Giáo trình toán cao cấp 2

Trang thOng tin giao trinh Thong tin cac sai sot: Chung toi se dang cac loi, cac ban dinh chinh te;ii trang thong tin nay.. Trang iv 3 Khong gian vector 3.1 Khai ni~m khong gian vector.

,

1 I tH.IONG £/Al HQC CONG NGli i ~ P iP.~f': • J;

NHA XUAT BAN DAI HOC CONG NGHIEP

THANH PHO HO CHI MINH

'

Duc;1c st! dong y cua Ban giam hi~u ciing nhu cua Ban Hinh d~o Khoa Khoa h9c Co ban, cung voi St! g6p y cua cac th§.y c6 giao trong b(> m6n Toan, nh6m tac gia xin gioi thi~u den cac th§.y c6 va cac em sinh vien giao trinh Toan cao c~p 2 (D~i s6 tuyen tinh)

Ngay nay, D~i s6 tuyen tinh duc;1c ung d9ng vao hang lo~t linh V\!C khac nhau, tu khoa h9c may tinh, kinh te, ky thu~t, Vi v~y m6n h9c nay da tr6 thanh m(>t m6n h9c bat bu(>c cho h§.u het sinh vien b~c d~i h9c N(>i dung giao trinh du<;1c chia thanh 5 chuong:

Chuong 1 Ma tr~n

Chuong 2 H~ phuong trinh tuyen tinh

Chuong 3 Khong gian vector

Chuong 4 Anh x~ tuyen tinh

Chuong 5 D~ng toan phuong

Cac kien thuc duc;1c trinh bay ngan g9n kem theo cac vi d9 minh h9a c6 loi giai chi tiet De giao trinh khong qua n~ng tinh ly thuyet, h§.u het cac chung minh cua cac dinh ly kh6ng duc;1c trinh bay, cac em sinh vien quan tam c6 the xem them trong cac tai li~u tham khao duc;1c neu 6 cu6i giao trinh Sau moi chuang deu c6 cac bai t~p tt! lu~n va trac nghi~m sat voi chu~n d§.u

ra cua m6n h9c

Nh6m tac gia xin chan thanh cam an Ban lanh d~o Khoa Khoa h9c co ban da t~o m9i dieu ki~n de nh6m tac gia hoan thanh tai li~u nay, d6ng thoi cam an nhfrng nh~n xet, g6p y va phan bi¢n cua cac dong nghi~p de quyen giao trinh duc;1c hoan thi~n hon Nh6m tac gia hy v9ng r~ng giao trinh nay

se la nguoi b~n d6ng hanh va giup ich nhieu cho sinh vien va giang vien trong qua trinh d~y va h9c m6n Toan cao c~p 2

Tran tr9ng !

Thanh ph6 Ho Chi Minh, thang 10 nam 2022

Cac tac gia

Trang thOng tin giao trinh

Thong tin cac sai sot: Chung toi se dang cac loi, cac ban dinh chinh te;ii trang thong tin nay

Cac tac gia

Muc luc • •

Loi n6i dau

Trang thong tin giao trinh

M1=1c l1=1c

1 Ma tran

1.2 Cac phep toan tren ma tr~n

1.3 Cac phep bi~n d6i so cap tren ma tr~n

1.4 Ma tr~n b~c thang va b~c thang rut gQn

1.5 Dinh thuc cu.a ma tr~n

1.5.1 Cac tinh chat co ban cu.a dtnh thuc

1.5.2 Cong thuc Laplace mo n)ng

1.6 H9-ng cu.a ma tr~n

1.7.1 Tim nghich dao bang phep bi~n d6i tren dong

1.7.2 Tim nghich dao bang ma tr~n ph1=1 hqp

1.8.1 Bai t~p tl;t' lu~n 1

1.8.2 Bai t~p tr~c nghi~m chuong 1

2 H~ phll'<1ng trinh tuyJn tinh

2.1 H~ phuong trinh t6ng quat

2.2 H~ phuong trinh Cramer

2.3 Giai h~ bang phuong phap Gauss

2.4 H~ phuong trinh thuan nhat

2.4.1 Nghi~m co ban cu.ah~ thuan nhat

2.4.2 Cau true nghi~m

2.5 Bai t~p chuong 2

2.5.1 Bai t~p tl;t' lu~n chuong 2

2.5.2 Bai t~p tr~c nghi~m chuong 2

Trang iv

3 Khong gian vector

3.1 Khai ni~m khong gian vector

3.2 StJ d(k l~p tuyJn tinh, ph1:1 thu(>c tuyJn tinh

3.2.1 T6 hqp tuyen tinh

3.2.2 D(>c l~p tuyen tinh va ph1:1 thu(>c tuyen tinh

3.2.3 H~ vector trong Rn

3.3 S6 chi~u va co so cu.a khong gian vector

3.3.1 Khong gian sinh boi m(>t h~ vector

3.3.2 S6 chi~u va co so

3.4 T9a d(> cu.a vector

3.4.1 T9a d(> cu.a vector d6i vai m(>t co so

3.4.2 T9a d(> cu.a vector trong cac co so khac nhau

3.5 Khong gian Euclide

3.6 Bai t~p chuong 3

3.6.1 Bai t~p ttJ lu~n 3

3.6.2 Bai t~p trac nghi~m chuong 3

4 Anh x~ tuyJn tinh

4.1 Khai ni~m anh Xe;¼ tuyen tinh

4.2 Nhan va anh cu.a anh Xe;¼ tuyen tinh

4.3 Ma tr~n cu.a anh Xe;¼ tuyen tinh

4.4 Tri rieng, vector rieng

4.4.1 Khong gian con rieng

4.5 Cheo h6a ma tr~n vuong

4.5.1 Ma tr~n lam cheo h6a ma tr~n vuong

4.5.2 Thu~t toan cheo h6a ma tr~n vuong

4.6 Bai t~p chuong 4

4.6.1 Bai t~p ttJ lu~n chuong 4

4.6.2 Bai t~p trac nghi~m chuong 4

5 D~ng toan phuong

5.1 Khai ni~m d9-ng toan phuong

5.1.1 D9-ng song tuyJn tinh

5.1.2 D9-ng toan phuong

5.1.3 De;lng toan phuong chinh tac

5.2 Dua d9-ng toan phuong v~ d9-ng chinh tac

5.2.1 Phuong phap chung

5.2.2 Thu~t toan cheo h6a trl.JC giao

5.2.3 Thu~t toan Lagrange

5.2.4 Thu~t toan Jacobi

5.2.5 Thu~t toan bien d6i so ccip ma tr~n d6i xung

5.3 Lu~t quan tinh dc;tng toan phuong xac dtnh d~u

5.3.1 Lu~t quan tinh

5.3.2 Dc;tng toan phuong xac dtnh d~u

5.5.1 Bai t~p ttJ lu~n chuong 5

5.5.2 Bai t~p trac nghi~m chuong 5

Dap an bai t~p trac nghi~m

Tai li~u tham khao

aml am2 amn

Ma tran · A nhu tren duoc viet gon la · · A = (a1· 1 ·) mxn

• Cac s6 thvc aiJ duqc g9i la cac ph§.n tu cua ma tr~n (aii)m x n n~m 6 dong thu i va c9t thu j

• Ma tr~n co m = n duqc g9i la ma tr~n vuong Cac ky hi~u ( aij) n x n va

Mnxn(JR) duqc viet g9n la (aiJ)n va Mn(JR)

• T~p hqp cac ma tr~n c~p m x n tren JR duqc ky hi~u la Mmxn(JR)

• Ma tr~n co t~t ca cac ph§.n tu d~u b~ng O duqc g9i la ma tr~n khong,

ky hi~u la O = (Oij )m x n·

Vi dt_t 1.1 Xet ma tr~n A= (~ -;2 ~), ta c6 A E M2x3(R) vii

Trang 2

Xetma tr~n

a11 a12 a21 a22

A=

ail ai2

am1 am2

a1j a2j

ain d l ·

amn

• Duong cheo chua cac phcln tu an, a22, , ann cua ma tr~n vuong A =

( aij) n duqc gQi la duong cheo chinh cua A I duong cheo con l<;1.i duqc g9i la duong cheo pht;1

• Ma tr~n vuong A= (aij)n co t§.t ca cac phcln tu nam ngoai duong cheo chinh d~u bang O duqc g9i la ma tr~n duong cheo (hay g9i t~t la ma tr~n cheo), ky hi~u la A = diag(a11 a22 · · · ann)

