Chuyên đề Hàm số bậc nhhất

 Bậc của phương trình là số mũ cao nhất của ẩn. Thay ẩn x bằng một ẩn khác ta có phương trình theo ẩn mới...  Khi ta nhân hoặc chia hai vế của phương trình với cùng một số hoặc cùng

 Bậc của phương trình là số mũ cao nhất của ẩn.

 Thay ẩn x bằng một ẩn khác ta có phương trình theo ẩn mới

2 Nghiệm của phương trình  tập nghiệm của phương trình

Ví dụ 1 : Trong các số 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 Số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau:a) 3x 2 2x1 4x 2

 Giá trị x m làm cho hai vế của phương trình có cùng một giá trị thì x m là một nghiệm của phương trình.

 Một phương trình có thể không có nghiệm nào hoặc có một, hai, ba nghiệm hoặc

có rất nhiều nghiệm

 Tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm của phương trình, ký hiệu là S

 Phương trình không có nghiệm nào gọi là phương trình vô nghiệm, nghĩa là S 

 Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của ẩn gọi là phương trình có vô số

nghiệm, nghĩa là S R

3 Các phép biến đổi phương trình

 Phép chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của phương trình mà đổi dấu là phép biến đổi tương đương

 Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với cùng một số ( hoặc cùng một biểu thức ) khác O thì được một phương trình mới tương đương

 Phép bình phương, phép khai phương, phép biến đổi tỷ lệ thức là những phép biến đổi không tương đương

 x  hoặc 2 x 0, 2

c) 3 2 x x  22x1   0 3 2 x x  12 0  3 2 x0 hoặc x 12 0

 Phương trình dạng  2 2  2 2

ax bx c  mx nx phoặc ax2bx c  2 mx2nx p 2 0 bao giờ cũng sử dụng hằng đẳng thức

404

b ac a

404

b ac a



2

02

b x a

404

b ac a

 Tìm điều kiện xác định của phương trình.

 Quy đồng mẫu thức của phương trình và bỏ mẫu thức

 Giải phương trình vừa nhận được

 So sánh các giá trị ẩn vừa tìm, nếu giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định thì đó chính là nghiệm của phương trình đã cho.



 c) 5 2 2 3

x x

x x

x x

x x

x x

x x

 

3 2 x x x 3x2x  6 x  3Nghiệm x  không thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình đã cho vô nghiệm.3

Ví dụ 2 : Giải phương trình

Vì x  không thỏa mãn điều kiện nên phương trình đã cho vô nghiệm.0

Ví dụ 3 : Giải phương trình ( Phương pháp đặt ẩn phụ )

Giải và biện luận phương trình : ax b 0, (1)

 Biến đổi phương trình về dạng axb, (1)

 Nếu a  thì phương trình (1) có dạng : 0.x0 b;

o Nếu b  thì phương trình có vô số nghiệm x 0

o Nếu b  thì phương trình vô nghiệm.0

 Nếu a  phương trình bao giờ cũng có duy nhất một nghiệm 0 x b

m m





o m  thì (b) có dạng 2 0.x 3 2 2   nên phương trình đã cho vô nghiệm

o m  thì (b) có dạng 2 0.x 3 2 2   nên phương trình đã cho có vô số nghiệm

 Nếu m 2 m2 0  2

2

m m





d) 3mx 3 m x m3    3mx 9 3 mx m 2  0.x 9 m2

Ta có : 9 m2   0 3 m 3m 0  m  ; 1 3 m  2 3

 Nếu m  ; 1 3 m  thì (d) có dạng 0.2 3 x  nên phương trình đã cho có vô số nghiệm.0

 Nếu m  ; 3 m  thì phương trình đã cho vô nghiệm.3

 c) 5 2 2 3

x x

x x

 “ a không nhỏ hơn b ” thì “ a lớn hơn b ” hoặc “ a bằng b ” ký hiệu : a b

 “ a không lớn hơn b ” thì “ a nhỏ hơn b ” hoặc “ a bằng b ”, ký hiệu : a b

 Cho số thực bất kỳ a bao giờ cũng xảy ra một trong ba khả năng sau :

 a  : ta gọi a là số thực âm;0

 a 0 : ta gọi a là số thực không;

 a  : ta gọi a là số thực dương.0

2 Định nghĩa : Ta gọi hệ thức a b ( hay a b , a b , a b ) là bất đẳng thức và gọi a là

vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức

 Bất cứ số dương nào cũng lớn hơn số 0

 Bất cứ số âm nào cũng nhỏ hơn số 0

 Bất cứ số dương nào cũng lớn hơn số âm

 Trong hai số dương số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó lớn hơn

 Trong hai số âm số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn

 Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn

 Với mọi số thực a bao giờ ta cũng có : a  “ bình phương của một số thực bao giờ2 0cũng là một số không âm ”.

