ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ CHƯƠNG IV §1 Dãy số có giới hạn 0 Định nghĩa thì (un (< ( Một số dãy có giới hạn 0 * Định lý 1 Hai dãy số (un) và (vn) Nếu (un( ( vn (n và limvn = 0 thì limun = 0 * Định lý 2 Nếu (q( < 1 thì limqn = 0 §2 Dãy số có giới hạn hữu hạn Định nghĩa limun = L ( lim(un – L) = 0 Định lý 1 Giả sử limun = L Khi đó a) lim(un( = (L( và b) Nếu un ( 0 (n thì L ( 0 và Định lý 2 Nếu limun = L, limvn = M và c là một hằng số Khi đó lim(un + vn) = L + M; lim[.]
Trang 1§1 Dãy số có giới hạn 0:
n n
n n N,
n N n 0, 0
u
∞
0
n
1 lim
; n
1 lim 0;
n
1 lim
=
* Định lý 1: Hai dãy số (un) và (vn)
Nếu un ≤ vn ∀ n và limvn = 0 thì limun = 0.
* Định lý 2: Nếu q < 1 thì limqn = 0.
§2 Dãy số có giới hạn hữu hạn:
a) lim un = L và lim3 u 3 L;
n = b) Nếu un ≥ 0 ∀n thì L ≥ 0 và lim un = L
lim(un + vn) = L + M; lim(un - vn) = L - M; lim(un.vn) = L.M; lim(cun) = cL; limvu ML
n
n = (nếu M ≠ 0).
q -1
u q
-1
) q -1 ( u lim q u q u u
n 1 2
1 1
=
Bài tập áp dụng:
1 Dùng định nghĩa, chứng minh các dãy sau có giới hạn 0:
k n
n
a u
a) = với a là số thực hữu hạn, k là số tự nhiên hữu hạn
5 2n n
2n u
d)
; 7 3n
2 u
c)
; 2
-n
3 u
+ +
= +
=
=
2 Cho a > 1 Chứng minh rằng: 0
a
n lim n =
1 n
2n.sinn lim
b) 0;
n -1
n lim
+
= +
4 Ba dãy vn, un, wn thỏa vn ≤ un ≤ wn ∀n, limvn = L, limwn = L CMR: limun = L
5 Biết rằng limun = limun-1 = limun-2 = limun-k với k là số hữu hạn CMR: Dãy un tăng (giảm) và bị chặn trên (và bị chặn dưới) thì có giới hạn.
6 Chứng minh các dãy sau đây có giới hạn 0:
; 3
1 -2
1) (-u ) c
; 1 n 2
cosn sinn
1) (-u b)
; 1 3
5 u
n n
3
2 n n
n
n
+
+
= +
=
n
n!
u f)
; 1 n -5 n u ) e
; n n n
5
n cos
n u
n
+
+
=
π
7 Tìm các giới hạn limun với:
Trang 2; 1 6n -2n
1 -3cos3n n
u c) ; 1 n -3n
5 3n n u b) ; 6n
-n
7 -3n 2n
u
2 n 3
4
2 n 5
2 5
+
= +
+
−
=
+
4 2n n
2n n u
2
+
=
; 1 n -4n
2
- 3n n u g) ; 3 2
3 3.2 u
f) ; 4 2.3
3.4
2
u
2 7 n 1
n 1 n
n n n
n n
n n
+
= +
−
= +
+
3 (-2)
3 2) (-u h) n n+n1 nn+1
+
+
=
3 n n
1 2n n lim b) 0;
n -1 n lim2
2
+
+ +
= +
9 Cho dãy xác định bởi:
2
u u u 4
1 u
n 2 n 1 n
1
+
=
=
+
a) CMR: với mọi n thì
; 4
3 u
u và 4
1 u 0
n
1 n
b) Từ đó suy ra limun = 0.
10 Cho dãy xác định bởi:
1
n
u u
2
1 u
n 1 n
1
+
=
=
+
a) CMR: với mọi n thì
; 2
1 u
u và u 0
n
1 n
b) Từ đó suy ra limun = 0.
11 Tìm giới hạn của các dãy sau:
; n n
1 2 n
1 1
n
1 u
b)
; 1) n(n
1 2.3
1 1.2
1 u
a)
3 3
3 n n
+ + + +
+ +
=
+ + + +
=
n
1).n (n 3.2 2.1 u
d)
; 2) 1)(n n(n
1
2.3.4
1 1.2.3
1 u
+ + + + +
=
2
1 -2n 2
5 2
3 2
1 f)
; n n
1 2 n
1 1
n
1 u
2 2
2
+ + + +
+ +
=
12 Cho dãy xác định bởi:
u u
10 u
n 1 n
1
=
=
+
a) CMR: với mọi n thì
1; -u 2
1 -u và 1
n > > +
b) Tìm limun.
