[SKKN] ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và hệ phương trình

Mục lục

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 3

1.3 Đối tượng nghiên cứu 3

1.4 Phương pháp nghiên cứu 4

2 NỘI DUNG 5 2.1 Cơ sở lí thuyết 5

2.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình 6

2.3 Ứng dụng đạo hàm biện luận phương trình 22

2.4 Ứng dụng đạo hàm để giải hệ phương trình 33

2.5 Ứng dụng đạo hàm biện luận hệ phương trình 43

3 KẾT LUẬN 47 3.1 Hiệu quả của đề tài 47

3.2 Bài học rút ra sau khi thực hiện đề tài 48

3.3 Kết luận 49

MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học, nó giữ

vị trí trung tâm của môn toán ở trường phổ thông, toàn bộ việc giảng dạy toán ởnhà trường phổ thông đều xoay quanh khái niệm này (Trích "Phương pháp giảngdạy Toán" - Nguyễn Bá Kim)

Tư duy hàm, một loại hình tư duy đang được phát triển mạnh mẽ trong hoạtđộng giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán Ngày naytrong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã, đang đượcthể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các kháiniệm khác Khái niệm đạo hàm có liên quan mật thiết để nghiên cứu tính chất,

sự biến thiên của hàm số

Trong các kì thi tốt nghiệp, kì thi tuyển sinh đại học, kì thi chọn học sinhgiỏi ngoài các bài tập liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có nhữngbài tập mà học sinh thường phải vận dụng đạo hàm như là một công cụ đắc lực

để giải toán như: Giải phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏnhất, chứng minh bất đẳng thức Các bài toán về phương trình và hệ phươngtrình luôn xuất hiện trong đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi Một lượng lớn cácbài toán này không thể giải được bằng phương pháp thông thường hoặc có thể

giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn Đó cũng là những bài toán khó của đềthi Tuy nhiên, nếu ta biết vận dụng đạo hàm để giải các bài tập đó thì bài toán

sẽ đơn giản hơn và ngắn gọn hơn rất nhiều

Để nâng cao kĩ năng giải toán và góp phần phát triển tư duy hàm cho họcsinh, đồng thời bản thân có hệ thống tài liệu trong giảng dạy và bồi dưỡng họcsinh, tôi đã chọn đề tài:

"Ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình và hệ phương trình"

Tôi hy vọng chuyên đề này có thể làm tài liệu hữu ích cho các thầy cô giảng dạymôn toán và các em học sinh Song vì năng lực và thời gian nghiên cứu còn hạnchế vì vậy không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhân được sự đóng góp

ý kiến của các quí thầy cô và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ýnghĩa thiết thực hơn trong nhà trường Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượnggiáo dục phổ thông

Tôi xin chân thành cảm ơn

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán về phương trình và hệ phương trình thường gặp trong các kì thituyển sinh đại học, kì thi chọn học sinh giỏi

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích tổng hợp từ các sách báo, tài liệuliên quan, internet

- Phương pháp quan sát: Hướng dẫn học sinh vận dụng đạo hàm để giải, biệnluận phương trình và hệ phương trình để rút ra kết luận

Chương 2

NỘI DUNG

Trong các kì thi đại học và cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi học sinh giỏiquốc gia thường xuất hiện các bài toán về giải phương trình và hệ phương trình.Trong nhiều bài nếu sử dụng những phương pháp thông thường sẽ gặp nhiều khókhăn hoặc không giải quyết được Ứng dụng đạo hàm tuy không phải là phươngpháp "vạn năng" nhưng nó có thể giải quyết một bài toán về phương trình mộtcách rất gọn gàng, sáng sủa Khi vận dụng thành thạo phương pháp này, chúng

ta có thể nhận thấy vẻ đẹp của toán học qua từng bài toán cụ thể Trước khi đitìm hiểu những dạng toán cụ thể ta cần nắm được cơ sở lí thuyết sau:

2.1 Cơ sở lí thuyết

1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng D Nếu f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ D(hoặc f0(x) ≤ 0, ∀x ∈ D) và f0(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của Dthì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D

2 Nếu y =f(x) đồng biến trên [a;b] thì min

5 Nếu hàm số y = f(x) đơn điệu trên D thì phương trình f(x) = k (k -hằngsố) nếu có nghiệm x =x0 thì nghiệm đó là duy nhất.

6 Nếu hàm số y =f(x) đồng biến trên D và y = g(x) nghịch biến trên D thìphương trình f(x) =g(x) nếu có nghiệm x= x0 thì nghiệm đó là duy nhất

7 Nếu hàm số y =f(x) đơn điệu trên D, u(x), v(x) là các hàm số nhận giá trịthuộc D thì ta có: f [u(x)] = f[v(x)] ⇔ u(x) =v(x)

8 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] thỏa mãn f(a).f(b) < 0 thì phươngtrình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (a;b)

9 Cho hàm số y =f(x)liên tục trên D Phương trình f(x) =m có nghiệm khi

và chỉ khi min

x∈Df(x)≤ m ≤max

x∈D f(x)

2.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình

Nhận xét: Dựa vào kết quả: “ Nếu y =f(t) là hàm đơn điệu thì f (x) =f(t)⇔

x=t” ta có thể xây dựng được những phương trình Xuất phát từ hàm đơn điệu:

y =f(x) = 2x3 +x2 + 1 với ∀x ≥0 ta xây dựng phương trình:

Cộng hai phương trình ta được:

2(x+ 1)3+ (x+ 1)2 = 2y3+y2

Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán theo dạng trên?

Dạng 1: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(x) =g(x) (hoặc

f(x) =k) trong đó k là hằng số

Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) =g(x) (hoặc f(x) =k)Bước 2: Xét hai hàm số y =f(x);y =g(x) trên D

? Tính f0(x), xét dấu f0(x), kết luận tính đơn điệu của hàm số y =f(x) trên D

? Tính g0(x), xét dấu g0(x), kết luận tính đơn điệu của hàm số y =g(x) trên D

? Kết luận hai hàm số y = f(x);y = g(x) đơn điệu ngược nhau, hoặc một tronghai hàm số là hàm số hằng

Mặt khác ta có f(3) = 6 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3

Bình luận : Nhiều phương trình được giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ thích hợp, từ

đó vận dụng hàm số để giải

Ví dụ 2 Giải phương trình: 8 log2(x2− x+ 5) = 3(x2− x+ 5)

t =

3

8 (*)Xét hàm số: f(t) = log2t

t trên (e; +∞)

Ta có f0(t) = 1−lnt

t2 ln 2 <0, ∀t > e

Từ đó, f(t) là hàm nghịch biến trên (e; +∞); vế phải là hằng số

Do đó phương trình (*) nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

Ví dụ 4 (Trích đề thi thử đại học năm 2013 - ĐHSP Hà Nội)

Giải phương trình: (x+ 2)(√

x2 + 4x+ 7 + 1) +x(√

x2 + 3 + 1) = 0

Do đó hàm số f(x) đồng biến trên R, f(−1) = 0 nên x =−1 là nghiệm.

Bình luận: Trên đây là cách trình bày dựa vào việc chứng minh hàm số f(x) ở

vế trái của phương trình là hàm số đơn điệu Điều đó dẫn đến việc tính f0(x) vàchứng minh f0(x)> 0, ∀x ∈ R là điều rất tự nhiên Tuy nhiên ta có thể giải bàitoán này bằng cách khác được trình bày ở dạng 2 dưới đây

Ví dụ 5 Giải phương trình: xlog29 =x2 3log2 x− xlog23

Do 3log2 x >0 nên phương trình tương đương

3log2 x− x2+ 1 = 0 ⇔3log2 x−2log2 x2

log2x

+



1 4

t

+



1 4

Các ví dụ trên được giải bằng việc sử dụng tính chất sau của hàm số:

Nếu f(x) đơn điệu trên D, thì phương trình f(x) =k (k -hằng số) có nhiều nhấtmột nghiệm

có những kết luận nghiệm chưa chính xác Sai lầm thường gặp của học sinh:

Phương trình trên tương đương 3x = 2x+ 1

2x −1

Ta có f(x) = 3x đồng biến, g(x) = 2x+ 1

2x −1, g0(x) =− 4

(2x −1)2 <0 nên g(x) nghịchbiến

Do f(1) =g(1) nên x = 1 là nghiệm duy nhất

* Khi hướng dẫn học sinh sử dụng các tính chất của hàm số người thầy cầnnhấn mạnh cho học sinh thấy rõ: Nếu f(x) đồng biến trên D, g(x) nghịch biếntrên D thì phương trình f(x) =g(x) có nhiều nhất một nghiệm Đối chiếu với lờigiải trên ta thấy f(x) và g(x) có tập xác định hoàn toàn khác nhau, vì vậy khi

áp dụng dẫn đến sai lầm

Lời giải đúng như sau:

và



1

2; +∞

.Bảng biến thiên

và



1

3; +∞

.Vậy phương trình có tối đa 1 nghiệm trên mỗi khoảng

Mặt khác f(1) =g(1) = 5 và f(−1) =g(−1) = 1

5.Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=±1

Bình luận:

Một trong những ứng dụng nữa của hàm số trong việc giải phương trình đó làchứng minh một phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Ta xétthêm một số ví dụ sau để chứng minh điều đó

Ví dụ 9 ( Trích đề thi vòng loại HSG Quốc gia - 2007)

Chứng minh rằng phương trình xx+1 = (x+ 1)x có duy nhất một nghiệm dương

sử dụng đạo hàm trong giải phương trình nói riêng và trong giải toán nói chung.Dạng 2: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(u) = f(v)

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng f(u) =f(v), trong đó u=u(x),v =v(x)

Bước 2: Xét hàm số y =f(x) trên D

* Tính y0, xét dấu y0

* Kết luận hàm số y=f(x) là hàm số đơn điệu trên D

Bước 3: Kết luận:

* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u=v, giải PT: u= v

* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 10 Giải phương trình: e|2x−5|− e|x−1| = 1

|2x −5| −

1

|x −1|Lời giải

t với t >0+ Đạo hàm: f0(t) =et+ 1

f0(t) = 2t.ln 2 + 1> 0 ∀t ∈ R ⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên R

Phương trình tương đương

f(x −1) =f(x2− x) ⇔ x −1 =x2 − x ⇔ x2−2x+ 1 = 0⇔ x = 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 1

Ví dụ 12 (Trích đề thi thử đại học năm 2013 - ĐHSP Hà Nội)

Giải phương trình: (x+ 2)(√

x2 + 4x+ 7 + 1) +x(√

x2 + 3 + 1) = 0

có đủ "sức đề kháng" trước những bài toán lạ.

−1

2;

1±√5 2



Xét hàm số f(t) =t3+t trên R Với mọi t ∈ R, f0(t) = 3t2+ 1 >0

⇒ f(t) đồng biến trên R Do đó phương trình trên tương đương 2x =√

2x+ 1.Giải phương trình trên ta được nghiệm x= 1 +

9, t = 5π

9 , t = 7π

9 từ đósuy ra các ngiệm của phương trình là x= cosπ

9;x= cos5π

9 ;x = cos7π

9

Bình luận: Bài toán trên được giải dựa vào tính chất sau của hàm số: f(t) đơnđiệu thì f(t1 ) =f(t2 ) ⇔ t1 =t2 Tuy nhiên mỗi bài toán trước khi áp dụng đượctính chất trên vào giải phương trình thì người giải toán cần phải biến đổi, lột bỏđược cái ngụy trang của bài toán, đưa về dạng thích hợp có lợi cho việc sử dụngcông cụ giải toán Muốn làm tốt được điều đó người thầy phải thường xuyên chútrọng việc bồi dưỡng tư duy hàm cho học sinh.

