Một số bất đẳng thức hàm s lồi và áp dụng

Bảng ký hiệuR tập số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclid n chiều Lp[a, b] không gian các hàm khả tích bậc p trên [a, b] Ks1 lớp hàm s-lồi loại một Ks2 lớp hàm s-lồi loại ha

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

PGS.TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN, 5/2019

Mục lục

1 Một số tính chất của hàm s-lồi 5

1.1 Hàm lồi 5

1.1.1 Định nghĩa 5

1.1.2 Tính chất 6

1.2 Hàm s-lồi 8

1.2.1 Định nghĩa, ví dụ 8

1.2.2 Một số tính chất của hàm s-lồi 9

2 Một số bất đẳng thức hàm s-lồi và áp dụng 19 2.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard 19

2.1.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm lồi 19

2.1.2 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm s-lồi 22

2.2 Bất đẳng thức Ostrowski 25

2.2.1 Bất đẳng thức Ostrowski cho hàm lồi 25

2.2.2 Bất đẳng thức Ostrowski cho hàm s-lồi 31

2.3 Áp dụng 36

Bảng ký hiệu

R tập số thực

R+ tập số thực không âm

Rn không gian Euclid n chiều

Lp[a, b] không gian các hàm khả tích bậc p trên [a, b]

Ks1 lớp hàm s-lồi loại một

Ks2 lớp hàm s-lồi loại hai

Io phần trong của tập I

Mở đầu

Hàm lồi và tập lồi đã được nghiên cứu từ lâu bởi H¨older, Jensen,Minkowski Đặc biệt với những công trình của Fenchel, Moreau, Rock-afellar vào các thập niên 1960 và 1970 đã đưa giải tích lồi trở thành mộttrong những lĩnh vực phát triển nhất của toán học Hai tính chất cơ bảncủa hàm lồi là tính chất đạt giá trị lớn nhất trên biên và bất kỳ cực tiểuđịa phương nào cũng là cực tiểu trên tập xác định giúp cho hàm lồi được

sử dụng rộng dãi trong toán học lý thuyết và ứng dụng Bên cạnh đó, một

số hàm không lồi theo nghĩa đầy đủ nhưng cũng chia sẻ một vài tính chấtnào đó của hàm lồi Chúng được gọi là các hàm lồi suy rộng (generalizedconvex function)

Một trong những bất đẳng thức nổi tiếng cho hàm f lồi trên [a, b] ⊂ R

là bất đẳng thức Hermite–Hadamard:

f

a + b2



≤ 1

b − a

Z b a

f (u)du

≤ (b − a)M

hay ở dạng tương đương:

f (u)du

Có rất nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và mở rộng bất đẳng thứcHermite–Hadamard (1) và Ostrowski (4) cho các lớp hàm lồi khác nhau vàđưa ra nhiều ứng dụng trong chứng minh các bất đẳng thức đại số, hìnhhọc, lượng giác khác Đây là một đề tài được nhiều nhà toán học quantâm Do đó, chúng tôi chọn đề tài "Một số bất đẳng thức hàm s-lồi và

áp dụng" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ chuyên ngành Phương pháptoán sơ cấp của tác giả

Mục tiêu của đề tài luận văn là trình bày các kiến thức cơ bản về hàms-lồi, một số tính chất của hàm s-lồi; trình bày một số mở rộng mới củabất đẳng thức dạng Hermite–Hadamard, Ostrowski cho hàm lồi, hàm s-lồi

và áp dụng trong đánh giá một số giá trị trung bình đặc biệt Nội dungcủa luận văn được viết trên cơ sở các bài báo [3], [4], [7] và [8]

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 "Một

số tính chất của hàm s-lồi" trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm lồi,hàm s-lồi, mối liên hệ giữa hàm lồi, hàm s-lồi, đưa ra ví dụ về hàm s-lồi và một số tính chất của hàm s-lồi Chương 2 "Một số bất đẳng thứchàm s-lồi và áp dụng" trình bày một số mở rộng mới của bất đẳng thứcHermite–Hadamard, Ostrowski cho hàm lồi, hàm s-lồi và áp dụng

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường Đạihọc Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập, nghiên cứu.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô trongkhoa Toán - Tin, trong Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn ThịThu Thủy - người đã trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn về kiến thức, tài liệu

và phương pháp để tác giả hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đãđộng viên, cổ vũ, khích lệ và giúp đỡ trong thời gian qua.