13 Dãy xác dịnh bởi:
6 -u 3
2 u
5 -u
n 1 n
1
=
=
+
Gọi (vn) là dãy xác định bởi vn = un + 18.
a) CMR: vn là một cấp số nhân lùi vô hạn.
b) Tính tổng của cấp số nhân (vn) và tìm limun.
14 CMR: dãy
n
1 1
+
= có giới hạn hữu hạn.
15 Đặt lim 1 1 e
n
=
+ Tính các giới hạn sau: lim n 1 ; lim n 2
1
n 2
+
−
+
Trang 3§3 Dãy số có giới hạn vô cực:
n n
n n N,
n N n 0, M u
∞
n n
n n N,
n N n 0, M u
∞
• limun = + ∞ thì 0
u
1 lim n
=
limun limvn lim(unvn) limun Dấu L lim(unvn) Dấu L Dấu vn
n
n v
u lim
Bài tập áp dụng:
1 CMR: a) Nếu q > 1 thì limqn = + ∞ ; b) Nếu n u L 1
n = > thì lim un = + ∞
2 Tìm các giới hạn: ; b) lim( n -2n -n)
n
1 -n -1 3n lim
2 -n
1 11n -2n lim e)
; n -n n n lim d)
; 4 n -2 n
1 lim
2 2
+ +
+ +
3 Cho một hình vuông cạnh a Nối trung điểm của bốn cạnh ta được một hình vuông mới nhỏ hơn Lại làm như vậy đối với hình vuông mới Cứ tiếp tục như thế mãi Tìm giới hạn của tổng các diện tích của tất cả các hình vuông tạo thành.
b b b 1
a a a 1
n 2
+ + + +
+ + + +
với a < 1 và b < 1
5 Tìm các giới hạn: ; c) lim n 1( n 2 - n);
3 2)
(-3 2) (-lim b)
; 1 5n
3 -n n lim
n n 2
3
+ +
+
+
1
2n
2n -1) -(2n 4 -3 2 -1 lim e)
; 2
-n 3n
2n 3 2 1 n lim
+
+ +
+ +
+ + + +
6 Tìm các giới hạn sau:
1
n 5n
n 3 2 1 lim c)
; n -n n
n 1 n lim b)
; n n -n lim
2
2
3 2 3
+ +
+ + + + +
+ + +
7 CMR: mỗi dãy số sau đây đều có giới hạn và tìm giới hạn đó:
∑
= +
+
+ + + + +
=
+
=
=
+
=
1
k 2 n
n 1
n 1 n
n 1 n
1
2 2 2 2 2 d)
; k
1 u c)
; u 2 u
2 u b)
; u 2
u u
1 u
a)
Trang 4§4 Giới hạn của hàm số:
0
=
→ ⇔ ∀ dãy (xn), limxn = x0 ta đều có limf(xn) = L Trong đó x0 ∈ (a, b), f(x) xác định trên (a, b) \ {x0}, xn ∈ (a, b) và xn ≠ x0.
Trong đó f(x) xác định trên (a, +∞), xn ∈ (a, +∞) ∀n.
0
=
→x
x và lim g(x) M
0
=
→x
x (L, M ∈ R) thì:
0) (M M
L g(x)
f(x) lim cL;
] g(x) c lim[
L.M;
] g(x) f(x) lim[
M;
L ] g(x) f(x)
lim[
0 0
0
0 ± = ± = = x x = ≠
→
→
→
x
0
=
; L f(x) lim
;
L
f(x)
x x
3
x
=
=
→
→ Nếu f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ J thì L ≥ 0 và lim f(x) L.
x
x 0
=
→
Bài tập áp dụng:
1 Tìm các giới hạn sau:
;
x
1
x x -1
x lim c)
;
h
2x -h) 2(x lim b)
; 1
-x
1
x x
- x lim
a)
2 0
3 3 0
2 3
+ + +
+ +
→
→
x
; -3 x
1
x lim
f)
; 3x
x
- 1 -1 lim e)
; -1
x
2
x
-x lim
d)
2
3 1
-3 0
+ +
+
→
→
x
2 Tìm các giới hạn sau:
; 2 -x
1 5x -3x lim c)
; 1
x x
- x
1 3x -2x lim b)
; 2) -(x
2 3x -x lim
2 x
2 3 2 1 x 2
2 2
x
+ +
+ +
∞ +
→
→
→
( x -4x - x) lim
f)
; 1)
x )(
1 -2 (
3) 1)(5x (3x
lim e)
; 1) (2x
2) (7x 1)
-x ( lim
x 3
2 x
4
2 2
+
+ +
+
x
3 Tính
p 1
-p 1
p 0
m 1
-m 1
m 0
x b x b x b
a x a x a lim
A
+ + +
+ + +
=
∞ +
→
4 Tìm các giới hạn sau:
; 3 -1 4x
2
x
-x lim c)
; 2x x
3 2x -x lim b)
; 1 2x -x
1 -x lim
a)
2 x 2
3 2 -x 2
3 1
+ +
+
→
5 Chứng minh rằng: 1
x
sinx lim 0
→
6 Tìm các giới hạn sau:
→
→
→
cos
1 lim d)
; x sin
cos3x -cosx lim c)
; x
cos7x -1 lim b)
; x
sin5x lim
a)
2 x 2
0 x 2
0 x 0
Trang 5• Định nghĩa 1: x x
0
L limf(x)
+
→ = ⇔ ∀ dãy (xn), xn ∈ (x0, b), limxn = x0 thì limf(xn) = L.
0
L limf(x)
−
→ = ⇔ ∀ dãy (xn), xn ∈ (a, x0,), limxn = x0 thì limf(xn) = L.
* Nhận xét:
=
=
∃
⇔
=
− +
− +
→
→
→
→
→
x
x x
x
x
x x
x
x
x
0 0
0 0
limf(x)
limf(x),
L limf(x)
* Các định nghĩa x x x x
0 0
limf(x)
, limf(x)
→
→
∞
=
∞
±
=
* Nhận xét trên vẫn đúng cho giới hạn vô cực.
Bài tập áp dụng:
1 Tìm các giới hạn sau:
2
x
1 2x lim d)
; 2
x
1 2x lim c)
; 1
x
2 x lim b)
; 1
x
2 x lim
a)
2
x 2
x
2 (-1)
x
2 (-1)
+
−
+ +
+ +
+
− +
−
→
2 Tìm các giới hạn sau:
1
x
x
- 1 lim d)
; 1 x
1 -x lim c) x 2x
x
- x 5 lim b)
; 1
x
2 3x x lim
a)
3 1
x 2
3 1
x 0
x
2 (-1)
+ +
− +
−
→
3 Cho hàm số
>
=
<
=
2
x khi 4 -x
2
x khi 1
2
x khi x
- 4 f(x)
2
2
Tìm các giới hạn sau (nếu có)
limf(x)
; limf(x)
; limf(x)
2
x 2
x 2
4 Cho thấu kính hội tụ có các tiêu điểm F, F’ với FF’ = 2f Gọi d, d’ lần lượt là khoảng cách từ vật, từ ảnh tới thấu kính.
a) Thiết lập hàm số ϕ (d).
b) Tìm limd→fϕ+ (d); dlim→f ϕ− (d); dlim→+ϕ∞ (d) và giải thích ý nghĩa.
5 Tìm các giới hạn sau:
1 -x
1 -x lim c)
; 1 -x
1 -x lim b)
; 1
x
3 5x 2x lim
a)
2
3 1
x 2
3 1
x
2 (-1)
+ +
6 Ta gọi phần nguyên của số thực x là một số nguyên không vượt quá x và ký hiệu
là [x] Hãy vẽ đồ thị hàm số y = [x] và tìm các giới hạn sau đây (nếu có).
limf(x)
; limf(x)
; limf(x)
5
x 5
x 5
§6 Vài quy tắc tìm giới hạn vô cực:
Trang 6• Định lý: 0.
f(x)
1 lim thì
f(x) lim
0
x
→
→
x
x 0
limf(x)
→ Dấu của L x x
0
limf(x)
→ Dấu của L Dấu của g(x)
g(x)
f(x) lim
0
x
x →
Bài tập áp dụng:
1 Tìm các giới hạn sau:
x
-x 2000 lim
d)
; 2x x
x -2 lim c)
; 1
x
2 x lim b)
; 2) (x
2 x lim
-
x 2
2 0
x
2 (-1)
x 2
2 2
+ +
+
−
2 Tìm các giới hạn sau:
1 4x
7 -3x x lim d)
; 3x x
x
- 9 lim c)
; 3 -4x x
1 -x lim b)
; 2) (x
x
- 4 lim
a)
2
-
x 2
2 0
x 2
2 1
x 2
2 2
+ +
+
→
3 Tìm các giới hạn sau:
3x x lim d)
; 3x x
7 lim c)
; 4x x
3 x lim b)
; 2 x
1 2
1 x
1 lim
a)
2
x 2
0
x 2
2 0
x 2
2
-x
−
− +
+
−
−
∞ +
→
→
→
→
4 Tìm giới hạn:
1
-x
n x x
x lim
1
x
+ + +
→
5 Biết rằng lim (1 x)x e
1
0
→ Tìm các giới hạn:
1
-x
3
x lim d)
; x
1 1 lim c)
; x
1 1 lim b)
; x
1 1 lim
a)
2
x
x
-x
x
x
x
x
x
+
∞ +
→
∞ +
→
∞ +
→
∞ +
+
−
−
+
2x
1 xsin lim a)
x → + ∞
7 Tìm các giới hạn sau:
cos8x -cosx
cos10x -cos3x lim
; sin7x) -x(sin5x
cos5x -cos3x
lim b)
; x
cos5x -cos3x lim
a)
0
x 0
x 2
0
8 Tìm các giới hạn sau:
sinx
1 -2x 6
π sin x 6
π sin 4 lim c)
; x sin
x sin lim b)
; tanx
- 1
cosx -sinx
lim
a)
0
x
x 4
x
+
+ +
→
∞ +
→
→ π
§7 Các dạng vô định:
Trang 7Trong chương trình, ta chỉ xét 4 dạng vô định là , ,0 ,
-0
∞
∞
Nguyên tắc chung để tìm giới hạn của 4 dạng này là phải khử dạng vô định.
Bài tập áp dụng:
1 Tìm các giới hạn sau:
sin
2 x -1 2x lim c)
; 3 -7
x
2 -2
x lim b)
; 2
-x
3 -7
x lim
0
x 2
x 2
+ +
+
+ +
→
→
→
2 Tìm các giới hạn sau:
1
-x
x -5 -7
x lim c)
; 1
x
- 2 4x
2x 3 2x x lim b)
; 2cosx -1
sin3x
lim
1
x 2
2
x 3
x
+ +
+
+ + +
→
∞ +
→
→ π
3 Tìm các giới hạn sau:
x sin
cosx
- 1 lim c)
; x
sin2x -2sinx lim b)
; x xsin
sinx -tanx lim
0
x 3
0
x 2
0
4 Tìm các giới hạn sau:
; 1 -x
x
- 5 -7
x lim b)
; 2
x
- 3x x
-2 3x -5x -3x lim
1
x 2
3
2 3 2
x
+ +
+
→
→
; 3x
x
3 -1 3x -8 5x 4
2x lim d)
; 6x 2x 9x 3x
3
x 3x x lim
0
x 2
3 4
2 3 3
+ +
+
+ +
+ +
+ + +
→
→
; 2
3x -x
3 -15x -6
x
- 5 10x lim f)
; 4 14x 14x
4x
3 6x 5x 2x lim
2
x 2
3
2 3 1
+
+ +
+ +
+ + +
→
→
; 6x -5x
1 2x -1
x lim h)
; 4 -2 -4 3x
1 2x -1 lim
0
x 0
x
+ +
+
+
→
→
; 1
-x
n x x
x lim k)
; x
1 x
x x
lim
i)
n 2
0
x
3 3
3 2 0
x
+ + + +
+ +
→
→
lim m)
; 2x) -(7 3x) (6 2x) (
6) (6x 3) (5x 3) -2x (
lim
x 3
9 5
7 6
4
−
+ +
∞ +
→
∞
+
→
( x 2x 3 - x); p) lim x( 8x -1 - 4x 1)
lim
x
2
∞
→
∞ +
→
( x - x); r) lim x( 4x 1 2x) x
lim
x
2
∞
→
∞ +
→
5 Tìm các giới hạn sau:
1
x
x
x
x lim c)
; 1 2x -x
1 2x -x lim b)
; 16) 12x -(x
2)
x
- (x lim
a)
x 50
100 1
x 10
3
20 2
2
+
+ +
+
→
§8 Hàm số liên tục:
Trang 81 Hàm số liên tục tại một điểm: Hàm số f(x) xác định trên (a; b) và x0 ∈ (a; b).
• f(x) liên tục tại điểm x0 ⇔limf(x) f(x0).
x
x 0
=
→
• Hàm số không liên tục tại x0 được gọi lại gián đoạn tại điểm x0.
2 Hàm số liên tục trên một khoảng:
• Hàm số f(x) có xác định J f(x) liên tục trên J ⇔ f(x) liên tục tại ∀x0 ∈ J.
• Hàm số f(x) xác định trên [a; b], f(x) liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục trên (a; b) và limf(x)x a+ =f(a),limf(x)x b− =f(b)
→
→
giác liên tục trên tập xác định của chúng.
3 Tính chất của hàm số liên tục:
f(b), ∃c ∈ (a; b) f(c) = M.
Ý nghĩa hình học của hệ quả: f(x) liên tục trên [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì đồ
thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại ít nhất một điểm có hoành độ c ∈ (a; b).
Bài tập áp dụng:
1 Xét sự liên tục của hàm số f(x) tại x = x0 đã cho và trên tập R.
0; x , 0
x khi 1
0
x khi 1
-x
cosx -1 f(x) b) 1;
x , 1
x khi 3
1
x khi 1
-x
1 -x f(x)
3 0
3
=
=
≠
=
=
=
≠
=
0; x , 0
x khi 2
0
x khi x
x sinx f(x)
b) 0;
x , 1
x khi 1
0
x khi x
x 3x f(x)
2
=
=
≠
+
=
=
=
≠
=
2
x khi a 3x
2
x khi a
1 -x
f(x)
2
=
<
+
≥
2
x khi 6
x Bcos
2
x 0 khi 6
x Asin
0
x khi cosx 2sinx
f(x)
b)
≥
+
−
<
≤
+
<
+
=
π π
π π
Tìm A, B để f(x) liên tục trên R.
3 Chứng minh rằng phương trình:
a) x4 – 5x + 2 = 0 có nghiệm x0 ∈ (0; 1).
b) x3 + 3x2 – 1 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
c) x3 + ax2 + bx + c = 0 với 4a + 8b + 21c + 2 = 0 luôn có N0 x0 ∈ [-1; 0,5].
Trang 91 Tìm các giới hạn sau:
; 3 3n n
1 4n -n u b)
n
-3 2n n u a) 3 2 n 2 n + + + = + + = ; 3 2n 4 3n -2n u d)
3n
-6 8n 27n u c) 3 3 2 n 2 n − + = + + = ; 1 4n -2n 3 2n n u f)
; 1 4n -2 4n 4n u e) 2 2 n 2 2 n + + + = + + + = ; 5 ) 4 (-5 ) 4 u h)
; 1 4n -2 7n 8n u g) n 5 n 5 2 n 2 n n 2 3 3 n + + + + + + = + + + = ; 3) n.(n 1 5 2 1 4 1 1 u k)
5n; -2 6n 8n 1 3n 9n u i) 2 3 3 n n = + + + + + = + + + + 7n 3n n cos 2008n n sin 2007n u m)
; 1 n cos -2 n cos u l) 2009 2010 2 3 2 2 n n + + = + + = 2 Tìm các giới hạn sau: ; 0) (ab
sinbx sinax lim b)
; 3 9 x sinx lim a) 0 x 0 x ≠ + → → ; x.sinx cos2009x -1 lim d)
; x cosx x 1 lim c) 0 x 2 2 0 x → → + ; 3x sin2x -1 -sin2x 1 lim f)
; cotx -1 x - 2 lim e) 0 x 2 x + → → π π 3 Giải phương trình: 1) x (
3 16 x 1) x - x x - x 1 2x + + 2 3 + 4 5 + + n n + = < 4 Xét tính liên tục của các hàm số sau: 2 -4cosx 1 x cos x 3sin f(x) b)
; 4 8x 8x 4x x
11 8x -2x f(x)
a)
2 3
2 3 4
2
+ + + +
+
=
5 Chứng minh rằng phương trình:
a) sinx – x + 1 = 0;
b) m(x – 1)(x – 2) + (2x – 3)x3 = 0 luôn có nghiệm ∀m;
c) atan2x + btanx + c = 0 có nghiệm trên khoảng k ,k Z
4
;
d) ax3 + bx2 + cx + c = 0 với 0
2
c 9
b 12
a
= + + luôn có nghiệm x0 ∈ (0; 1);
6 Chứng minh rằng phương trình x4 – x – 2 = 0 luôn có N0 x0 ∈ (1; 2) và
7
0 > 8