Dao ham va phuong trinh Cauchy-Riemann Nhu trong giai tich thuc, mot ham phuc "tron" w = fz c6 thể có đạo hàm tại một điêm nào đó trong miền xác định @.. Thực tê định nghĩa đạo hàm piz
Trang 1Dao ham va phuong trinh
Cauchy-Riemann
Nhu trong giai tich thuc, mot ham phuc "tron" w = f(z) c6 thể có đạo hàm tại một điêm nào đó trong miền xác định @ Thực tê định nghĩa đạo hàm
pi(z) = 4 = tig LE +) — Fe)
h-O
tương tự trong trường hợp thực, với một điểm khác biệt quan
trọng: Trong giải tích thực, giới hạn chỉ có thể có băng việc di
chuyền trên đường thăng thực một chiêu Trong giải tích phức, giới hạn có được băng cách di chuyển theo hướng bất kì trên
mặt phăng phức hai chiêu
Nếu 2101 han nay tôn tại với mọi diém z trong Q, khi do f(z)
duoc goi 1a kha vi trén Q C6 thé chimg minh rang mọi ham kha
vi f(z) déu 1a ham giai tich Day 1a két qua mạnh hơn trường hop hàm thực Trong giải tích thực, ta có thể xây dung ham f(x) có đạo hàm bậc nhất tại mọi nơi nhưng đạo hàm bậc hai không tôn tại tại một hay nhiều điểm trên tập xác định của hàm Tuy nhiên trên mặt phăng phức, nếu một hàm ƒtz) khả vi trong một lân cận thì nó sẽ khả vi vô hạn trong lân cận đó
Băng cách áp dụng phương pháp của giải tích véc to dé tính đạo
ham riéng cua hai ham vec to u(x, y) va v(x, y) vao cho ham f(z),
và xem xét hai duong dén z trong Q, c6 thé chi ra rang dao ham tôn tại nêu và chỉ nêu
Trang 2H2) = Ot, ;OU Ov _ Ot
7! Oa Oe Oy Oy"
Đông nhất phân thực và phân ảo của biểu thức ta có phương
trinh Cauchy-Riemann:
Vi phan hé hai phuong trinh dao ham riéng nay, dau tién theo x, sau d6 theo y ta dé dang chi ra rang
Pu Oru Oy 8ˆt 0
9u” hoặc dưới dạng kí hiệu khác,
Use + Uyy = Urz + Vyy = U.-
Nói cách khác, phân thực và phần ảo của một hàm phức khả vi
là các hàm điêu hòa vì chúng thỏa mãn phương trình Laplace