Ứng dụng lý thuyết hàm biến phức trong một số bài toán về phương trình hàm và phương trình sai phân

Chương 2: Phương trình hàm với biến đỗi phân tuyến tính 2.1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính 2.2 Dang cau phân tuyến tính 2.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính 2.4 B

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

NGUYEN THI THUY VAN

UNG DUNG LY THUYET HAM BIEN PHUC TRONG MOT SO

BAI TOAN VE PHUONG TRINH HAM VA

PHUONG TRINH SAI PHAN

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Chuyén nganh: Giai tich

Người hướng dẫn khoa học TH.S PHÙNG ĐỨC THẮNG

HA NOI 2010

LỜI CẢM ƠN

Đề hoàn thành tốt đề tài này, trước tiên em xin bày tô lòng cảm ơn sâu sắc

tới các thầy, cô trong khoa Toán - Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã động viên

giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy - Phùng Đức Tì hang da tao

điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình dé em có thể hoàn thành dé tài luận văn

này

Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong đề tài

không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô và các bạn trong khoa

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Nguyễn Thị Thúy Vân

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy Phùng Đức Thắng cùng vứi sự cỗ gắng của bản thân em trong quá trình

nghiên cứu và thực hiện khóa luận Em có tham khảo tài liệu của một số tác

giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bán thân em, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Nêu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên

Nguyễn Thị Thúy Vân

Chương 2: Phương trình hàm với biến đỗi phân tuyến tính

2.1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính

2.2 Dang cau phân tuyến tính

2.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính

2.4 Bài tập vận dụng

Chương 3: Số phức và lời giải của phương trình sai phân

3.1 Các kiến thức cơ bản

3.1.1 Các khái niệm cơ bản về sai phân

3.1.2 Phương trình sai phân tuyến tính

3.1.3 Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính

LỜI NÓI ĐẦU

Số phức đóng vai trò quan trọng như là một công cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán trong lĩnh vực toán học, vật lí học, Ngoài ra, các tính chất cơ bản của số phức, hàm biến phức còn được sử dụng trong toán cao cấp, toán ứng dụng và trong nhiều mô hình thực tế

Trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic sinh viên toàn quốc, Olympic khu vực và Olympic quốc tế thì các bài toán liên quan đến Số phức - biến phức thường được đề cập dưới nhiều dạng qua các đặc trưng và các biến đổi khác nhau của phương pháp giải vừa mang tính tổng hợp cao vừa mang

tính đặc thù sâu sắc

Vì những lí do trên, em mạnh đạn chọn đề tai: “Ung dụng li thuyết hàm biến phức trong một số bài toán về phương trình hàm và phương trình sai phân”

Nội dung đề tài được chia thành ba chương:

Chương 1: Số phức, Hàm số biến số phức

Chương 2: Phương trình hàm với biến đôi phân tuyến tính

Chương 3: Số phức và lời giải của phương trình sai phân

Sau phần lí thuyết là một số bài tập vận dụng lí thuyết đã nêu ở trên

Sinh viên

Nguyễn Thị Thúy Vân

Chuong 1: SO PHUC, HAM BIEN PHỨC 1.1 Số phức

1.1.1 Định nghĩa

Ta biết rằng trong tập hợp số thực, phương trình bậc ø>2 không phải bao giờ cũng có nghiệm, ví dụ như phương trình x°+I=0 Vì vậy cần phải đưa vào một loại số mới có bản chất tống quát hơn, mà số thực là một trường hợp đặc biệt Và tất nhiên khi đưa ra loại số mới này ta cần phải trang bị trên

nó một số phép toán, mà các phép toán này phái phủ hợp với phép toán đã có trên tập hợp số thực Có nhiều phương pháp để xây dựng loại số mới này, ở

đây ta đưa vào số ¡ ( gọi là đơn vị ảo ) là nghiệm của phương trình x?+1=0

trong tập hợp các số mới đưa vào

Định nghĩa Số phức là số có dạng z=x+iy trong đó x,ye và ¡ được gọi

la don vi ao (i? +1=0)

x: được gọi là phần thực của số phức z, kí hiệu: Rez;

y: được gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu: Imz

Đặc biệt: Nếu y=0 khi đó số phức z=x+i.0=x là số thực x

Nếu x=0 khi đó số phức z=0+iy =iy gọi là số thuần ao

xX, =X,

Hai sé phite z, =x, +iy,, % =x, +iy, gọi là bằng nhau nếu |

Ji = V2 Cho số phức z=x+¡iy, số phức có dạng x—iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z Kí hiệu z, nghĩa là