Vi du 1.2 B = ( ~1 0~ 0~) la ma tr~n cheo

• Ma tr~n duong cheo c§.p n g6m t§.t ca cac phcln tu nam tren duong

cheo chinh d~u bang 1 duqc g9i la ma tr~n don vi c§.p n (g9i t~t la ma tr~n don vi), ky hi~u la In (hay I khi khong bi nhclm 1a:n)

Vi d~ 1.3 Ii= G ~), 13 = G I ~) Iii cac ma tr~n don vj

• Ma tr~n vuong co t§.t ca cac phcln tu nam phia duai (tuang ung, tren) duong cheo chinh d~u bang O duqc g9i la ma tr~n tam giac tren (tuang ung, duai)

1.2 Cac phep toan tren ma tr~n Trang3

Vi dl;J 1.4 C = 0 1 0 la ma tr~n tam giac tren

0 0 2 ( 3 0 0)

D = 4 0 0 la ma tr~n tam giac duoi

A = B khi va chi khi x = 0 I y = -1 z I = 2 u I = 2 I t = 3 •

Cho hai ma tr~n A= (aij)m x n va B = (bij)m x n' ta dtnh nghia

Tinh chit 1.2 Phip nhan v6 huang c6 tinh phan ph6i d6i vai phep c9ng ma tr~n

A(A + B) =AA+ AB= (A+ B)A, A E lR (1.4)

1.2 Cac phep toan tren ma tr~n Trang 5

• Di~u ki~n de phep nhan AB thvc hi~n duqc la s6 c9t cua ma tr~n A

(ma tr~n tru6c) bang s6 dong cua ma tr~n B (ma tr~n sau)

• Tich cua hai ma tr~n khac khong c6 the la m9t ma tr~n khong

• Phep nhan hai ma tr~n, n6i chung, khong c6 tinh ch~t giao hoan Tuy nhien, ta c6 truang hqp d~c bi~t la

(aij\In = In(aij)n = (aij)n

• Nh~n xet 1.1

• S6 dong cua ma tr~n tich AB bang s6 dong cua ma tr~n A , s6 CQt cua

ma tr~n tich AB bang s6 c9t cua ma tr~n B

(1 2) (! ~ !) = ( (1.3 + 2.6) (1.4 + 2.7) (1.5 + 2.8))

= (15 18 21)

i (AB)C = A(BC) (tinh chdt kit hqp),

zz A(B + C) =AB+ AC (tinh chdt phan ph6i ben trai),

uz (A+ B)C =AC+ BC (tinh chdt phan ph6i ben phai),

iv A(AB) = (AA)B = A(AB),

v Aln =A= ImA, vcri A E Mmxn(R)

Vi d1:11.14 Thvc hi~n phep tinh sau:

1.2 Cac phep toan tren ma tr~n Trang 7

Giai Thvc hi~n phep nhan truoc va cc)ng sau, ta co:

Ca.ch khac: Su dvng tinh ch~t phan ph6i ben phai, ta duqc

Vi d1;1 1.15 Thvc hi~n phep tinh sau:

Giai Thvc hi~n phep nhan tu trai sang phai, ta co

A=

Ca.ch khac: Thvc hi~n phep nhan tu phai sang trai, ta co

Cho ma tr~n A E Mn (R) khac ma tr~n khong Luy thua ma tr~n A

duqc dinh nghia theo quy n~p nhu sau

A 0 = In A, 1 = A Ak+l , = AkA = AAk , k EN

Trang 8 Chuang 1 Ma tr~n

• N~u ton te;ii s6 tv nhien k sao cho A k = ( Oij) n thi ma tr~n A duqc gQi la

ma tr~n luy linh

• Gia sir A la ma tr~n luy linh, n~u k la s6 tv nhien be nh~t sao cho

Ak = (Oij)n thi k dttqc gQi la c~p cua ma tr~n A

Vi d1,1 l.l6 Tun cilp clla ma tr¥l liiy linh A= G ~ D

l (In)k = In, Vk EN,

zz Ak+m = Ak.Am (Vk,m E N;VA E Mn(IR) khackh6ng),

zzz Akm = (Ak)m (Vk, m EN; VA E Mn (JR) khac kh6ng)

Vi d1;11.17 Luy thua cua ma tr~n cheo

1.2 Cac phep toan tren ma tr~n Trang 9

A 1 = (cos la:

sin la:

- sin la:) cos la:

A 2 = (c?s a: - sin a:) (c?s a: - sin a:)

sin a: cos a: sm a: cos a:

( cos

2 a: - sin2 a: - 2 sin a: cos a:) = (cos 2a:

2 sin a: cos a: cos2a: - sin2a: sin 2a:

A k = (cos ka: - sin ka:)

sin ka: cos ka:

Voi n = k + l, tu (1.6) ta co

- sin2a:) cos 2a:

(c?s ka: - sin ka:) (c?s a: - sin a:) sin ka: cos ka: sin a: cos a:

(

cos(k + 1 )a: - sin(k + 1 )a:) sin(k + 1 )a: cos(k + 1 )a:

Va An = (c?s na: - sin na:) I n EN

· Y sin na: cos na:

a21 = ( -1 )2+1 = -1, a22 = 1, , a239 = -1, a240 = 1

Cac ph~n tu tren c(>t thu 5 cua A la:

a1s = ( -1) i+s = 1, a2s = -1, , a395 = 1, a4os = -1

V~y tt2s = -1.1 + 1(-1) + · · · + (-1).1 + 1(-1) = -40

1.2 Cac phep toan tren ma tr~n Trang 11

Vi dl;l 1.24 Cho ma tr~n A= (aij) 100 co cac ph§.n tu aij = (-l)ij Tim ph§.n

tu LX76 cua ma tr~n A 2

Giai Ph§.n tu a'.76 c§.n tim la tich dong thu 7 cua Ava CQt thu 6 cua A Cac ph§.n tu tren dong thu 7 cua A la:

an= (-1)7.1 = -1,an = -2, ,a799 = -99,anoo = -100

Cac ph§.n tu tren CQt thu 6 cua A la:

a16 = (-1)1.6 = -6, a26 = 6, , a996 = -6, a1006 = 6

Cho ma tr~n A E Mm X n (JR) Ma tr~n chuyen vt cua ma tr~n vuong

A, ky hi~u AT, Ia m9t ma tr~n c'1p n x m nh~n duqc tu A bang each chuyen t'1t ca cac dong trong A thanh cac CQt tuang Ung cua AT Phep bi~n dcii A thanh ma tr~n AT duqc g9i la phep chuyen vt

Vi d1:11.26 Ma tr~n chuy~n vj ctia A= G ~ !) Ia AT= 0 D ·

Tinh ch~t 1.5 (Chuyen vi)

i (A+ B)T =AT+ BT, A, BE Mm x n(JR),

V~y BT AT= (AB)T

1.3 Cac phep bi~n doi SO' c&p tren ma tr~n

Djnh nghia 1.1 Cho ma tr~n A= (aij)m x n(m > 2) Ta g9i phep bien doi sa clip dong tren A la m9t trong cac dt;mg sau:

1.3 Cac phep bi~n dBi S<1 clp tren ma tr~n Trang 13

l Hotin vj dong i va dong k cho nhau di ma trqn A tra thanh ma trqn BI ky

• Ma tr~n sau khi bien d6i, noi chung, khong b~ng ma tr~n h.ic d~u

• Trong d~ng bien d6i iii) 6 tren, s6 thvc A co the la 0

h h ' nh h ' l' A di-+fldi+.Adk

• Trong t vc a tat uong am g(>p - - - - E

• Tuong tv, ta ciing co cac phep bien d6i so cclp tren c(>t cua ma tr~n (tru cac truong hqp: thu~t toan tim ma tr~n nghich dao (trang 21) va giai h~ phuong trinh tuyen tinh (chuong 2))

Vi dl;l 1.28 Dung cac phep bien d6i so cclp tren dong de dua ma tr~n sau day v~ ma tr~n tam giac tren

Giai Thvc hi~n phep hoan vi dong 1 va dong 2, ta duqc:

Thvc hi~n lien tiep hai phep bien d6i dong 2 va dong 3, ta duqc

-2

!7)

1 d2-+d2-2d1 5 -1 d3-+d3 -3d1 5 -7

Cu6i cung, tru dong 3 vai dong 2 ta duqc ma tr~n tam giac tren:

• Ph§.n tu khac 0 d§.u tien tinh ht trai sang phai cu.a m<)t dong duqc gQi

la ph§.n tu co so cu.a dong do

Dinh nghia 1.2 (Ma tr~n b~c thang) Ma tr~n b~c thang la ma tr~n khac kh6ng c6 cdp thoa ca hai diiu ki¢n sau

i cac dong biing kh6ng (n€u c6) niim a duai cac dong khac kh6ng,

ii phdn tit ca sa cua m9t dong bdt ky (trit dong thu nhdt) diu niim ben phai phdn tit ca SO' cua dong a phia tr e n dong d6