Ví dụ 1 : Điền các dấu thích hợp vào các ô vuông

a) 3,45  3,54 b) 1,21   4,57 c)  4  7

d) 3

4

43

 e) 5

9

  78

 f) 5

7 

78

 e) 5

9

 > 78

 f) 5

7 <

78

a) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”

 2x2y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 1 ”

 2x 1 2y1

b) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm 3 ”

 3 x 3y “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 2 ”

 2 3 x 2 3y

c) x y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 1

3 ” 

Ví dụ 5 : Cho a b chứng minh :

a) 2a 3 2 b 3 b) 2a 5 2 b 8 c) 7 3 a3 3  b

Bài giải

a) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”

 2a2b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số :  3 ”

 2a  3 2b  3  2a 3 2 b 3

b) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 2 ”

 2a2b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số :  5 ”

 2a  5 2b  5  2a 5 2 b 5

Vì 5  8 nên 2b 5 2 b 8, theo tính chất bắc cầu ta có 2a 5 2 b 8

c) a b “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số âm : 3 ”

 3 a 3b “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 7 ”

a) 3x 5 3 y 5 “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số 5 ”

 3x 5 5 3  y 5 5  3x3y “ nhân hai vế của bất đẳng thức với số dương 1

3 ”  1.3 1.3

Ví dụ 1 : Trong các bất phương trình sau bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất

x   3.0 2 0   2 0 bất đẳng thức đúng nên x  là nghiệm của bất phương trình0

3x   Tương tự 2 0 x  , 1 x  , 2 x  là nghiệm của bất phương trình 33 x   2 0

b) y   1 4 3 1   2 1 1  7 1 bất đẳng thức sai nên y  không thể là 1nghiệm của bất phương trình 4 3 y2y1

3 Các phép biến đổi bất phương trình

 Phép chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình mà đổi dấu là phép biến đổi tương đương

 Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế của phương trình với cùng một số dương thì được một bất phương trình mới cùng chiều với bất phương trình đã cho Khi ta nhân (hoặc chia)hai vế của phương trình với cùng một số âm thì được một bất phương trình mới ngược chiều với bất phương trình đã cho

Ví dụ 1 : Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số.

a) 2x  4 0 b) 4 3 x0 c) 2x 3 2 3  x d) 7x 3 8x 5

Bài giải

a) 2x  4 0 “ chuyển  4 từ vế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành 4”

 2x  “ chia hai vế của bất phương trình cho số dương 2 ”4

 x  ////////////////////////////// 2

b)9 3 x0“chuyển 3x từ vế trái sang vế phải của bất phương trình và đổi dấu thành 3x ”

 3x  “ chia hai vế của bất phương trình cho số dương 3 ”9

 a a nếu a  ; “Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính số đó ”0

 a  nếu 0 a  ; “Giá trị tuyệt đối của số không là số không ”0

 a a nếu a  “Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của số đó ”.0

Muốn giải phương trình có chứa giá trị tuyệt đối trước hết ta phải tìm cách bỏ giá trị tuyệt đối rồi mới có thể giải phương trình đó

Ví dụ 1 : Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức

x   giá trị này không thỏa mãn điều kiện x  nên nó không là nghiệm.0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 3 : Giải phương trình

a) 2x 2 x 5 b) x 3 2 x5

x được gọi là biến số.

 Khi hàm số được cho bằng công thức yf x , ta hiểu rằng biến x chỉ lấy những giá trị

x y x





 c) y 5 x d) y x 3 2 x

x x

x y

x x

x x

x x

x x

x x x

x x x

không có x nào thỏa mãn.

Vậy hàm số xác định với mọi x sao cho 2  x 2

1 0

2 0

x x x

1 0

2 0

x x x

1 0

2 0

x x x

x x x

1 0

2 0

x x x

x x x

1 0

2 0

x x x

1 0

2 0

x x x

1 0

2 0

x x x

x x x

o hoặc

12

1 0

2 0

x x x

x x x

không có x nào thỏa mãn.

x x x x

x x x x

không có x nào thỏa mãn.

