đề tài phương pháp giải các bài toán cực trị

PhầnI :Một số vấn đề chungTrong chơng trình toán học ở bậc trung học cơ sở các bài toán cực trị giữ vai trò vô cùng quan trọng, nó rèn cho học sinh có kỹ năng phân tích tổng hợp, t duy s

PhầnI :Một số vấn đề chung

Trong chơng trình toán học ở bậc trung học cơ sở các bài toán cực trị giữ vai trò vô cùng quan trọng, nó rèn cho học sinh có kỹ năng phân tích tổng hợp, t duy sáng tạo, tính độc lập suy nghĩ, nó có tác dụng tốt trong việc phát triển năng lực t duy và sự linh hoạt trong giải toán

b/ Cơ sở thực tiễn:

Là một giáo viên giảng dậy môn toán lớp 9 , trong quá trình giảng dạy và ôn tập chohọc sinh lớp 9 chuẩn bị thi hết bậc học THCS , thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và bồidỡng học sinh giỏi trong nhiều năm qua tôi nhận thấy: “Các bài toán tìm cực trị “ th-ờng gặp nhiều, đặc biệt trong các kỳ thi vào lớp 10 THPT và thi học sinh giỏi, nhng nólại là một phần kến thức khó đối với học sinh, đa số học sinh thờng bỏ qua hoặc chỉ cómột số học sinh khá giỏi giành thời gian để suy nghĩ song kết quả không cao Các emrất lúng túng khi gặp dạng toán này vì cha có phơng pháp giải trong khi đó vấn đềnày ở SGK toán THCS lại đề cập rất ít, không đi sâu Các tài liệu tham khảo khôngnhiều mà chỉ chung chung không có phơng pháp cụ thể Để giúp các em vợt qua trở ngại này trong nhiều năm qua tôi đã cố gắng đúc rútkinh nghiệm và đi sâu nghiên cứu đề tài : “ Phơng pháp giải các bài toán tìm cực trị” Để phân dạng và tìm ra phơng pháp giải cho từng dạng bài toán tìm cực trị Nhằmtrang bị cho các em học sinh một số phơng pháp và kỹ năng cơ bản khi giải các bàitoán tìm cực trị

2)Mục đích nghiên cứu :

a/ Đối với giáo viên

1/Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết, các phơng pháp giải các bài toán cực trị đại số

và hình học

2/Xây dựng đợc hệ thống các bài tập theo chuyên đề riêng phù hợp với từng đối ợng học sinh, có phơng pháp giải của từng dạng

t-3/Tích cực tìm tòi, sử dụng cách giải ngắn ,chính xác

4/ Khắc phục sai lầm của học sinh trong quá trình làm toán

b/ Đối với học sinh

1/Hiểu đợc các dạng toán cực trị đại số và hình học

2/Nắm đợc phơng pháp giải toán.Vận dụng tốt các phơng pháp giải toán để làmbài tập

3/Phát huy khả năng độc lập suy nghĩ và t duy sáng tạo trong việc giải toán.3) Đối t ợng và phạm vi nghiên cứu:

a/ Đối tợng: Học sinh lớp 8 , 9

b/ Phạm vi : Các bài toán tìm cực trị

4) Ph ơng pháp nghiên cứu:

a/ Nghiên cứu lý luận:

- Đọc tài liệu sách tham khảo có liên quan đến đề tài

- Tìm hiểu các dạng toán về cực trị

- Đa ra các cách giải quyết bài toán sao cho ngắn gọn và dể hiểu nhất

- Đa ra các cơ sở lý luận cho mỗi dạng bài trong dạng toán này

b/ Nghiên cứu thực tế:

- Khảo sát kỹ năng giải bài toán về cực trị ở các lớp giảng dạy, và ở các lớp đạidiện cho các khối

- Dự giờ trao đổi ý kiến với giáo viên, đặc biệt là các giáo viên tham gia bồi ỡng học sinh giỏi.