Z=x+iy=x-Ìy

1.1.2 Các phép toán trên số phức

Trên tập số phức ta trang bị các phép toán sau:

Pháp cộng: Ta gọi tống của hai số phức Z=xi TÚI, Z¿=+3;+íy, là số phức

Phép trừ: Phép cộng trên có phép toán ngược

Với hai s6 phite z,=x, +i, z =x, +iy, ta có thể tìm được số phức z sao cho z; +z= z, Số phức này được gọi là hiệu của hai số phức z,, z¿

Kíhiệu: z=z;—⁄¿

Rõ ràng, từ định nghĩa tacó z =(x, —x,)+i(y, —y;)

Pháp nhân: Ta gọi tích của hai số phức z¡ =x,+iy,, z¿ =x; +iy, là một số

ã¡(ã; + 4)= ã-ã; + 8a

Chú ý: z =xŸ +yˆ>0

Pháp chia: Phép toán nhân có phép toán ngược nếu ít nhất một trong hai số

đó khác không

Giả sử z„ #0, khi đó ta có thể tìm được số phức z=x+iy sao cho z,.2= 2

Theo định nghĩa của phép nhân ta có hệ phương trình sau

Y;X + X;Y = ,

Vi z, #0 nghia 1a dinh thirc Crame khác 0, nên hệ phương trình trên luôn có

một nghiệm (x, y) duy nhất Số phức z=x+iy này được gọi là thương của hai số phức z¡, z¿

Giải hệ phương trình này ta được

Chú ý: Tập hợp các số phức với hai phép toán cộng và nhân được xây dựng ở

trên tạo thành một trường, được gọi là trường sỐ phức

Lãy thừa bậc n: Tích của nñ số phức z được gọi là lũy thừa bậc n của số phức z

Kí hiệu: z”

Căn bậc n của số phức z: Sô phức øœ được gọi là căn bậc n của sô phức z

nêu ø”=z

Kíihiệu: @=4#z

Định lí l.1 1) z=z; z¡ + Z; = Z¡ + Z¿ ; Zj-Z¿ = ấ¡-; -

1.1.3 Dạng lượng giác của số phức

Xét mặt phăng tương ứng với hệ tọa độ Descartes xÓy và ta biểu diễn một số phức z=x+iy bởi một điểm có tọa độ (x.y) Như vậy các số thực sẽ được

biểu diễn bởi các điểm trên trục Ox, nd duoc gọi là trục thực; các số thuần ảo

được biểu diễn bởi các điểm trên trục Øy, nó được gọi là trục ảo

Ngược lại, với mỗi điểm của mặt phẳng xÓy có tọa độ (x,y) ta đặt tương

z=r(cosø+isinø@),

Trong đó r,ø lần lượt là bán kính cực và góc cực của sỐ phức z

Bán kính z gọi là môđun của số phức z Kí hiệu: r =|z|

Góc cực ø gọi là argument của số phức z Kí hiệu: ø= Argz

Môđun của số phức z được xác định một cách duy nhất

Từ các công thức lượng giác và từ (1.1) ta có

arg 7,2, =arg Zz, † 8EE Z2›

xz arg— = arg z, — arg z,

2

Bằng qui nạp ta có

ATĐZ¡Z¿ Z„ = A[Ø Z¡ +argz, + +argz,

Bây giờ ta giả thiết z¡ =z;¿ = = z„ = r(cosp+ising) Khi đó

sing = —(e" -e"),

2¡

Công thức (E) được gọi là công thức Euler

1.1.5 Phép khai căn của một số phức

Cho ø là số tự nhiên và ze Ta nói ø là căn bậc ø của z nếu w" =z

Đặt z=re” và ø= øe*”, khi đó

Định nghĩa Giả sử 2e là một tập tùy ý cho trước Một hàm biến phức

trên D với các giá trị phức là một ánh xạ

tính) trên tập D= =2} (sau này thường giả thiết là be—ad #0)