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019

Tác giả luận văn

Phạm Thị Thúy Quỳnh

Chương 1

Một số tính chất của hàm s-lồi

Chương này giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hàm lồi, hàm s-lồi

và một số tính chất của hàm s-lồi Nội dung của chương được tổng hợp từcác tài liệu [1], [2] và [7]

1.1 Hàm lồi

1.1.1 Định nghĩa

Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với

0 ≤ λ ≤ 1 gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a và b, và được ký hiệu là [a, b]

Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Tập C ⊆ Rn được gọi là lồi nếu với mọi

λ ∈ [0, 1] và x1, x2 ∈ C thì xλ := λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C

Như vậy, tập lồi C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó

Hình 1.1: Tập lồi Hình 1.2: Tập không lồi

Định nghĩa 1.1.2 (xem [1]) Cho C là một tập con lồi khác rỗng củakhông gian Rn, f : C → [−∞, +∞] là hàm số thực xác định trên tập lồi

C Hàm f được gọi là

(i) hàm lồi trên C nếu với mọi x, y thuộc C và mọi số thực λ thuộc [0, 1]

ta có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.1)(ii) lồi chặt trên C nếu bất đẳng thức (1.1) là chặt với mọi x khác y.Nếu n = 1, Định nghĩa 1.1.2 cho ta định nghĩa về hàm lồi một biến trênR

Định nghĩa 1.1.3 (xem [1]) Hàm f : [a, b] ⊂ R → R được gọi là hàm lồinếu với mọi x, y ∈ [a, b] và λ ∈ [0, 1] thì

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) (1.2)Hàm f được gọi là hàm lõm nếu hàm (−f ) là lồi

Hình 1.3: Hàm lồi.

1.1.2 Tính chất

Sau đây là mối liên hệ giữa hàm lồi và tập lồi

Định lý 1.1.4 (xem [1]) Giả sử hàm f : Rn → [−∞; +∞] là một hàm lồitrên Rn và λ ∈ [−∞; +∞] Khi đó các tập

Cλ = x : f (x) < λ , Cλ = x : f (x) ≤ λ

là các tập lồi

Tập Cλ, Cλ trong Định lý 1.1.4 gọi là các tập mức dưới

Định lý 1.1.5 (xem [1]) Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong Rn và

f : Rn → R là một hàm lồi Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên Cđều là cực tiểu toàn cục

Chứng minh Giả sử x0 ∈ C là một điểm cực tiểu địa phương của hàm

f trên C và U (x0) là một lân cận của x0 sao cho f (x0) ≤ f (x) với mọi

x ∈ C ∩ U (x0) Với mọi x ∈ C ta có

xλ = λx + (1 − λ)x0 ∈ C ∩ U (x0) với mọi λ > 0 đủ bé

Khi đó,

f (x0) ≤ f (xλ) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (x0)hay f (x0) ≤ λf (x) Do λ > 0 nên f (x0) ≤ f (x) Vì x ∈ C được chọn tùy

ý nên x0 là điểm cực tiểu toàn cục của f trên C Định lý 1.1.6 (xem [1]) Một hàm lồi chặt f trên một tập lồi C có nhiềunhất một điểm cực tiểu trên C

Chứng minh Nếu f có hai điểm cực tiểu khác nhau x1, x2 ∈ C thì dotính lồi chặt của f ,

Ví dụ 1.1.7 Hàm lồi chặt một biến f (x) = x2 có duy nhất một điểm cựctiểu x0 = 0 Hàm lồi chặt f (x) = ex, x ∈ R không có điểm cực tiểu nào.Sau đây là mối liên hệ giữa hàm lồi n biến và hàm lồi một biến

Định lý 1.1.8 (xem [1]) Hàm f (x), x ∈ Rn là hàm lồi khi và chỉ khi hàmmột biến ϕ(λ) := f (x + λd) là hàm lồi theo λ với mỗi x, d ∈ Rn.

Chứng minh Điều kiện cần là rõ ràng Ta chứng minh điều kiện đủ.Giả sử ϕ là hàm lồi với mọi x, d ∈ Rn Lấy x, y bất kỳ thuộc Rn và đặt

d = x − y Khi đó với mọi λ ∈ [0, 1] ta có

Trong mục này ts sử dụng ký hiệu R+ = [0, +∞)

Định nghĩa 1.2.1 (xem [7]) Hàm f : R+ → R được gọi là

(i) hàm s-lồi loại một nếu

f (αx + βy) ≤ αsf (x) + βsf (y) (1.3)với mọi x, y ∈ R+ và mọi α, β ≥ 0 với αs+ βs = 1, s ∈ (0, 1]

(ii) hàm s-lồi loại hai nếu bất đẳng thức (1.3) thỏa mãn với mọi x, y ∈ R+,

và mọi α, β ≥ 0 với α + β = 1, s ∈ (0, 1]

Ký hiệu lớp hàm s-lồi loại một là Ks1, lớp hàm s-lồi loại hai là Ks2.Nhận xét 1.2.2 Dễ thấy rằng khi s = 1 thì hàm s-lồi (loại một, loại hai)trở thành hàm lồi một biến thông thường xác định trên [0, +∞)

Ví dụ 1.2.3 Cho s ∈ (0, 1) và a, b, c ∈ R Ta định nghĩa hàm f từ [0, +∞)vào R như sau:

Khi đó,

(i) Nếu b ≥ 0, c ≤ a thì f ∈ Ks1

(ii) Nếu b ≥ 0 và 0 ≤ c ≤ a thì f ∈ Ks2

Chứng minh (i) Ta xét hai trường hợp sau đây:

(a) Nếu u, v > 0, thì αu + βv > 0 và



bvs+ c



= αsf (u) + βsf (v).(b) Nếu v > u = 0 và β > 0 thì

(ii) Nếu f ∈ Ks2 thì f là hàm không âm trên [0, +∞)

Chứng minh (i) Với u > 0 và α ∈ [0, 1] ta có

f α1/s+ (1 − α)1/s
u ≤ αf (u) + (1 − α)f (u) = f (u)

Hàm h(α) = α1/s+ (1 − α)1/s liên tục trên [0, 1], giảm trên [0,1

2], tăng trên[1

2, 1] và h([0, 1]) = [h(

1

2), h(1)] = [21−1s, 1] Từ đây suy ra

f (xu) ≤ f (u) ∀x > 0, x ∈ [21−1s, 1] (1.4)

Nếu x ∈ [22(1−1s), 1] thì x1/2 ∈ [21−1s, 1] Do đó từ (1.4) ta có với mọi u > 0

Như vậy f là hàm không giảm trên (0, ∞)

Phần thứ hai của (i) được chứng minh như sau: với u > 0 ta có

f (αu) = f (αu + β0) ≤ αsf (u) + βsf (0)

Cho u → 0+ trong bất đẳng thức trên ta nhận được

lim

u→0 +f (u) ≤ lim

u→0 +f (αu) ≤ αs lim

(ii) Nếu 0 < s < 1 thì hàm f ∈ Ks1 không giảm trong khoảng (0; +∞),nhưng không đúng trong nửa đoạn [0; +∞)

Định lý 1.2.6 (xem [7]) Cho 0 < s ≤ 1 Nếu f, g ∈ Ks1 và nếu

F : R2 → R là hàm không giảm và lồi theo từng biến thì:

(i) Hàm h : R+ → R xác định bởi h(u) = F f(u), g(u)
là hàm thuộc lớp

Ks1

(ii) Các hàm f + g, max{f, g} cũng thuộc lớp Ks1.

Chứng minh (i) Lấy tùy ý u, v ∈ R+ Với mọi α, β ≥ 0 thỏa mãn

(i) Nếu f ∈ Ks1 thì bất đẳng thức (1.3) thỏa mãn với mọi u, v ∈ R+ vàvới mọi α, β ≥ 0 sao cho αs+ βs ≤ 1 khi và chỉ khi f (0) ≤ 0

(ii) Nếu f ∈ Ks2 thì bất đẳng thức (1.3) thỏa mãn với mọi u, v ∈ R+ và

α, β ≥ 0 với α + β ≤ 1 khi và chỉ khi f (0) = 0

Chứng minh (i) Điều kiện cần thỏa mãn khi u = v = 0 và α = β = 0.Ngược lại, giả sử u, v ∈ R+ α, β ≥ 0 và 0 < γ = αs + βs < 1 Đặt

a = αγ−1/s và b = βγ−1/s Khi đó as+ bs = αs/γ + βs/γ = 1 và do đó ta

≤ ashγsf (u) + (1 − γ)sf (0)

i+ bs

(i) Giả sử 0 < s ≤ 1 Nếu f ∈ Ks2 và f (0) = 0 thì f ∈ Ks1

(ii) Giả sử 0 < s1 ≤ s2 ≤ 1 Nếu f ∈ K2

(ii) Giả sử f ∈ Ks22 và u, v ≥ 0, α, β ≥ 0 với α + β = 1 Khi đó,

+ f  1 + t

dx.Khi đó,

(i) F là hàm s-lồi loại hai trên [0, 1]