d Thực hành tổ chức, kết hợp thực hiện theo các cách dạy khác nhau để so sánh

đa ra cách giải quyết vấn đề tối u nhất

- Phân tích tổng hợp, rút kinh nghiệm về đổi mới nội dung và phơng phápgiảng dạy dạng toán "Cực trị "

Phần II: Nội dung

A/ cơ sở lý thuyết

I/ Nguyên tắc chung về cực trị:

a) Cho biểu thức A Ta chứng minh đợc A≥ α(αlà hằng số)và phơng trình A=α cho ta

ít nhất một giá trị (hay một bộ giá trị) của biến có mặt trong A làm nghiệm thì ta kếtluận MinA=α

Ngợc lại ta chứng minh đợc A≤ β(β là hằng số) và phơng trình A=βcho ta ít

nhất một giá trị (hay một bộ giá trị) của biến có mặt trong A làm nghiệm thì ta kếtluận MaxA=β

b) Bài toán cực trị hình học là bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một

đại lợng hình học biến thiên m ; (m có thể là độ dài đoạn thẳng, độ lớn của chu vi,diện tích,độ lớn của góc .)

Yêu cầu tìm đợc các giá trị m1,m2 cố định thoả mãn : m1 ≤ ≤m m2đồng thời chỉ

rõ các vị trí hình học của đại lợng biến thiên đang xét để tại đó m đạt giá trị nhỏ nhấtm1 hoặc giá trị lớn nhất m2 Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm một trong hai giá trị m1hoặc m2

II/ Một số kiến thức th ờng dùng

1/ các tính chất của bất đẳng thức:

1.5) Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngợc chiều:

a) a2 ≥ 0 ; -a2 ≤ 0 Dấu “=” xảy ra khi a = 0

b) Bất đẳng thức côsi và hệ quả:

Cho n số không âm a1,a2, ,an Ta có: a1+a2+ +an ≥ n n

Dấu “=” xảy ra khi

d/Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:

a ≥ 0 Dấu “=” xảy ra khi a = 0

a + b ≥ a+b Dấu “=” xảy ra khi ab ≥ 0

a − b ≤ a−b Dấu “=” xảy ra khi ab ≥ 0 ; a ≥ b

3/Bất đẳng thức trong hình học :

a) Nếu tam giác ABC có góc A = 90o thì AC≤ BC ( Dấu “ = ’’ xảy ra khi tam giác ABC suy biến thành đoạn thẳng hay A≡B )

b) Với tam giác ABC tuỳ ý ta luôn có:

AB + BC ≥AC Dấu “ = ” khi tam giác ABC suy biến( B nằm giữa A và C )

c)Quan hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác

Cho tam giác ABC , nếu góc A ≥ góc B ⇔ BC ≥ AC

d)Trong đờng tròn đờng kính là dây cung lớn nhất

Trong đờng tròn dây cung nào gần tâm hơn là dây cung lớn hơn và ngợc lại

Với hai cung nhỏ trong một đờng tròn, cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngợc lại

III/ Một số ph ơng pháp th ờng áp dụng:

2 2- ∆a ;(∆ =b2 − 4 ãac)

Vì  + 

a

b x

2 2 ≥0 với mọi x nên :

+Nếu a > 0 thì P(x)đạt GTNN bằng - ∆a khi x=−2a b

+nếu a < 0thì P(x)đạt GTLN bằng -4∆a khi x=−2a b

2/ Dùng những đánh giá cơ bản:

Bình phơng một số (hay một biểu thức) luôn không âm

Vậy A2+α α ≥ dấu “=” khi A=0

-A2+β ≤ β dấu “=” khi A=0

3/ Dùng điều kiện có nghiệm của một ph ơng trình bậc hai.

Mô hình tổng quát:

Xét A=P(x) (1) Tìm Min A ; Max A.

