SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn hàm số 1 MỤC LỤC1 PHẦN MỘT MỞ ĐẦU 2 1 1 Lý do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 1 3 Đối tượng nghiên cứu 2 1 4 Phương pháp nghiên cứu 3 PHẦN HAI NỘI DUNG 3 2 1 Cơ sở lí luận 3 2 2 Thực trạng của đề tài 3 2 2 1 Khảo sát chất lượng đầu năm 3 2 2 2 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên 3 2 3 Giải quyết vấn đề 4 2 3 1 Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan 4 2 3 2 Bài toán minh họa và một số kinh nghiêm khi giải bài[.]
Trang 1MỤC LỤC1
PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 2
1.1.Lý do chọn đề tài 2
1.2.Mục đích nghiên cứu 2
1.3.Đối tượng nghiên cứu 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu 3
PHẦN HAI: NỘI DUNG 3
2.1.Cơ sở lí luận .3
2.2.Thực trạng của đề tài 3
2.2.1.Khảo sát chất lượng đầu năm 3
2.2.2.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên 3
2.3.Giải quyết vấn đề 4
2.3.1 Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan 4
2.3.2 Bài toán minh họa và một số kinh nghiêm khi giải bài toán giới hạn: 6
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: 18
2.4.1.Kết quả từ thưc tiễn: 18
2.4.2.Kết quả thực nghiệm 18
PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20
3.1 Kết luận 20
3.2 Kiến nghị 20
TÀI LIỆUTHAM KHẢO 21
Trang 2PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU
1.1.Lý do chọn đề tài
Toàn học là một môn khoa học cơ bản của chương trình giáo dục phổ thông, trong hệ thống giáo dục phổ thông của nước ta Học tập tốt bộ môn toán giúp con người nói chung và học sinh nói riêng có kỹ năng tư duy sáng tạo,tính toán các số liệu…, làm cho con người linh hoạt và năng động hơn trong cuộc sống cũng như trong công việc Nhiệm vụ của giảng dạy bộ môn toán học ở bậc trung học phổ thông là thực hiện được những mục tiêu giáo dục mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đề ra: Làm cho học sinh đạt dược các yêu cầu sau:
- Nắm vững được kiến thức cơ bản của bộ môn
- Có những kỹ năng cơ bản để vận dụng kiến thức của bộ môn
- Có hứng thú học tập bộ môn
- Có cách học tập và rèn luyện kỹ năng hợp lý, đạt hiệu quả cao trong học tập
bộ môn vật lý
- Hình thành ở học sinh những kỹ năng tư duy và là nền tảng cho các bộ môn khoa học cơ bản khác
Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, chất lượng học tập môn Toán của
học sinh còn thấp, hÇu hÕt c¸c em sî häc m«n to¸n
Vấn đề đặt ra là: Làm thế nào để học sinh tự tin vào bản thân để giải tốt được các bài toán Vì vậy người giáo viên cần đưa ra được những phương án hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức một cách tối ưu để học sinh có thể nhanh chóng tiếp thu và vận dụng dễ dàng vào tự tin vào bản thân để giải các bài toán cụ thể:
Theo nhận thức của cá nhân tôi, trong việc hướng dẫn học sinh làm bài tập cần phải thực hiện được một số nội dung sau:
- Phân loại các bài tập của các phần theo hướng đơn giản nhất để đưa ra kết quả
- Hình thành cách thức tiến hành tư duy, huy động kiến thức tổng hợp và thứ tự các bước thao tác cần thực hiện
- Hình thành cho học sinh cách trình bày bài đặc trưng của phần kiến thức đó
Vì vậy để giúp học sinh khối 11 học tốt phần bài tập giới hạn hàm số tôi đã
chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn hàm số”
1.2.Mục đích nghiên cứu
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn hàm số
Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học
1.3.Đối tượng nghiên cứu
Học sinh khối 11 trường THPT
Trang 31.4 Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
- Phương pháp điều tra giáo dục
- Phương pháp quan sát sư phạm
- Phương pháp thông kê, tổng hợp, so sánh
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài
- Phương pháp thực nghiệm
PHẦN HAI: NỘI DUNG 2.1.Cơ sở lí luận.
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương trình toán trung học phổ thông
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập
- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được chứng minh, thừa nhận
2.2.T hực trạng của đề tài.
2.2.1.Khảo sát chất lượng đầu năm
-Trước khi đưa vào vận dụng thì tôi đã vận dụng vào năm học 2015-2016 thì thấy có hiệu quả vì vậy để kiểm chứng, năm học 2016-2017 tôi tiến hành khảo sát
ở 4 lớp theo bảng sau:
Bảng số liệu khảo sát trước khi vận dụng
Lớp Số
- Đối với lớp 11C5 và 11C3 thì tôi dự định sử dụng phương pháp thảo luân nhóm, hỏi đáp và hệ thống lại kiến thức chương
- Đối với lớp 11C2 và 11C6 thi tôi đã cho học sinh dụng đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài tập giới hạn hàm số”.