 Nếu giá trị của biến x tăng mà giá trị tương ứng của hàm số y lại giảm thì hàm số

 

yf x được gọi là hàm số nghịch biến trên R

Cho hàm số yf x  xác định trên tập D

 Nếu x x1, 2D x: 1x2 mà f x 1  f x 2 thì hàm số yf x  đồng biến trên D

 Nếu x x1, 2D x: 1x2 mà f x 1  f x 2 thì hàm số yf x  nghịch biến trên D

Ví dụ 1 : Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số a) y x 1 b) y 3 2x

 Hàm số bậc nhất y ax b a  , 0 xác định với mọi giá trị của x R

 Hàm số bậc nhất y ax b a  , 0 đồng biến khi a  , nghịch biến khi 0 a  0

Ví dụ 1 : Các hàm số sau hàm số nào là hàm số bậc nhất ? Hãy xác định các hệ số a, b của

Tương tự đẳng thức này f x 1x2 a x 1x2 ax1ax2 f x 1  f x 2 không còn đúngnữa.

Ví dụ 5 : Cho hàm số bậc nhất y 1 5x 1

a) Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao ?

b) Tính giá trị của hàm số y khi biến x  1 5

b) Tính giá trị của biến x khi y  5

 m 3m  2 3m 0m 3 m 2 0

2 0

m m

 Giao điểm với trục tung Oy : cho x  tìm được y b0 

 Giao điểm với trục hoành Ox : cho y  , giải ph trình bậc nhất 0 ax b 0 x b

 Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng  d : y ax b a  , 0 và trục hoành Ox :

 Khi đó ta gọi : a tg  là hệ số góc của đường thẳng  d

Hệ quả : Cho hai đường thẳng  d1 :y a x b a 1  1, 1 0 và  d2 : y a x b a 2  2, 2 0

1)  d song song 1  d  2 a1a2 và b1 b2

223

4 Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ quả : Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ,x y 1 1 1

a) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn ,x y để được một hệ có nghiệm duy nhất.

b) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn ,x y để được một hệ vô nghiệm.

c) Hãy cho thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn ,x y để được một hệ có vô số nghiệm.

Quy tắc : Rút một trong hai ẩn từ một trong hai phương trình của hệ phương trình.

Thế ẩn vừa rút vào phương trình thứ 2 của hệ hệ phương trình

x y

x y

x y

10 0

x y

x y

2

x y

6 2

3

y x

y y

y x

y x

x y

x y

2 1

3

x y

Quy tắc : Tìm cách làm cho hệ số của một trong 2 ẩn hoặc là bằng nhau hoặc là đối nhau.

Cộng hoặc trừ các vế tương ứng của hai phương trình trong hệ được một phương trình mới

Hệ phương trình cũ tương đương với hệ phương trình mới gồm một phương trình mới kết hợp với một trong hai phương trình cũ

x y

x y

x y

y x

x y

giải hệ phương trình này, giả sử tìm ra nghiệm x y 0; 0

Nếu x y cũng là nghiệm của phương trình còn lại 0; 0 a x b y c3  3  3 thì x y là nghiệm 0; 0của hệ

Nếu x y không là nghiệm của phương trình còn lại 0; 0 a x b y c3  3  3 thì hệ đã cho vô nghiệm

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bước 1 Lập hệ phương trình :

 Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết;

 Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2 Giải hệ phương trình.

Bước 3 Trả lời :

 Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của

ẩn số, nghiệm nào không

 Dựa vào đó để kết luận

BÀI TOÁN VỀ TỶ SỐ

Ví dụ 1 : Tủ A có hai ngăn sách, số sách ngăn trên bằng 1

5 số sách ngăn dưới Nếu thêm 25 cuốn vào ngăn trên, bớt 15 cuốn ở ngăn dưới thì số sách ngăn trên bằng 2

3 số sách ngăn dưới Tính số sách ở mỗi ngăn lúc ban đầu

Bài giải

Gọi số sách ngăn trên là x , (cuốn), điều kiện x N

Gọi số sách ngăn dưới là y , (cuốn), điều kiện y N

Theo bài ra ta có hệ phương trình

Trả lời : lúc ban đầu ngăn trên có 15 cuốn sách, ngăn dưới có 75 cuốn sách.