Hàm P(x) có tập xác định khác φ ta biến đổi (1) về dạng: α( )A x2+β( )A x+γ( )A =0 (2)

ở đây A tham gia với t cách nh một tham số Vì tập xác định của P(x) khác rỗng nên pt(2) cần có nghiệm

Từ đó ∆(A) = β2(A) - 4α(A)γ (A) ≥ 0

Từ bất đẳng thức trên ta rút ra miền bị chặn đối với A từ đó tìm đợc Max A và Min A

4/ Dùngph ơng pháp hình học:

Để tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức y= P(x) ta có thể dùng đồ thị y= P(x)trong hệ toạ độ đề các vuông góc xOy từ dáng điệu đờng cong ta có thể xác định đợcgiá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của y

5/ Dự a vào các bất đẳng thức để đánh giá:

Dấu “=” xảy ra khi x +32= 0 ⇔ x=−32 Vậy Max A = 13 khi x=−32

Ví dụ 2 : Cho B = (x - 2)2 +(x- 4)2 Tìm GTNN của B

Dấu “=” xảy ra khi x-3 = 0 ⇔ x=3 Vậy Min B = 2 khi x=3.

2) Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối :

Ví dụ 1 : Tìm GTNN của biểu thức sau : A = x−2 + x−3

Giải:

*Cách 1 : Ta có A = x−2 + 3−x ≥ x−2+3−x =1

Vì X +Y ≥ X +Y Dấu “=” xảy ra khi (x-2)(3-x) ≥ 0

(x-2)(x-3)≤ 0 ⇔2 ≤x≤ 3 Vậy Min A = 1 khi 2 ≤ x≤ 3

y = 2 x+21 + x+2 = x+12 +(x+12 + x+2)

Ta có x+21 + x+2 = x+2 + −x−21 ≥ x+2−x−12 = 23

Dấu “=” xảy ra khi -2 ≤ x ≤ −21

x+12 ≥0 Dấu “=” xảy ra khi x =- 21 , vậy Min y = 23 khi x =- 21

Ví dụ 3 : Tìm GTNN của biểu thức sau: A = x+2 + x+1+ x−2 + x−3

Giải :

áp dụng bất đẳng thức A + B ≥ A+B ta có :

5 3 2

3 2

3

2 +x + x− = −x− + x− ≥ −x− +x− = (1) Dấu “=” xảy ra khi -2 ≤ x ≤ 3

3 2 1

2 1

2

1 + − = + + − + ≥ + − + =

Từ (1) và (2) suy ra A ≤ 8 Dấu “=” xảy ra khi -1 ≤ x ≤ 2

Vậy Min A = 8 khi -1 ≤ x ≤ 2

Ví dụ 4 : Tìm GTNN của biểu thức sau: A = (3x - 1)2 - 43x−1+5

Giải :

Đặt 3x−1 = t ≥ 0 ta có : A = t2 - 4t + 5 = (t - 2)2 + 1 ≥ 1

Dấu “=” xảy ra khi t = 2 hay 3x−1 =2 hay x = 1 hoặc x = -13

Vậy Min A = 1 khi x = 1 hoặc x = -31

A = x2 - 2x + y2 + 4y + 5

Gi¶i :

Ta cã A = (x - 1)2 +(y+2)2 ≥ 0 DÊu “=” x¶y ra khi x =1 ; y= -2

VËy Min A = 0 khi x =1 ; y= -2

VÝ dô 2: T×m GTNN cña biÓu thøc sau:

B = 2x2+y2 - 2xy - 2x +3

Gi¶i :

Ta cã B = (x2-2x+1)+(x2-2xy+y2)+2 = (x-1)2+(x-y)2 +2 ≥ 2

DÊu “=” x¶y ra khi x = y= 1

VËy Min B = 2 khi x = y= 1

VÝ dô 3: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: C= x(x-3)(x-4)(x-7)

Gi¶i :

Ta cã C = (x2-7x)(x2-7x+12) = [(x2-7x +6)-6] [(x2-7x +6) +6]

= (x2-7x +6)2- 36 ≥ − 36

DÊu “=” x¶y ra khi x2-7x +6 = 0 ⇔ x = 1 hoÆc x = 6

VËy Min C = -36 khi x = 1 hoÆc x = 6

VÝ dô 4: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: A = x2+xy+y2-3x-3y

Gi¶i :