2.2.2.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian Sự nhận
Trang 4- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em, nhiều em ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn học trong đời sống
Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán
2.3.Giải quyết vấn đề
2.3.1 Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa giới hạn của hàm số [2]
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn
là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a , ¥n * mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu:lim
x a f x L
2 Một số định lý về giới hạn của hàm số [2]
a Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b Định lý 2:Nếu các giới hạn:lim , lim thì:
x a f x L x a g x M
lim
lim
x a
x a
x a
f x
M
c Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K
chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) f(x) h(x) x K x, a và
lim lim lim
Trang 52 Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số [3]
a.Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều
có lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu:
lim
x a f x
b.Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:lim
c.Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a
, thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu : Nếu
*
n
x a f x
chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a ¥n * thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: lim
x a f x
B PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường hợp tìm giới hạn cơ bản sau:
Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm: lim
x a f x Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số : lim
Ba là: Giới hạn một bên của hàm số: lim , lim
x a f x x a f x
Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi không xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách nhìn vào giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới hạn trái, giới hạn phải)
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất định.Ở đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ đồ tư duy [1] sau:
Trang 6Giới hạn vô cực
lim
Giới hạn một bên
lim , lim
x a f x x a f x
ĐỀ BÀI
Dạng 3 :( )
x f x g x
Dạng 2 :(0 )
lim
x f x g x
Dạng 1 :
lim
x
f x
g x
Quan sát chia
tr ường hợp
Dạng 1 : Tính
trực tiếp
lim ( )
x a f x f a
Dạng:
L 0
lim , lim
x a
x a
Dạng3:
L 0
x a
f x
g x
Dạng 2
0 0
lim
x a
f x
g x
Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu trong sơ đồ tư duy
2.3.2 Bài toán minh họa và một số kinh nghiêm khi giải bài toán giới hạn:
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM CỦA HÀM
SỐ: lim
x a f x
Dạng 1: lim ( )
x a f x f a
Phương pháp:
Giới hạn tại một
điểm:
lim
Trang 7Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x) Kết luận: lim ( )
x a f x f a
Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:
2
3/ 4/
3
1 Lim
2
x
x x
2 2
x -1
2x + 3x +1 Lim
-x + 4x + 2
Hướng dẫn:
1/Lim2 x 3 2 2 3 7
2
2
3/
3
Lim
x
x
x
0 2 1 4 1
1 1 3 1 2 2 x 4 x
1 x 3 x 2
2 2
2 1
Bài tập tương tự:
Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
1 2 2 3
x -1
lim(x + 2x +1)
x 3
lim 3 - 4x
x 1
x +1
lim
2x - 1
2 5
x -1
x + x +1 lim
2x + 3
Dạng 2: (ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và g(x)
00 .
lim
x a
f x
g x
Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0 nên lúc này có dạng
lim
x a
f x
g x
0
0
Phương pháp:
Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số và
mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.[2]
Chú ý 1:
Nếu f x( )ax2 bx c có 2 nghiệm x x1, 2 thì ta phân tích
Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
Trang 8
Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và
mẫu cho các biểu thức liên hợp
Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp
3
3
Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:
2
3 2
2
1 3
2
1
2
x x
x
x x
x x
Hướng dẫn:
2
2 2
2 2
Trang 9
2 3
2
2
x
x
4
x
x
x x
2
x
x
Bài tập tương tự:
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:
3
2
2
2
x x
x
Dạng 3: (với ) Ta tính nhẫm dạng bằng cách
L0
lim
x a
f x
thay a vào f(x) và g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên lúc
lim
x a
f x
g x
này có dạng
L0
Phương pháp:
Bước 1: Tính (với )
lim ( )
x a f x L L 0
Trang 10Bước 2: : Tínhlim ( ) 0 và xét dấu biểu thức g(x) với
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận
lim
x a
f x
g x
lim ( )
x a f x L
lim ( ) 0
lim
x a
f x
g x
Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
2 4
2 1/ lim
4
x
x x
Ta có:
4
4
2 lim
x
x x
x
x
2
3
5 2/ lim
3
x
x
x
Ta có:
3
3
5 lim
x
x x
x
x
2 2 2
lim
x
x
Ta có:
Trang 11
2
2
lim 3 1 5 0
3 1 lim
2 8 lim 2 2 4 0 2 2 4 0 ( 2)
x
x x
x
x
x x
x x x va x x x x
Bài tập tương tự:
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
3
2
x
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ:
lim
x f x
Dạng 1:
x
f x
g x
Phương pháp:
Chia tử và mẫu cho xkvới k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu Chú ý rằng nếu
thì coi như x>0, nếu thì coi như x < 0 khi đưa x ra hoặc vào
khỏi căn bậc chẵn [5]
Chú ý các giới hạn cơ bản sau:
2
2 1
1
x x
k
k x x
x
Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:
1/ Lim 2 1 2/
2
x
x x
1 Lim
1
x
x x
3/ 4/
2 1 Lim
1
x
x x
2 1 Lim
1
x
x x
Hướng dẫn:
Trang 121/
2 2
1
x
x
x
x x
2
2
2
2 2
1 1
1
x
x
x
x x
2
2
1
1
1
1
1
1 1
x
x x
x
x
x x
2
2
1
1
1
1
1
1 1
x
x
x
x
x
x x
Bài tập tương tự:
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:
5
2
2 2 1 1 4
Dạng 2: lim 0.