Ví dụ 2 : Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 156, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được

x y

Trả lời : hai số phải tìm là 135 và 21

Ví dụ 3 : Hai anh A và B góp vốn cùng kinh doanh Anh A góp 15 triệu đồng, anh B góp 13

triệu đồng Sau một thời gian được lãi 7 triệu đồng Lãi được chia theo tỷ lệ vốn đã góp Em hãy dùng cách giải lập hệ phương trình để tính tiền lãi mà mỗi anh được hưởng

Bài giải

Gọi số lãi mà anh A, anh B được hưởng lần lượt là : ,x y ; điều kiện x y0

Theo bài ra ta có hệ phương trình :

Vậy anh A được hưởng 3,75 triệu đồng, anh B được hưởng 3,25 triệu đồng tiền lãi.

Ví dụ 4 : Sáng nay bạn Lan và bạn Anh cùng đi siêu thị mua hàng Bạn Lan mua 5 quả trứng

gà và 5 quả trứng vịt hết 10000 đ Bạn Anh mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt hết 9600

đ Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu ?

Bài giải

Gọi giá mỗi quả trứng gà, vịt lần lượt là : ;x y , (đ); điều kiện x0,y0

Theo bài ra ta có hệ phương trình : 5 5 10000

x y

Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng các chữ số bằng 8, nếu đổi vị trí hai chữ số

cho nhau thì số tự nhiên đó giảm đi 36 đơn vị

Bài giải

Gọi chữ số hàng chục là x , điều kiện 0 x9;

chữ số hàng đơn vị là y , điều kiện 0 y 9

Theo bài ra ta có hệ phương trình

x y

Ví dụ 2 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là

2 và nếu viết xen chữ số 0 vào giữa hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số tự nhiên đó tăng thêm 630 đơn vị

Bài giải

Gọi chữ số hàng chục là x , điều kiện *

x N  x ;

chữ số hàng đơn vị là y , điều kiện y N *,0 y7

Theo bài ra ta có hệ phương trình

x y

Cách 1 : Gọi hai số phải tìm là x , y

x y

Cách 2 : Gọi x là một trong hai số phải tìm, thế thì số thứ 2 phải tìm sẽ là : 59 x

Theo bài ra ta có phương trình : 2x3 59  x 7

Giải phương trình 2x3 59  x  7 5x 3.59 7 x 34

Vậy hai số cần tìm là : 34, 25

Cách 2 gọn hơn cách 1 nhưng lập phương trình khó hơn !

Ví dụ 4 : Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới lớn

hơn số đã cho là 54 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 88 Tìm số đã cho ?

Bài giải

Gọi số đã cho gồm hai chữ số là : ab10a b , điều kiện a b N a b,  *; , 9

Khi hoán vị hai chữ số ta có số mới là : ba10b a

a b

Vậy hai số phải tìm là 17, 71

Bài tập : Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới lớn

hơn số đã cho là 45 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 Tìm số đã cho ?

BÀI TOÁN VỀ TÍNH PHẦN TRĂM

Ví dụ 1 : Hai xí nghiệp phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Xí nghiệp I đã vượt mức kế hoạch

12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 10%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm tổng cộng 400 dụng cụ Tính số dụng cụ mà mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch

Trả lời : Số dụng cụ làm theo kế hoạch của xí nghiệp I là 200, II là 160

BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG

Ví dụ 1 : Một canô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định Nếu canô tăng vận tốc

thêm 3km/h thì thời gian rút ngắn được 2 giờ Nếu canô giảm vận tốc đi 3km/h thì thời gian

đi tăng thêm 3 giờ Tính vận tốc và thời gian dự định

Bài giải

Gọi vận tốc dự định của canô x , (km/h); điều kiện x  ;0

Thời gian dự định đi là y , (giờ); điều kiện y  0

Theo bài ra ta có hệ phương trình    

x y

Trả lời : Dự định vận tốc 15 km/h và thời gian đi 12 giờ

Ví dụ 2 : Từ bến xe Sài gòn đến bến xe Dầu giây cánh nhau 65 km Xe khách ở bến xe Sài

gòn, xe hàng ở bến xe Dầu giây đi ngược chiều nhau và xe khách khởi hành sau xe hàng 36 phút, sau khi xe khách khởi hành 24 phút nó gặp xe hàng Nếu hai xe khởi hành đồng thời vàcùng đi Hà nội thì sau 13 giờ hai xe gặp nhau Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng xe khách đi nhanh hơn xe hàng

Bài giải

Gọi vận tốc xe khách là : x , (km/h), điều kiện x  0

Gọi vận tốc xe hàng là : y , (km/h), điều kiện y  Mà 24 phút bằng 0 2

5 giờ.