Ta cã 4A = 4 x2+4xy+4y2-12x-12y

= (2x + y -3)2+3(y-1)2-12 ≥ − 12

suy ra A≥ − 3 DÊu “=” x¶y ra khi x = y =1 VËy Min A = -3 khi x=y=1

VÝ dô 5: T×m GTNN cña biÓu thøc sau: B = m2- 4mn + 5n2 + 10 m - 22 n + 28

Gi¶i :

Ta cã B = [m2- 2m (2n-5) + (2n - 5)2] +(n2 - 2n + 1) + 2= (m - 2n + 5)2+(n-1)2+2 ≥ 2

Dấu “=” xảy ra khi m =-3 ; n = 1 Vậy Min B = 2 khi m=-3 ; n = 1

Ví dụ 6: Tìm GTNN của biểu thức sau: D = 4x2 + 2y2 - 4xy - 20x - 4y + 174

Giải :

Ta có D = [(2x)2- 2.2x(y + 5) + (y+5)2] + (y2 -14y + 49) + 100

= (2x - y - 5)2 + (y-7)2 + 100 ≥ 100Dấu “=” xảy ra khi x= 6 ; y = 7

Vậy Min D = 100 khi x= 6 ; y = 7

4) Các bài toán dựa vào điều kiện có nghiệm của ph ơng trùnh bậc hai :

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: A=

2

3 2

2

2

+

+ +

x

x x

Giải : Viết biểu thức đã cho về dạng: (A-1)x2-2x+(2A-3)=0 (1)

Với A≠ 1 thì pt (1) trở thành pt bậc hai của x; pt(1) có nghiệm khi ∆ / ≥ 0 hay

≤ A ; A=2 khi x=1 và A=21khi x=-2

Vậy max A = 2 ; min A = 21 (Chú ý max A≠ 1và min A≠ 1 thoả mãn điều kiện )

Ví dụ2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y= 2 + 1+1

+

x x x

Giải:

Viết hệ thức về dạng : yx2+(y-1)x+(y-1) = 0 (1)

Khi y≠ 0phơng trình (1) là phơng trình bậc hai của x.

Pt(1) có nghiệm khi ∆ ≥ 0

hay (y- 1)2- 4y(y- 1) ≥ 0 ⇔ 4y(y− 1 ) − (y− 1 ) 2 ≤ 0

) 1 )(

y xy x

y xy x

+ +

+

−

Giải:

Viết hệ thức về dạng (A-1) x2+y(A+1)x+y2(A-1) = 0 (1)

Khi A≠ 1 thì pt(1) là phơng trình bậc hai của x, pt (1) có nghiệm khi :

0 ) 1 ( 4 ) 1

1 3

(

Ta có A=3 khi x=-y và A=31 khi x=y Vậy MaxA = 3 và MinA = 31

Ví dụ 4: Tìm cặp số (x;y) thoả mãn phơng trình:

x2y + 2xy- 4x + y= 0 (1)

sao cho y đạt giá trị lớn nhất

Giải :

Viết phơng trình về dạng : yx 2+ 2(y-2)x + y = 0 (2)

Khi y≠ 0 phơng trình (2) là phơng trình bậc hai của x

Pt (2) có nghiệm khi ∆ / ≥ 0 hay (y-2)2- y2 ≥ 0 ⇔ 4 − 4y≥ 0 ⇔ y≤ 1 dấu “ =” xảy ra khi

x = 1 Vậy max y = 1 khi (x; y) = (1; 1)

Một số bài tập cùng dạng

a)Tìm giá trị lớn nhất của y đối với nó tồn tại x thoả mãn :

2x2 +5y2 +2xy -x - 2y - 3 = 0

b) Xác định tất cả các giá trị của a sao cho nghiệm của phơng trình sau là lớn nhất, nhỏ nhất : x4+ 2x2 +2ax + a2 + 2a +1 = 0

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = (x+ 1992 ) 2

x

5) Các bài toán cực trị dựa vào bất đẳng thức Côsi

Ví dụ 1: Cho x; y thay đổi sao cho 0≤x≤3;0≤ y≤4

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A=(3 - x)(4 - y)(2x + 3y)