nên hàm số f(t) đồng biến trên (0; +∞).

x+ 2 = 2 + 1

x.Bình phương hai vế và thu gọn, ta viết phương trình này thành x3−2x2−4x−1 = 0.Giải ra, ta tìm được x=−1 (nhận), x= 3 +

√

13

2 (nhận) và x = 3−√13

2 (loại).Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S =



−1, 3 +

√

13 2



Bình luận : Với bài toán vừa có hàm log (hay mũ) và vừa có hàm đa thức (phânthức) thông thường thì việc nghĩ đến dùng tính đơn điệu của hàm số để giải làđiều dễ hiểu

Bình luận: Để áp dụng được học sinh phải có kỹ năng biến đổi thành thạo mỗiphương trình để đưa phương trình trên về dạng f(t1) =f(t2) Sau đó xét hàm đặctrưng f(t) chỉ ra được hàm f(t) đơn điệu trên tập xác định, sử dụng tính chất:

Xét hàm số f(t) = log3t+ 7t, t >0, f(t) đồng biến trên (0; +∞)

Phương trình tương đương

Vậy phương trình trên có hai nghiệm x=−2, x=−1.

Khi đó, (1) thành f(u) ≤ f(v) và do u, v thuộc D và f(t) đồng biến trên D nên

Kết hợp với điều kiện (*) được tập nghiệm của bpt đã cho là

(t+ 1) ln(1 + 1

t)−1

, t > 0

g0(t) =− 1

t(t+ 1)+

4 (2t+ 1)2 =− 1

t(t+ 1)(2t+ 1) <0 với t > 0

Do đó g(t) nghịch biến trên (0; +∞), mà lim

t→+∞g(t) = 0 ⇒ g(t)>0 với mọi t >0

Suy ra f0(t) = (2t+ 1)g(t)> 0∀t > 0 Do đó f(t) đồng biến trên (0; +∞)

Phương trình tương đương f(x) =f(x2)⇔ x= x2 ⇔ x= 1( vì x > 0)

Dạng 3: Phương trình đã cho biến đổi được về dạng f(x) = 0 mà đạohàm của nó đơn điệu

Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = 0

Bước 3: Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm x= x1 và x=x2

Ví dụ 24 (Trích đề thi ĐH Sư phạm Hà Nội - 2000)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f(x) = 0 có không quá 2 nghiệm,

mà f(0) =f(1) = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm x= 1;x = 2

Bình Luận: Ngoài cách giải trên, ta cũng có thể trình bày lời giải như sauXét hàm số f(x) = 3x+ 5x−6x −2, ta có f0(x) = 3xln 3 + 5xln 5−6, x ∈ R

f00(x) = 3x(ln 3)2+ 5x(ln 5)2 > 0 với mọi x nên f0(x) đồng biến trên R

Lại có lim

x→+∞f0(x) = +∞, lim

x→−∞f0(x) = −6 nên phương trình f0(x) = 0 có nghiệmduy nhất x0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nhiều nhất hai nghiệm, mà

f(0) =f(1) = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm x= 0;x= 1

* Trong toán học sơ cấp có định lý Rôn ( Role ):

Nếu f(x) là hàm số lồi trên miền D thì phương trình f(x) = 0 sẽ có không quáhai nghiệm trên D

Do trong chương trình phổ thông, học sinh không được học và chứng minh nộidung của định lý Rôn nên cách trình bày lời giải bài toán trên là phù hợp nhất

* Một số phương trình đôi khi việc tìm nghiệm trực tiếp là khó khăn Ta chỉ

ra phương trình có không quá n nghiệm và kết hợp với việc nhẩm được n nghiệm

từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình Ta xét bài toán sau

Ví dụ 25 (Trích đề thi Dự bị ĐH khối A - 2008)

Chứng minh rằng phương trình:4x(4x2+ 1)−1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt

Lời giải

Các bài tập tương tự để học sinh vận dụng phương pháp hàm số:

|2x −5| −

1

|x −1|6/ log3x4+ 14x2+ 7x+ 1

2.3 Ứng dụng đạo hàm biện luận phương trình

Một trong những ứng dụng mạnh và lý thú của hàm số là vận dụng vào việc tìmđiều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước

Đây cũng là một trong những dạng toán quen thuộc mà học sinh hay gặp trongcâu V của các đề thi vào các trường đại học trong những năm gần đây

Do đó hàm số đồng biến trên [0; +∞) Suy ra f(x)≥ f(0) = 1

Vậy, phương trình có nghiệm thực khi m ≥1

Ví dụ 27 (Trích đề thi ĐH khối A-2008)

Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm thực phân biệt khi

x+ 1 >0, vì x −1

x+ 1 = 1− 2

x+ 1 <1 nên t ∈[0; 1).Khi đó (1) trở thành −3t2 + 2t=m, (2)

1 3

−1

−1

Từ bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi −1< m ≤ 1

3.Bình luận:

• Đối với các bài toán có chứa tham số: Khi đặt ẩn phụ ta phải chọn điều kiệnnghiêm ngặt cho ẩn phụ Khi đó ta mới xét được một hàm số xác định trên

một miền xác định Từ đó tìm được điều kiện cho tham số thoả mãn yêucầu đã cho của đề bài

• Việc lựa chọn ẩn phụ như trên cũng không bắt buộc, ta có thể đặt như sau:Đặt t = r x4 + 1

x −1 >0, tuy nhiên lúc đó điều kiện của ẩn phụ sẽ thay đổi theo

2].Suy ra f(√

2)≤ f(t) ≤ f(0) hay √

2−1≤ f(t) ≤ 1.Phương trình đã cho có nghiệm x ⇔ Phương trình (*) có nghiệm t ∈ [0;√

Ví dụ 30 (Trích đề thi ĐH Giao thông vận tải - 2001)

Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm dương:

√

x2−4x+ 5 =m+ 4x − x2

Ta có f0(t) = 2t+ 1> 0, ∀t ∈[1; +∞) nên hàm số đồng biến trên R.

Nhận thấy với mỗi t ∈(1;√

5) thì nhận được hai nghiệm x >0 Bài toán quy vềtìm m để phương trình t2+t −5 = m có nghiệm t ∈(1;√

Ví dụ 31 (Trích đề thi Dự bị Đại học khối A - 2002)

Tìm a để phương trình sau có nghiệm

91+

√ 1−x 2

−(a+ 2) 31+

√ 1−x 2

, ta thấy 0 ≤ √1− x2 ≤ 1 ⇒ 1 ≤ √1− x2 + 1 ≤ 2 nên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi 4≤ a ≤ 64

11 8

1

4

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x)≥ 1∀x ∈



−1

2; 1

.Với ∀x ∈

3√

3−√22 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi −4≤ m ≤ 3

1 2

Ví dụ 34 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau:

+ Giải và biện luận (I)

- Với m= 1 thì (3) vô nghiệm nên (I) vô nghiệm

- Với m 6=1 thì (3) có nghiệm x = − 2

m −1, nó là nghiệm của (I) khi x ≥ 1 ⇔

m −1 ≥ 1⇔ −1 ≤ m <1

+ Giải và biện luận (II)

- Với m=−1 thì (4) nghiệm đúng với mọi x, nên (II) nhận x ≥ 1 làm nghiệm

- Với m 6=−1 thì (4) có nghiệm x = 0, nhưng không là nghiệm của (II)

Kết luận:

- Với m < −1 hoặc m ≥1: phương trình vô nghiệm

- Với m=−1: phương trình có nghiệm ∀x ≥ 1

- Với −1< m < 1: phương trình có nghiệm x=− 2

+ Với m= 2, (3) ⇔0.x= 0, nghiệm đúng với ∀x ∈ R

+ Với m=−2, (3) ⇔0.x =−9, phương trình vô nghiệm