(ii) Hàm F đơn điệu tăng trên [0, 1]

Chứng minh (i) Với mọi α, β ≥ 0, α + β = 1 và t1, t2 ∈ [0, 1] ta có

F (αt1 + βt2) = 1

b − a

Z b a

+ 1

b − a

Z b a

2 b +

(1 − t1)

2 x

dx+ β

2 b +

(1 − t2)

2 x

dx

=

Z b a

ta suy ra

F (t1) = 1

b − a

Z b a

2 b +

1 − t2

2 (b + a − x)

i

Vì f là hàm s-lồi loại hai trên [a, b], nên

F (t1) ≤ 1

b − a

Z b a

≤ 1

b − a

Z b a

dx = F (t2)

Định lý 1.2.10 (xem [7]) Cho 0 < s < 1 và cho p : R+ → R+ là hàmkhông giảm Khi đó, hàm f được xác định với u ∈ R+ bởi

f (u) = us/(1−s)p(u) (1.6)thuộc vào Ks1

Chứng minh Cho v ≥ u và α, β ≥ 0 với αs+ βs = 1 Ta sẽ xét hai trườnghợp

(a) Cho αu + βv ≤ u Khi đó

f (αu + βv) ≤ f (u) = (αs + βs)f (u) ≤ αsf (u) + βsf (v)

(b) Cho αu + βv > u Điều này suy ra βv > (1 − α)u và β > 0 Vì α ≤ αsvới α ∈ [0, 1] nêm ta có α − αs+1 ≤ αs− αs+1 và

α/(1 − α) ≤ αs/(1 − αs) = (1 − β2)/βstức là

(αu + βv)s/(1−s) ≤ βsvs/(1−s) (1.8)

Áp dụng (1.8) cùng tính đơn điệu của p, ta có

f (αu + βv) =(αu + βv)s/(1−s)p(αu + βv)

≤βsvs/(1−s)p(αu + βv) ≤ βsvs/(1−s)p(v)

=βsf (v) ≤ αsf (u) + βsf (v),

ta kết thúc chứng minh

Chú ý 1.2.11 Với 0 < s < 1, các hàm trong Ks1 không nhất thiết liên tụctrên (0, ∞)

Ví dụ 1.2.12 Cho 0 < s < 1 và k > 1 Với mỗi u ∈ R+, định nghĩa

kas/(1−s) ≤ αs+ k(1 − α)s[(a − α)/(1 − α)]s/(1−s) (1.9)với mọi a > 1 và mọi 0 ≤ α ≤ 1

Định nghĩa các hàm

fα(a) = αs + k(1 − α)[(a − α)/(1 − α)]s/(1−s) − kas/(1−s)

Các hàm này liên tục trên khoảng (α, ∞) và

g(α) = fα(1) = αs+ k(1 − α)s− k

Hàm g liên tục trên [0, 1] và g(1) = 1 − k < 0 Do đó, tồn tại một số α0,

0 < α0 < 1 sao cho g(α0) = fα 0(1) < 0 Tính liên tục của fα 0 được suy ra

từ việc fα0(a) < 0 với a > 1, tức là bất đẳng thức (1.9) không thỏa mãn.Điều này có nghĩa là f /∈ K2

f (0) ≤ 0 = g(0) thì hàm hợp f ◦ g của f với g thuộc vào Ks1 với

s = s1s2

(ii) Giả sử 0 < s1, s2 < 1 Nếu f và g là các hàm không âm sao cho hoặc

f (0) = 0 và g(0+) = g(0) hoặc g(0) = 0 và f (0+) = f (0) thì tích f gcủa f và g thuộc vào Ks1 với s = min(s1, s2)

Chứng minh (i) Lấy u, v ∈ R+ và α, β ≥ 0 với αs + βs = 1, trong đó

s = s1s2 Vì αsi+βsi ≤ αs 1 s 2+βs1 s 2 với i = 1, 2, do đó theo Định lý 1.2.7(a)

và các giả thiết ta có

f ◦ g(αu + βv) =f (g(αu + βv)) ≤ f (αs2g(u) + βs2g(v))

≤αs1 s 2f (g(u)) + βs1 s 2f (g(u)) = αsf ◦ g(u) + βsf ◦ g(v),điều này tức là f ◦ g ∈ Ks1

(ii) Theo Định lý 1.2.4, cả hàm f và g không giảm trên (0, ∞) Do đó

(f (u) − f (v))(g(v) − g(u)) ≤ 0

và tương đương với

f (u)g(v) + f (v)g(u) ≤ f (u)g(u) + f (v)g(v) (1.10)với mọi v ≥ u > 0 Nếu v > u = 0 thì bất đẳng thức (1.10) vẫn đúng vì

f, g là các hàm không âm và hoặc f (0) = 0 và g(0+) = g(0) hoặc g(0) = 0

và f (0+) = f (0) Bây giờ, cho u, v ∈ R+ và α, β ≥ 0 với αs+ βs = 1, trong

đó s = min(s1, s2) Khi đó, αsi + βsi ≤ αs+ βs = 1 với i = 1, 2 và từ Định

2.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard

2.1.1 Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm lồi

Một trong những bất đẳng thức nổi tiếng cho hàm lồi là bất đẳng thứcHermite–Hadamard Bất đẳng thức này được nêu trong định lý sau

Định lý 2.1.1 (xem [5, The Hermite–Hadamard Integral Inequality]) Cho

f là một hàm lồi trên [a, b] ⊂ R, a 6= b Khi đó

f

a + b2



≤ 1

b − a

Z b a

f (x)dx ≤ f (a) + f (b)

2 . (2.1)Bất đẳng thức (2.1) có thể viết lại dưới dạng:

Chứng minh Vì hàm f lồi trên đoạn [a, b], nên với mọi λ ∈ [0, 1] ta có

f  a + b

2



≤ 12

Bất đẳng thức thứ nhất của (2.1) được chứng minh 

Ký hiệu Lp[a, b] là không gian các hàm khả tích bậc p (1 ≤ p < ∞) trênđoạn [a, b], nghĩa là nếu f (x) ∈ Lp[a, b] thì

Z b a

|f (x)|pdx < ∞

Nhận xét 2.1.2 (xem [6]) Giả sử f : [a, b] ⊂ R → R là hàm khả vi trên[a, b] với a < b Nếu f0 ∈ L1[a, b] thì

ϕ(x)dx ≥ ϕ a + b

2



Sử dụng định nghĩa của hàm ϕ ta thu được:

f (x)dx ≥ 0

Định lý 2.1.4 ([6, Định lý 26]) Giả sử f : [a, b] ⊂ R → R là hàm khả vitrên [a, b] và p > 1 Nếu |f0| là q-khả tích trên [a, b], trong đó 1

p +

1

q = 1,thì

≤ 12

(2.6)Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức H¨older với p > 1 và q > 1 thỏa

x − a + b

2

Z 1 0

(t − 1)2

≤ (b − a)

2

16

Z 1 0

t2

h

ts

f00(a + b

2 )

+ (1 − t)s|f00(a)|

idt+ (b − a)

2

16

Z 1 0

(t − 1)2

h

ts|f00(b)| + (t − 1)s

f00(a + b

2 )

idt

f (x)dx

... s- lồi, đưa ví dụ hàm s- lồi s? ?? tính chất hàm s- lồi Chương " ;Một s? ?? bất đẳng thứchàm s- lồi áp dụng& #34; trình bày s? ?? mở rộng bất đẳng thứcHermite–Hadamard, Ostrowski cho hàm lồi, hàm s- lồi áp. .. ∈ R+ α, β ≥ < γ = αs< /sup> + βs< /sup> < Đặt

a = αγ−1 /s< /sup> b = βγ−1 /s< /sup> Khi as< /sup>+ bs< /sup> = αs< /sup>/γ + βs< /sup>/γ... với s = min (s< sub>1, s< sub>2)

Chứng minh (i) Lấy u, v ∈ R+ α, β ≥ với αs< /sup> + βs< /sup> = 1,

s = s< sub>1s< sub>2 Vì αs< /sup>i+βs< /sup>i