Giải :

Do 0 ≤ x≤ 3; 0≤ y≤4⇒ 3 −x≥ 0; 4- y ≥ 0; 2x+3y ≥ 0

Ta có : 6A = (6 - 2x)(12- 3y)(2x+3y) là tích của 3 số không âm nên

6 - 2x +12 - 3y +2x+3y =18 không đổi 6A lớn nhất khi 3 số :

6 - 2x ; 12- 3y ; 2x + 3y bằng nhau, khi 6 - 2x =12-3y = 2x+3y =183 =6 hay x= 0 ; y=2 khi đó 6A= 6.6.6 = 36.6 suy ra A=36 Vậy Max A = 36 khi x= 0 ; y = 2

Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1 Tìm GTNN của: P=b a+c+a b+c+a c+b

2 2

2

Giải :

áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

4 2

4

2 2

c b c b a c

b

≥ + +

2 hay P ≥ a+2b+c = 21 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =31

Vậy Min P =12 khi a = b = c =31

Ví dụ 3: Cho a, b, c là 3 số dơng, tìm giá trị nho nhất của : P =(a + b + c)(a1+b1+c1)

abc (2) Nhân theo vế (1), (2) ta có P ≥ 9 dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Vậy Min P = 9 khi a = b = c

Một số bài tập cùng dạng

a) Cho 3 số dơng thoả mãn: a + b + c = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S =ab1+1+ac1+1+bc1+1

b) Cho x là số dơng thoả mãn: 0 < x < 1 Tìm giá trị lớn nhất của : x(1- x)

c) Cho x > y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = ( )( 1 ) 2

4 ) 1 )(

(

+

−

+ +

−

y y x

y y x x

6) Các bài toán cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

Ví dụ 1: Cho các số x, y , z thoả mãn các điều kiện: x2 + y2 = 1

z2 + t2 = 1Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: M =xz +yt

Ví dụ 2: Cho các số x, y thoả mãn điều kiện: 2x2 +3y2 ≤ 5

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức: M = 2x + 3y

Giải :

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho : a1 = 2x ; b1 = 2; a2 = 3y ; b2 = 3

Ta có : ( a1b1 + a2b2 )2 ≤ ( a1 + a2 )( b1 +b2 ) hay ( 2x +3y )2 ≤ ( 2x2 +3y2)( 2 + 3 )Theo giả thiết 2x2 +3y2 ≤ 5 nên ( 2x + 3y )2 = M2 ≤ 25

Vậy -5≤M ≤ 5 suy ra Min M = - 5 khi x = y = -1 Max M = 5 khi x = y = 1

Ví dụ 3 : Cho a, b ,c thoả mãn a + b + c = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của : M = 4a+ 1 + 4b+ 1 + 4c+ 1

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của M

c) Cho 3x + 5y = 7 Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2

7) Cực trị có điều kiện:

Ví dụ 1 : Cho a , b, x, y là các số dơng; x , y thay đổi sao cho a x +b y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y

Giải :

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho a1 =

x a

; a2 = b y ; b1= x ; b2 = y

VËy Min P = x + y = ( a + b)2 Khi x = a + ab ; y = b + ab

VÝ dô 2: Cho x , y , z > 0 tho¶ m·n x + y + z = 1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: P = 1+x x.1+y y.1+z z

⇒ x + y ≥ 4.(x + y )2 z = 4(x2 + y2).z + 8xyz ≥16xyz ( v× x2 + y2 ≥ 2xy )

⇒ x xyz+ y ≥ 16 DÊu “ = ” khi x = y =

Theo bất đẳng thức Côsi cho 10 số dơng ta có:

a2 + b2 + c2 + d 2 +ab + ac + ad + bc + bd + cd ≥ 10 10 (abcd)5 = 10

Từ đó nếu đặt M = a2 +b2 +c2 +d2 +ab +ac +ad +bc +bd +cd

Thì Min M = 10 khi a = b = c = d = 1

Một số bài tập cùng dạng

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = 6x + 4y biết x , y > 0 và x + y = 10