Phương pháp:
Trang 13Ta biến đổi lim 0. về dạng 1: [5]
x
f x
g x
Sau đó sử dụng phương pháp của dạng 1 để giải
Chú ý: A B A B2 với A B, 0
A B A B2 với A0,B0
Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
2 2
1
1 1 1
2
2
3
-x + 2 x - 1
1
x 1+
x
2
2 2
)
)
-2
3
2 3
3
-2 3
x +1 2x +1 2x +1
2) lim x +1 lim
x + x + 2 x + x + 2
x 1+ x 2 +
1 2
x x
1 2
x (1+ +
x x
1
2 3
1 2 1+ +
x x
Bài tập tương tự:
Bài tập 5: Tính các giới hạn sau:
2
3
Dạng 3:
Trang 14Phương pháp:
Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa về dạng
lim
lim
x
lim
x
Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp
0
A neu A
A neu A
Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
2
2 1
x +
2
x x
x
2 1
1 2
x +
2
x m
Trang 15 2 2
2
2 1
x +
2
x x lim
-x
2 1
1 2
x +
2
x lim
x 1
1 1
1 1
2
2
2 2
2
x - x
x
x x
1 1
1 1
x
1
-x x
= (Vi 1 1 1, 1 1 12 0 va 1 1 12 0)
Chú ý: Ta cũng có thể giải bài 3 của ví dụ 6 này theo cách sau tạm gọi là: Cách 2
Trang 16
1
2
2
x +
lim x 1+
x x
x +lim x = + x +lim 1+
x x
x 1
1 1
1
2
2
2 2
2
x - x
x
x - x
1 1
1 2
1 1
x 1+
Như vậy sau khi giải bài 4 của ví dụ 6 nhiều học sinh sẽ thắc mắc rằng bài 4 này
có thể giải theo cách 2 của bài 3 như trên không?
Câu trả lời là không vì nếu giải theo giải theo cách 2 của bài 3 ta sẽ có:
1
2
2 x
lim x
1-x x
Tới kết quả x 1 2 sẽ dẫn đến dạng vô định (0 ) lại quay về
lim x
1-x x
dạng 2 của trường hợp giới hạn hàm số ở vô cực mà việc khử dạng vô định (0, )
lại gây khó khăn cho một số em học sinh có học lực trung bình, yếu
Bài tập tương tự:
tập 6: Tính các giới hạn sau:
Trang 17
2
KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM SỐ:
lim
lim
x a f x
Cần lưu ý học sinh đây chỉ là trường hợp đặc biệt của giới hạn tại một điểm, lúc này không x tiến đến a mà tiến đến bên trái điểm a (x a), hoặc tiến về bên phải bên phải điểm a (x a).Bài tập Giới hạn một bên: hoặc
lim
lim
x a f x
.chủ yếu rơi vào dạng 3 của trường hợp Giới hạn tại một điểm là
(với ) Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và
L0 .
lim
x a
f x
g(x) Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0 nên lúc này có dạng [2]
lim
x a
f x
g x
L0
Phương pháp:
Bước 1: Tính (v ới )
lim ( )
x a f x L L 0
Bước 2: Tính và xét dấu biểu thức g(x) với hoặc
lim ( ) 0
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận ( bảng xét dấu đã
lim
x a
f x
g x
nêu ở dạng 3- trường hợp 1 Giới hạn tại một điểm)
Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn:
1
1/ lim
1
x
x
x
Trang 18Ta cú:
1
1
lim 2 3 2.1 3 1 0
x
x
x
Vậy
1
lim
1
x
x
x
1
2/ lim
1
x
x
x
Ta cú:
1
1
lim 2 3 2.1 3 1 0
x
x
x
Vậy
1
lim
1
x
x
x
Bài tập tương tự:
Bài tập 7: Tớnh cỏc giới hạn sau:
2
2
2.4 Hiệu quả của sỏng kiến kinh nghiệm:
2.4.1.Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phõn loại và giải những dạng bài tập như đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán từ nhận dạng hàm số : hàm số dạng cơ bản, hàm số dạng nhõn lượng liờn hợp,dạng để lựa chọn phương pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên
đưa ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình suy luận,trong các bước tính tích phân này rồi từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm trước thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải được một lượng lớn bài tập đó
2.4.2.K ết quả thực nghiệm.
Thụng qua tiến hành nghiờn cứu và thực hiện trờn bốn lớp với đề tài trờn tụi đó thu được kết quả theo bảng số liệu sau: