Sáng kiến kinh nghiệm ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I. THÔNG TIN CHUNG CÁ NHÂN 1. Họ và tên VÕ THANH LONG 2. Ngày tháng năm sinh: 02 01 1977. 3. Giới tính: Nam. 4. Địa chỉ: B910, Tổ 4, khu phố 1, Phường Tân Hiệp, Biên Hoà, Đồng Nai. 5. Điện thoại di động: 0918806566. 6. Email: thanhlong1977.bhgmail.com 7. Đơn vị công tác: Trường THPT Trấn Biên, Biên Hoà, Đồng Nai. II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO  Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học Sư phạm.  Năm nhận bằng: 1999  Chuyên ngành đào tạo: Toán III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC  Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy Toán bậc THPT  Số năm có kinh nghiệm: 14 năm  Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 1) 2009 – 2010: Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức 2) 2012 – 2013: Một số phương pháp giải hệ phương trình dành cho học sinh lớp 10. 3) 2013 – 2014: Một số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng. 

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Trường THPT TRẤN BIÊN

*******************

Mã số:………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện: VÕ THANH LONG Lĩnh vực nghiên cứu: GIÁO DỤC Quản lý giáo dục:

Phương pháp dạy bộ môn: TOÁN Phương pháp giáo dục: Đổi Mới Phương Pháp Giảng Dạy Lĩnh vực khác:………

Năm học: 2014 – 2015

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

1 Họ và tên VÕ THANH LONG

2 Ngày tháng năm sinh: 02 / 01 / 1977

3 Giới tính: Nam

4 Địa chỉ: B9/10, Tổ 4, khu phố 1, Phường Tân Hiệp, Biên Hoà, Đồng Nai

5 Điện thoại di động: 0918806566

6 Email: thanhlong1977.bh@gmail.com

7 Đơn vị công tác: Trường THPT Trấn Biên, Biên Hoà, Đồng Nai

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

 Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học Sư phạm

 Năm nhận bằng: 1999

 Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

 Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy Toán bậc THPT

 Số năm có kinh nghiệm: 14 năm

 Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

1) 2009 – 2010: Một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức

2) 2012 – 2013: Một số phương pháp giải hệ phương trình dành cho học sinh lớp

10

3) 2013 – 2014: Một số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI

mà học sinh không làm được bài, hoặc rất dài dòng trong lời giải, mất nhiều thời gian có thể dẫn đến kết quả sai hoặc bế tắc trong quá trình hoàn thành lời giải bài toán

Khi đó việc dùng “ứng dụng đạo hàm” hay “phương pháp hàm số” là một công cụ rất hay, rất nhanh gọn để giải quyết các bài toán trên, đặc biệt là ứng

dụng để giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Việc giải quyết các bài toán phương trình chứa căn, phương trình bậc cao, phương trình mũ, logarit, nhất là các phương trình không mẫu mực dùng phương

pháp hàm số hay đạo hàm thì việc giải các bài toán trở nên một cách nhẹ nhàng,

dễ áp dụng và bài toán được giải nhanh chóng Tôi xin mạo muội viết lại “Ứng

dụng đạo hàm để giải phương trình”, nhằm hỗ trợ cho học sinh có thêm một

tài liệu bổ sung, giúp các em học tốt hơn trong giải toán các bài toán nâng cao, nhẹ nhàng hơn trong quá trình học toán cũng như ôn thi trong các kì thi THPT quốc gia Thêm một tài liệu để các giáo viên giảng dạy cho các em trong các kỳ thi, trong quá trình bồi dưỡng thêm cho các em trên lớp

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Trong quá trình giảng dạy trên lớp, sau khi các em học xong tính đơn điệu của hàm số Tôi thực hiện ôn tập cho các em theo từng chủ đề Khi giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình , các em giải quyết bài toán bằng các phương pháp đã biết ở lớp 10, lớp 11 rất khó khăn, nhiều em không làm được hoặc không đi đến kết luận cuối cùng

Khi đó dưới sự hướng dẫn của giáo viên, dùng đạo hàm hay phương pháp hàm số để giải các bài toán trên thì việc giải toán trở nên nhẹ nhàng hơn, dễ hơn Trong lớp các em cũng hăng say hơn trong học tập môn toán

III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Do các em ở trường đa số là học sinh khá, giỏi nên các em tiếp thu phương pháp mới một cách nhanh chóng, áp dụng linh hoạt, giải các bài tập tương tự một cách thuần thục, gọn gàng Từ đó việc giải các bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình không còn là bài tập khó đối với các em

Sau khi áp dụng phương pháp này vào giảng dạy, điểm thi Đại học – Cao đẳng của các em cao hơn hẳn, điều đó thể hiện qua việc bảng xếp hạng điểm thi trên toàn quốc của trường Trấn Biên càng ngày càng tăng bậc, năm sau luôn cao hơn năm trước

IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Trong quá trình giảng dạy, đề tài này áp dụng cho các em từ học sinh trung bình đến các em học sinh khá giỏi đều tiếp thu nhanh chóng và hiệu quả Các

em hứng thú hơn trong học tập

Các Thầy – Cô cũng sử dụng để giảng dạy cho các em học sinh trong lớp giờ bài tập, giờ học tăng tiết, trong bồi dưỡng học sinh giỏi và đạt kết quả cao trong các kỳ thi

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trong bài viết này có tham khảo các tài liệu của các tác giả:

 Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Tất Thu: Phương pháp giải toán chuyên đề “ Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình – Bất đẳng thức”

 Trần Phương – Lê Hồng Đức: “Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán “ Đại số sơ cấp”

 Nguyễn Cam: Giải toán đại số”

 Trần Phương: “Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán “ Hàm số”

 Các bài viết trên các trang web: Violet.vn, Hocmai.vn;…

 Các đề thi đại học các năm gần đây…

NGƯỜI THỰC HIỆN

Võ Thanh Long

Biên Hòa, ngày tháng 05 năm 2015

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2014 - 2015

–––––––––––––––––

Tên sáng kiến kinh nghiệm: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Họ và tên tác giả: VÕ THANH LONG Chức vụ: không

Đơn vị: Trường THPT Trấn Biên

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)

- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 

1 Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây)

- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

2 Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 

- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình, nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị 

3 Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:

Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT  Trong ngành 

Xếp loại chung: Xuất sắc  Khá  Đạt  Không xếp loại 

Cá nhân viết sáng kiến kinh nghiệm cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình

Tổ trưởng và Thủ trưởng đơn vị xác nhận đã kiểm tra và ghi nhận sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chức thực hiện tại đơn vị, được Hội đồng chuyên môn trường xem xét, đánh giá; tác giả không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép lại nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của chính tác giả

Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của tác giả và người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm

NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên, ghi rõ

họ tên và đóng dấu)

CHUYÊN ĐỀ

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Nội dung chuyên đề:

Ứng dụng đạo hàm giải phương trình

1 – Phương trình bậc cao

2 – Phương trình chứa căn thức

3 –Phương trình Mũ – Logarit.

NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

 Tổng các hàm đồng biến (nghịch biến) trên D là đồng biến (nghịch biến) trên D

 Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) trên D là một hàm đồng biến (nghịch biến) trên D

 Phương trình f x ( )  m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số

( )

y  f x và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y  f x ( )

với đường thẳng y  m Nếu trên tập D hàm số y  f x ( )đạt giá trị lớn nhất là p, giá trị nhỏ nhất là n thì phương trình f x ( )  mcó nghiệm khi n  m  p

 Để sử dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình, ta cần thực hiện:

 Tìm tập xác định của phương trình

 Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f x( ) bằng một biểu thức nào đó

 Tính đạo hàm f x( ), rồi dựa vào tính đồng biến (nghịch biến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình

 Để học sinh có kiến thức vững để giải các bài toán dạng này yêu cầu học sinh nắm vững một số kiến thức cơ bản sau:

 Phương trình f x ( )  m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm

số y  f x ( )và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số

( )

y  f x với đường thẳng y m

Để giải các bài toán: Tìm giá trị của tham số để phương trình (hoặc bất

phương trình) có nghiệm ta thực hiện các bước sau:

o Biến đổi phương trình về dạng f x ( )  g x ( ). Tìm tập xác định của hàm số

 Đối với những phương trình có những biểu thức phức tạp, ta có thể đặt ẩn

phụ thích hợp t   ( ) x , từ điều kiện ràng buộc của x ta tìm điều kiện của t (với bài toán chứa tham số, ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ, ta thường dùng là đánh giá bằng bất đẳng thức, hoặc đôi khi phải khảo sát hàm

( )

t   x ) để có thể tìm được điều kiện chính xác của biến mới t)

 Sau đó đưa phương trình đã cho về phương trình theo t và lại sử dụng phương pháp hàm số như trên

Kết hợp với điều kiện trên ta có phương trình có nghiệm duy nhất

Cách 2: Biến đổi phương trình như sau: 5  2

h x  x  x  x liên tục trên R nên liên tục trên  1;2

(1) 3, (2) 23

h   h  nên h(1) (2)h 0 Theo định lý hàm số liên tục thì h x ( ) 0 có

nghiệm thuộc khoảng 1;2

Kết hợp với điều kiện trên ta có phương trình có nghiệm duy nhất

Cách 3: Biến đổi phương trình 5  2

Ví dụ 2 Tìm m để phương trình x2 2(m2)x5m 4 0 (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thoả mãn:x1   1 x2

Nhận xét:

Do trong chương trình mới không có mặt định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai nên việc sử dụng định lý này học sinh phải chứng minh Vì vậy ta áp dụng phương pháp hàm số là phù hợp

Ngoài cách giải trên ta có thể dùng định lý Viét để giải như sau:

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2

y x  m x  m xm  có cực trị tại hai điểm

x 1 , x 2 và thoả mãn x 1 < −1 < x 2 Đây là một câu hỏi mà các thí sinh thường gặp trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng Qua bài toán này người thầy cần nhấn mạnh thêm cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa phương trình và đồ thị hàm số, đồng thời phát

triển ở học sinh tư duy linh hoạt, biết lột bỏ cái ngụy trang của bài toán để đưa chúng về bài toán quen thuộc Đây cũng chính là nội dung của phương pháp “ Quy

lạ về quen” mà Giáo sư Nguyễn Bá Kim đề cập trong cuốn :

“Phương pháp giảng dạy toán ” Tập 1- NXB GD

Ví dụ 3 Tìm a để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

Để ý rằng với t  2 phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm x , còn với mỗi t  2

cho tương ứng với 2 giá trị của x

Do đó, (1) có 2 nghiệm phân biệt  (2) có 2 nghiệm t  2 hoặc có đúng 1 nghiệm

Từ bảng biến thiên,  (2) có đúng 1 nghiệm t sao cho t  2

Kết luận: giá trị của a thoả mãn a 21

Đây là dạng toán gặp khá nhiều, khi làm cần lưu ý

+ Đặt ẩn phụ t chuyển sang phương trình mới với t  D

(cần đánh giá để được miền giá trị của t ứng với miền giá trị của x )

+ Đưa phương trình về dạng cơ bản f t( ) g m t D( ), 

Ví dụ 4 Cho phương trình x4  x2  x  m x ( 2  1)2 (3) Tìm m để phương trình có

Các bài tập có dạng như trên nếu học sinh giải theo hướng khác thì gặp rất

nhiều khó khăn, phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho các lớp bài tập dạng này

Ví dụ 5 Tìm m để phương trình x3  x2  18 mx  2 m  0 (1)