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = 3x +3y biết x + y = 2

c) Cho x > y và xy = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x x−+y y

2 2

d) Cho x +2y = 1 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 +2y2

Dạng 2: Cực trị hình học

1)Dạng cực trị về tìm diện tích

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC M là điểm thay đổi trên BC Qua M kẻ ME song song

với AB , MF song song với AC.Tìm vị trí của M để diện tích AEMF đạt giá trị lớn nhất Giải:

Nên ta có AF AB.AC AE ≤

4 1

Dấu “ =” xảy ra khi AF AB = AC AE = 21

Hay khi M là trung điểm của BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SAEMF ≤ 21SABC Dấu “ =” xảy ra khi M là trung điểm của BC

Vậy Max SAEMF = 12SABC khi M là trung điểm của BC

Ví dụ 2:

17

F

E A

F B

M

Cho tam giác ABC ( góc A = 90o )

M là một điểm di động trên cạnh huyền BC

Hạ ME⊥AC , MF⊥AB

Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn nhất

Giải :

Dễ thấy ME // AB ; MF // AC Bài toán là trờng hợp riêng của bài toán 1

Suy ra diện tích tứ giác AEMF đạt giá trị lớn nhất khi M là trung điểm của BC

Vậy MaxSAEMF = 21SABC

Ví dụ 3:

Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho

M ∈ AB ; N∈AC ; P, Q ∈BC Tìm vị trí của M để SMNPQ đạt giá trị lớn nhất

Giải :

Kẻ đờng cao AH của tam giác ABC , AH cắt MN ở K

Theo bài toán 2 ta có : SMQHK S ABH

2

1

Dấu “ = ” khi MA = MB

SNPHK ≤ 12SAHC (2) Dấu “ = ” khi NA = NC

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có : SMNPQ ≤ 12SABC

Dấu “ = ” khi M là trung điểmcủa AB ( Khi đó N là trung điểm của AC )

Vậy Max SMNPQ = 12SABC

Ví dụ 4: Cho điểm M thay đổi ở miền trong của góc xOy Qua M hãy dựng một cát

tuyến cắt Ox ở A và Oy ở B, sao cho SAOB đạt giá trị nhỏ nhất

Giải : Qua M kẻ ME // Oy ; MF // Ox, Ta có SMEOF cố định

Theo kết quả bài toán 1 ta có:

M

E

x A

M

SAOB ≥ 2SMEOF Dấu “ = ” khi MA = MB

Vậy SAOB đạt giá trị nhỏ nhất khi cát tuyến AB

b) Cho tứ giác ABCD, trên AB, BC, CD, DA lần lợt lấy các điểm K, L, M, N sao cho:

x DA

DN CD

CM

BC

BL

AB

AK = = = = Tìm x để diện tích tứ giác BKMN là nhỏ nhất.

2)Dạng bài toán tìm cực trị là đo độ dài đoạn thẳng hoặc tổng độ dài các

đoạn thẳng.

Ví dụ 1 : Cho hai điểm A, B nằm về cùng một phía của đờng thẳng d Tìm trên d một

điểm C sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất

Giải : Đặt chu vi tam giác ABC là p, p = AC + BC + AB

Do AB cố định nên p đạt giá trị nhỏ nhất

khi BC + AC đạt giá trị nhỏ nhất.Gọi A/ là điểm đối xứng

với A qua d, A/B cắt d ở C Điểm C là điểm cần tìm

Thật vậy lấy C/ ∈d , C/ ≠C Ta có AC/ +BC/ = BC/ +A/C/ > AC + BC = A/B (đpcm)

Ví dụ 2 :Cho điểm A bên trong góc nhọn xOy cho trớc Dựng tam giác ABC có chu vi

nhỏ nhất sao cho 2 đỉnh B và C nằm trên hai cạnh của góc xOy

Giải:

Gọi A1 , A2 lần lợt là các điểm đối xứng của A

19

C A'