Bằng cách viết đ@=u+iv, ¡= Reø, v=Ima, ham f co thé viết dưới dạng

f(z)=u(z)+iv(z)

Hai ham u,v được gọi là hàm phần thực và phần ảo của ƒ

#(z)=Reƒ()=(Reƒ)()

v(z)=1mƒ(s)=(Tm/)()

1.2.2 Tính liên tục, liên tục đều

Cho hàm số ƒ xác định trên tập tùyý DC _ với giátrịtrong và

z¿ 6D là điểm tụ của D

Số phức ae gọi là giới hạn của hàm ƒ khi z dần đến z„ và viết lim ƒ(z) =a Nếu với mỗi lân cận W của ø tồn tại lân cận U của Z„ sao cho

ƒ(z)<V, VzeU,z#s¿

Diém xa v6 tin a=oe \/{œ} gọi là giới hạn của ƒ(z) khi z—>z,

nếu W# >0 tồn tại lân cận U của z„ sao cho: |ƒ(z)|>, VzeU

Hàm ƒ gọi là liên tục tại z„ nếu một trong hai điều kiện sau thỏa mãn:

C¡ Nếu z„ là điểm cô lap cua D noi cach khác tồn tại lân cận U cia z,

trong D sao cho UND ={z,}

C2 Nếu z„ không là điểm cô lập của D thi lim f(z)=f(%)-

Viết ƒ(z)=u(z)+iv(z),zeD Khi đó, ƒ liên tục tại z, =x, +i, ¢D

khi va chi khi u,v lién tuc tai (x,,y,)-

Hàm f duoc goi 1a lién tuc trén D néu né liên tục tại mọi điểm ze Ð Ham ƒ được gọi là liên tục đều trên D nếu

Hàm ƒ xác định trên D được gọi là giải tích trên D nếu nó giải tích tại mọi

điểm zeD

Nhận xét:

1 Hàm ƒ giải tích tại z„ thì khả vi tại điểm đó Điều ngược lại không

đúng

Ví dụ ƒ(z)=z.z khả vi tại z=0 nhưng không giải tích tại đó

2 Trên miền D (mở), hàm ƒ giải tích trên D khi và chỉ khi nó khả vi trên đó

1.2.4 Ánh xạ bảo giác

Định nghĩa Ánh xạ œ= ƒ(z) biến miền D của mặt phẳng phức (z) thành

miền Đ” của mặt phẳng phức (ø) được gọi là ánh xạ bảo giác trong miền D

nêu tại mọi điêm ze D, góc giữa các đường cong được bảo toàn (cả vê độ lớn

và hướng) và độ dãn không đổi theo mọi hướng

Định lí 1.2 Giả sứ ánh xạ @= ƒ(z) biến miễn D thành miễn D' Nếu ƒ là hàm giải tích trong D và ƒ(s)#0.,VseD thì ƒ là ánh xạ bảo giác trên D

Định lí 1.3 Giả sử ánh xạ @= ƒ(z) biến miền D thành miền D' Nếu ƒ là

ánh xạ bảo giác trên D thì ƒ là hàm giải tích trong D và ƒ(z)#0, VzeD

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI

BIEN DOI PHAN TUYEN TINH

Ta khảo sát các phương trình hàm với acgumen biến đối sinh bởi hàm phân tuyến tính thực dạng

f(@(x))=af(x)+b, o(x)= axt+p

trong do

2.1 Một số tính chất của hàm phân tuyến tính

Trước hết, ta khảo sát phương trình đại số với hệ số thực dạng:

m x†+#

Phương trình (2.1) tương đương với phương trình bậc 2

Phương trình (2.2) có nghiệm thực khi và chỉ khi A =7 + 4m >0

Œ@) Nếu A =0 thì phương trình (2.2) có nghiệm kép X= =F

(ii) Néu A>0 thi phuong trinh (2.2) có 2 nghiệm thực phân biệt

sinh bởi hàm phân tuyến tính @(x) dạng

2.2 Đẳng cấu phân tuyến tính

Ánh xạ phân tuyến tính đã được đề cập ở phần trên Ở đây, ta sẽ trình bày những tính chất cơ bản của ánh xạ đó

Ánh xạ phân tuyến tính được xác định bởi hệ thức

1 Trường hợp c=0 là hiển nhiên

2 Ta xét rường hợp c0 Giải phương trình (2.6) đối với z ta có

Do đó (2.6) đơn trị I-1 trên

Tính liên tục của (2.6) tại các điểm z—'2.„œ là hiển nhiên e

Bằng cách đặt

- _# |_

@() =-, of œ

ta thấy rằng (2.6) liên tục trên _ Định lí được chứng minh

Định lí 2.2 Ánh xạ phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trên có

y, va 7; tại điểm ấy Suy ra rằng góc giữa các ảnh 7,7; của 7,,7„ tương ứng qua ánh xạ (2.6) tại điểm œ= of = -4) là bằng ø vì

| = lim —“— +0

4) cz+d (: * 4) 4) “

Trường hợp z=œ cũng chứng minh tương tự

Định nghĩa 2.1 Ánh xạ phân tuyến tính biến miền D lên miền Đ' được gọi

là đẳng cấu phân tuyến tính còn DĐ," được gọi là những miền đắng cấu phân tuyến tính với nhau

Định lí 2.3 Tập hợp mọi đẳng cấu phân tuyến tính lập thành một nhóm với phép toán lập hàm hợp, nghĩa là

1) Hợp (tích) các đẳng cầu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính 2) Ảnh xạ ngược của đẳng cầu phân tuyến tính là đẳng cấu phân tuyến tính Chứng mình

trong dé ad —bc = (ad, —b,c,)(a,d, —b,c;) +0

Nhận xét 2.1 Hiển nhiên rằng nhóm các đẳng cấu phân tuyến tính là nhóm

không giao hoán Thật vậy, giả sử Ø(z)=<: Øø(z)=z+l

Khi đó

Dođó _ ø2(ø(z))z@(ø(s))

Vì qua phép chiếu nối cả đường thắng lẫn đường tròn trên đều tương ứng với đường tròn trên mặt cầu Riemann nên ta có thể qui ước gọi đường thắng

hay đường tròn trên mặt phẳng phức đều là “đường tròn” trên (ta xem đường thẳng trên là đường tròn trên đi qua điểm œ) và gọi hình tròn, phần ngoài hình tròn và nửa mặt phẳng ( hình tròn với bán kính vô cùng ) đều

là “hình tròn” trên _

S(a,R)={|z-a|<R} -hinh tron

S"(a,R)={|z—a|> R} -phan ngoai hinh tron

P(R,)={ze :Re(e*z)> RI 1a nira mat phing

Thật vậy, đặt e” =cosp+ising, z=x+iy, tacd

P(R,ø)= {(x.y) € ”:xcosø+ ysinø> R}

Ánh xạ phân tuyến tính có thể biểu diễn dưới dạng hợp của các ánh xạ:

_ 4 bem a6, #= se" a+,

trong đó, có hai ánh xa tuyến tinh và ánh xạ £ = i

ẹ

Đối với các ánh xạ tuyến tính thì định lí 2.4 là hiển nhiên

=1-2Re(à)+ lal’ |ol? <? Qo

Tiếp theo, ta xét 3 trường hợp sau

1 1

Re(aa) >s=Rc(e °ø) > Di

Đó là nửa mặt phẳng

2 Đối với phần ngoài hình tron S° (a,R), định lí được xét tương tự

3 Bây giờ, ta xét ánh xạ nửa mặt phẳng Re(e ”z) >—K, R>0

Phép ánh xạ nửa mặt phẳng Re(e *z) > R>0 được xét tương tự

Nhận xét 2.2 Trong mọi trường hợp, điểm a được ánh xạ thành điểm =

điểm này thuộc ảnh hình tròn Š(ø,R) cùng với một lân cận nào đó của nó

Định lí 2.5 Ánh xạ phân tuyến tính biến miễn thành miễn

Chứng mình

Gia sir B là miền, @=¢(z) là ánh xạ phân tuyến tính, D=ø(?)