Có ba nghiệm phân biệt x x1, 2, x3sao cho x1  0 x2  x3

(Đề thi thử ĐH – Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định)

Giải

(*)

Nhận xét: Bài toán trên nếu giải theo phương pháp đại số thông thường thì học sinh

sẽ phải dùng đến định lý viét cho phương trình bậc ba - Đây là định lý không được trình bày trong chương trình phổ thông, nếu dùng thì học sinh phải chứng minh Ta

hãy xét cách giải sau bằng phương pháp hàm số

Biến đổi phương trình như sau

 Ta thấy cách giải bài toán trên là rất tự nhiên, phù hợp với tư duy, nhận thức của

học sinh Khi đã rất quen thuộc với bảng biến thiên Với cách giải như trên chúng ta

có thể giải quyết nhiều câu hỏi khó khác nhau của bài toán như: Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất, hay tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

1, 2, 3

x x x sao cho 1 0 2 3 1

3

x   x  x 

 Ta xét cách giải khác sau bằng điều kiện cần và đủ Giả sử tìm được m thoả mãn

yêu cầu bài toán khi đó:

Nên tồn tại a  1 sao cho f a ( )  0, tồn tại b  0 sao cho f b ( )  0 Từ đó theo

định lý hàm số liên tục ta thấy phương trình (1) có ba nghiệm x x x1, 2, 3 thoả

x  b x  x  a  Suy ra điều phải chứng minh

Các bài tập tương tự:

1 Tìm các nghiệm âm của phương trình x6  2 x5   3 0 Đáp số: x   1

2 Cho phương trình x3 3mx2 3(m2 1)x(m2 1)0 Với giá trị nào của m thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt dương Đáp số: m 1

II PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Do đó phương trình (2) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta thấy t  1 thỏa mãn phương trình (2’)

    nên hàm số f x( )luôn đồng biến   x R

Khi đó phương trình (3)  f x( ) f x( 1)  x x1 vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

g 

Bảng biến thiên của Parabol (P):

Dựa vào đồ thị hàm số f x( ) và g x( ) ta thấy 5

Ví dụ 5 Giải phương trình : 5 x3   1 3 2 x   1 x  4 (5)

Nhận xét

Quan sát vế trái của phương trình (5), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng Từ đó ta thấy vế trái là hàm đồng biến, vế phải bằng 4 là hàm hằng, đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu

Giải

Điều kiện:

3

1 5

x  

em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương pháp khác để giải phương trình này

Do đó chúng ta cần gợi ý, hướng dẫn để các em đưa về được hàm số rồi áp dụng phương pháp hàm số để giải

chọn các nghiệm trong khoảng t0; ta có nghiệm , 5 , 7

sử dụng công cụ giải toán

x  f(1) 0 x1

là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 12 Giải phương trình sau: 3 2 x   1 3 2 x   2 3 2 x   3 0 (12)

Suy ra hàm số ( )f x đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Ta thấy ( 1)f   0 x  1 là một nghiệm của (12)

2

3 (

; 3 ) 2

1

(   f   

f

Bảng biến thiên của hàm số ( )f x

Từ bảng biến thiên ta thấy ( )f x  0 x  1

Vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm x  1

Ví dụ 14 (ĐH KA-08) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt

Bình luận

Đây là bài toán khó về ứng dụng của hàm số trong việc giải phương trình Việc

tính đạo hàm đã gây nhiều khó khăn cho học sinh, nhưng việc xét dấu của đạo

hàm còn phức tạp hơn Mặt khác bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức và

kỹ năng vững vàng mới giải được Đây là câu khó khăn nhất của đề Khối A năm

2008 Ta xét thêm một số ví dụ khác

Ví dụ 15 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương

11 72

4 12

Dựa vào bảng biến thiên  phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  15

vụ rất lớn của đạo hàm Ta có thể tiếp cận bài toán trên theo cáh khác như sau :

x

x x