác vuông )
AB = 2AD ( gt ) ; AC = 2AF ( gt ) nên (1 ) trở thành 2AH AE = 4AD AF
Vậy AH AE = 2AD AF
b) Xét tam giác ABC có : A = 900 Đờng cao AH (gt) nên :
AC AB
1 1
1 = + ( Hệ thức lợng trong tam giác vuông )
A
B
D
Trang 9Hay
AF AD
4
1 4
1
1 = + ( Do AB = 2AD; AC = 2AF )
Vậy
AF AD
1 1
4
+
Dap an de 4
Đáp án và biểu diểm:
I/ Phần trắc nghiệm:(4đ)
II/ Phần tự luận ( 6 điểm) Câu1: (1,5đ) a (1đ) A = ( ) ( )
2 2
3
2 2
6 2
3
2 2
2 2
2
2 2
2 4
2
+
=
− +
−
=
−
− +
−
x x
x
x x
x x
x
b (0,5đ) A =
3
6 3
2 3
2
+
x Dấu “ =” xảy ra ⇔x = 0 Vậy giá trị lớn nhất của A =
36 khi x = 0 Câu2: (1,5đ) Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a – c > 0 và b – c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
ab
bc ab ca a
c a b
c ab
c
a
+ −
≤
−
2
1 2
ab
ac ab cb b
c b a
c ab
c
b
+ −
≤
−
2
1 2
Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có: ( )
ab
c a
ab
c b
Câu3: (3đ)
a.(0,75đ)
Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1)
=>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD)
Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2)
Từ (1) và (2) => CH = DK
b (1,5đ) Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F Ta có: ∆HIE=∆KIF(g−c−g) => SAHKB
= SAEFB Kẻ II’, CC’, DD’ vuông góc với AB
Mà SAEFB = AB II’ (vì AB = EF) nên SAHKB = AB.II’ (3)
2
' ' 2
'
2
'
II AB DD
CC AB AB DD AB
+
=
Từ (3) và (4) Ta có: SAHKB= SABC + SADB
c.(0,75đ) Trong tam giác vuông ICO co: OI2 = OC2 −OI2 = 152 −92 =12(cm)
SAHKB = AB II’ ≤ AB IO = 30 12 = 360(cm2) (vì IO≥ II’ )
Vậy SAHKB lớn nhất bằng 360cm2
C
O I’
H
E
I
F
Trang 10Dap an de 6
Đáp án và biểu diểm:
I/ Phần trắc nghiệm:(4đ)
II/ Phần tự luận ( 6 điểm) Câu1: (1,5đ) a (1đ) A = ( ) ( )
2 2
3
2 2
6 2
3
2 2
2 2
2
2 2
2 4
2
+
=
− +
−
=
−
− +
−
x x
x
x x
x x
x
c (0,5đ) A =
3
6 3
2 3
2
+
x Dấu “ =” xảy ra ⇔x = 0 Vậy giá trị lớn nhất của A =
36 khi x = 0 Câu2: (1,5đ) Với a>c>0 và b>c>0 (gt) thì a – c > 0 và b – c > 0.áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
ab
bc ab ca a
c a b
c ab
c
a
+ −
≤
−
2
1 2
ab
ac ab cb b
c b a
c ab
c
b
+ −
≤
−
2
1 2
Cộng vế theo vế (1) và (2) Ta có: ( )
ab
c a
ab
c b
Câu3: (3đ)
a.(0,75đ)
Gọi I là trung điểm của CD => IC = ID (1)
=>OI vuông góc với CD => OI//AH//BK ( Vì AH , BK cùngvuông góc với CD)
Mà O là trung điểm của AB nên I là trung điểm của HK hay IH = IK (2)
Từ (1) và (2) => CH = DK
b (1,5đ) Qua I kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AH và BK ở E và F Ta có: ∆HIE=∆KIF(g−c−g) => SAHKB
= SAEFB Kẻ II’, CC’, DD’ vuông góc với AB
Mà SAEFB = AB II’ (vì AB = EF) nên SAHKB = AB.II’ (3)
2
' ' 2
'
2
'
II AB DD
CC AB AB DD AB
+
=
Từ (3) và (4) Ta có: SAHKB= SABC + SADB
c.(0,75đ) Trong tam giác vuông ICO co: OI2 = OC2 −OI2 = 152 −92 =12(cm)
SAHKB = AB II’ ≤ AB IO = 30 12 = 360(cm2) (vì IO≥ II’ )
Vậy SAHKB lớn nhất bằng 360cm2