Với mọi ứy tồn tại duy nhất điểm 2) €B sao cho ø( Zy) =Q

Giả sử U(z,)C B là lân cận của điểm z, (hình tròn voi tam z, néu z, #00,

hoặc phần ngoài hình tròn nếu Zạ=®)

Khi đó, theo định lí 2.4 ta có ø(U (<,)) là “hình tròn” chứa điểm ø, cùng với một lân cận nào đó của nó

Như vậy, ø; là điểm trong của D va do dé D là tập hợp mở

2 Chứng minh DÐ là tập hợp liên thông

Vì B là tập hợp liên thông nên từ định lí 2.1 suy ra rằng Ð là tập hợp liên thông

Nhu vay, D là tập hợp mở và liên thông, nghĩa là D là miền

Định lí 2.1, 2.2, 2.4 là những tính chất đặc trưng của ánh xạ phân tuyến tính Ngoài tính bảo giác và bảo toàn đường tròn, nhóm các đăng cấu phân tuyến tính còn có những bắt biến khác nữa

Đăng cấu phân tuyến tính (2.6) chứa ba tham số phức là tỉ số của ba trong bốn

hệ số ø,b,c,đ với hệ số thứ tư khác 0 Các tham số này được xác định đơn trị

bởi điều kiện: ba điểm cho trước z¡,z„,z¿ của mặt phẳng phức (z) biến thành

ba điểm ø„øœ,,œø, của mặt phẳng phức (ø) Điều đó được suy ra từ định lí

Chứng mình

1 Tính duy nhất Giả sử có hai đẳng cấu a, (z), @,(z) thỏa mãn các điều

kiện của định lí Giả sử é, (ø) là ánh xạ ngược của ø,(z)

Ta xét ánh xạ é; [a, (<)| „ đó là một đẳng cấu tuyến tính Dang cau nay có ba diém bat dong z,,z,,z, vi

Da thức bậc hai ở về trái chi có thê có ba nghiệm khác nhau (z, #2, #23)

khi mọi hệ số của nó đều bằng 0, tức là a=đ,b=c =0 và é; lỗ ()] =z hay

là ø, (z)= a,(z)

2 Sw ton tại Đăng câu phân tuyến tính thỏa mãn điều kiện của định lí

được xác định theo công thức (2.8)

Thật vậy, giải phương trình (2.8) đối với œ ta thu được hàm phân tuyến tính Ngoài ra, khi thế cap z=z,,@=@, vào công thức (2.8) thì cả hai về của (2.8) đều bằng 0

Thế cặp z= Z¿,@ = @, vào (2.8) ta thu được cả hai vé bang 1 Va cuối cùng thé Z=Z,,@=@, ta thu duge ca hai về đều bằng œ

Trong hình học, biểu thức

L-h 4 T—5;

được gọi là tỉ số phi điều hòa của bốn điểm z,z¡,z;,z¿

Nếu bốn điểm z, 24> 29923 nằm trên một đường tròn (hoặc đường thẳng) thì tỉ

số phi điều hòa là một số thực Thật vậy

a) Nếu các điểm z, 219 29523 nam trén duong thang

6 =O, tte, -w<t<+o00

Tacé z,=6,+te,% =6, +e" 2=6, +e”, 2 =6, +e” va ti dé

‘acd z= re”, z= re? z= rez, = re"" và từ đó ta có

T 1 =O tre, 2 =O) tre” o tre” ,z,=C,+re™ va th do t

e*% _=e” e*% —=e“”

(152952523) = SN Tom lan com

¡019 ;A-9 _¡#b~9\ ¡+9 ;/a-9 _¡;#2~2

e? le? -ẹe 2 e2le2-e 2

pte) M-% j0-Ø | jÐt®[ jÐ-9 jPnØ

e ? le? -ẹ 2 e? le? -e 2

Từ định lí 2.6 ta rút ra một tinh chất quan trọng nữa của đẳng cấu phân tuyến tính

Hệ quả 2.1 7ï số phi điều hòa là một bắt biến của nhóm các đẳng cấu phân

2 Mọi điểm trên đường tròn T' được xem là đối xứng với chính nó qua T

Từ định nghĩa 2.2 suy ra rằng các điểm đối xứng qua đường TL liên hệ với