Vi d\J 1.30 Cac ma tr~n sau la b~c thang:

1.5 Dinh thtrc cua ma tran Trang 15

Djnh ly 1.1 M9i ma tr~n diu c6 thl dua duqc vi ma tr~n b~c thang biing m9t s6

hitu hr;m cac phep biin ao'i sa etip

Vi d1:11.32 Qung cac phep bi~n doi so c~p d~ dua ma tr~n sau day vJ ma tr~n b~c thang

0 duy nhdt cua c9t chua phdn tu d6

Vi d1:11.33 Cac ma tr~n sau la cac ma tr~n b~c thang nit g9n:

Ma tr~n vuong c~p k duqc 1<%p tu cac ph§.n tu n~m tren giao k dong va k c(>t

cua ma tr<%n A E Mm xn (R) duqc g9i la ma tr<%n con c~p k cua A (l < k <

min{m, n} )

D~c bi~t, n~u A= (aij)n (n > 2) thi ma tr<%n con co c~p n - l, ky hi~u la

Mij, thu duqc tu A bang each b6 di dong thu i va c(>t thu j duqc g9i la ma tr<%n con cua A ung voi ph§.n tu aij·

Dinh nghia 1.4 (Dinh thuc) Dfnh thuc cua ma tr~n A = ( aij) n' ky hi¢u la det A

hay I A I, la m9t s6 thl:fc du(Jc di nh nghia quy nflp theo n nhu sau

• Niu n = l thi detA = la11I = a11;

2 1 1

= l.A11 + 2.A12 + (-l).A13

= (-1)1+1IM11I +2(-1)1+2IM12I - (-1)1+3IM13I -2 1 3 1 3 -2

= 1 1 - 2 2 1 - 2 1

= -3 - 2.1 + (-1).7 = -12

1.5 Dfnh thfrc cua ma tr~n Trang 17

Dinh thuc cu.a ma tr~n vuong c~p 3 con duqc tinh b~ng cong thuc

(xem hlnh 1.1),

detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32

- a31a22a13 - a32a23a11 - a33a21a12

+ + +

/ /

a21 a22 a23 a21 a22

/

/ /

a31 a32 a33 a31 a32

Hinh 1.1: Quy t~c Sarius

Vi dl;l 1.37 Trong vi d\11.36, ap d\1-ng quy t~c sau duong cheo, ta c6:

Trang 18 Chuang 1 Ma tr~n

1.5.1 Cac tinh ch~t ca ban cua djnh thfrc

Cho ma tr~n A E Mn (JR), ta co cac tinh ch§.t co ban cu.a bi~n d6i tren dong

x+l X x3 1 X x3

x+l y y3 = (x + 1) 1 y y3

x+l z z3 1 z z3

• Dinh thuc c6 it nhcit m(>t dong (hay m(>t c(>t) b~ng khong thi b~ng 0

• Dinh thuc c6 hai dong (hay hai c(>t) ti 1~ voi nhau thi b~ng 0

Vi d\11.42 Cac dinh thuc

Vi d\l 1.44 Dung tinh chcit 5, dua dinh thuc sau v~ d9-ng tam giac tren:

1 2 3 /).= -1 2 -1

ail ai2 ac ain l

G9i Aij = (-l)i+j det(Mij) la phi1n bu d<;1i s6 cua phi1n tu aij, ta co cong thuc khai trien Laplace nhu sau

• Khai trien det A theo dong thu i

• Khai trien det A theo c<)t thu j

a Khai trien f),, theo dong 1

b Khai trien f),, theo CQt 2

Trang 22 Ch1.tO'ng 1 Ma tr~n

i Dinh thuc cua ma tr~n duong cheo chinh, ma tr~n tam giac bang tich cac ph~n tu tren duong cheo chinh

ii Neu A, B Ia hai ma tr~n vu6ng cung c§.p thi

det(AB) = det A det B (1.10)

iii Neu A va C la hai ma tr~n vu6ng, 0 la ma tr~n kh6ng va B Ia

ma tr~n tuy y (c6 c§.p phu hqp) thi ta c6 d<;1.ng chia kh6i

* = * =detAdetC 1v detAT = detA

V Neu ma tr~n A Iuy linh thi det A = 0

Giai Dinh thuc da cho c6 d<;1.ng chia kh6i, nen ta co

3 1 2 1 4

2 0 0 4 0

1.5 Djnh thfrc cu.a ma tr~n Trang 23 Giai Hoan vi c9t va dong nhu sau:

1.5.2 Cong thfrc Laplace mo' r9ng

Cho ma tr~n A= (aij)n Xet k dong va k c9t nhu sau:

i1 < i2 < < ik va ji < h < · · · < ik•

• Dinh thuc /3 cu.a ma tr~n con c§.p n - k nh~n duqc tu A b~ng each b6

di k dong va k c9t a tren duqc g<;>i la dinh thuc con bu cu.ab

• D<;1.i luqng

/j, = ( -1 il +i2+···+ik+h +h+···+jk /3

duqc g<;>i la ph~n bu d<;1.i s6 cu.a b

Dinh ly 1.2 (Cong thuc khai triJn Laplace ma r9ng) fJjnh thuc cua m9t ma tr~n vuong bdng tong cua tich m9i djnh thuc con rut ra tit k dong (hay k c9t) vai phdn bu tuang ung cua chung

1.5 Dinh thuc cu.a ma tr~n

Vi d\J 1.52 Ap dvng dinh ly Laplace mb n)ng, hay tinh dinh thuc:

Giai Ta khai tri~n Laplace theo hai dong 1 va 2

• Tu hai dong 1 va 2, ta l~p duqc sau dinh thuc con c~p hai

Cl = 4 dinh tht.i'c con cclp ba Cac dinh tht.i'c con cclp ba la:

nen r(A) = 2

A Chu y 1.s

1.6 H~ng cu.a ma tr~n Trang 27

• Hqng cua ma tr~n khong thay d6i khi ta hoan vt dong ho~c c<)t

• Neu ma tr~n A= (aij)mxn khac khong thi

V~y r(A) = 3 v6'i m9i m

DJ tim hqng cua m<)t ma tr~n, ta thvc hi¢n cac bu6'c sau

Btr&c 1 Dua ma tr~n c~n tim hqng v~ dqng b~c thang b~ng cac phep

bien d6i S0 ccip dong ho~c CQt

Btr&c 2 S6 dong khac khong cua ma tr~n b~c thang do chinh la hqng

1 7 Ma tr~n kha nghjch Trang 29

• Voi m = -2, ta c6:

A ➔ (~ ~ -;

1 ) ➔ (~ ~ -;

det(A + B) = det[A(A-1 + B- 1 )B] = det A det(A-1 + B-1) det B

= det(AB) det (AB)- 1 = 1

Vi dl;J 1.62 Tim A- 1 bi~t ma tr~n A= (! ~ ~) thoa ding thuc

Vi dl;J 1.63 Cho A E Mn (JR) la ma tr~n luy linh c~p k Chung minh r~ng

(In - A)-l = Ak-l +···+A+ In

Giai Ta c6

(In - A)(Ak-l +···+A+ In)

=(Ak-1 + +A+ In) - (Ak + Ak-1 + + A2 + A)

=In - Ak = In - (Oij)n = In

V~y (In - A)- 1 = Ak-l +···+A+ In

1 7 Ma tr~n kha nghich Trang 31

1.7.1 Tim ma tr~n nghjch dao b~ng phep bi~n dBi tren dong

Cho ma tr~n A E Mn(1R), ta tim A- 1 (neu c6) nhu sau:

Btt&c 1 L~p ma tr~n ( A / In ) b~ng each ghep ma tr~n don vi In vao

hen phai cua A

Btt&c 2 Dung phep bien doi so ccip tren dong de dua ma tr~n ( A I In )

v~ dqng (A' /B) (v6i A' Ia ma tr~n b~c thang rut g9n) Khi d6 neu:

• A' i=- In thi ta ket lu~n A khong kha nghich;

• A'= In thi ta ket lu~n A kha nghich va A- 1 = B

Vi d1.;1 1.64 Tim ma tr~n nghich dao (neu c6) cua

nen ma tr~n A khong kha nghich

Vi d1.;11.65 Tim ma tr~n nghich dao (neu c6) cua

d1 ➔ d1+d2

d3 ➔ d3-d2 d2 ➔ -d2

nen ma tr~n C kh6ng kha nghich

Vi dl;l 1.67 Tim nghich dao cu.a ma tr~n D =

1.7 Ma tr~n kha nghjch Trang 33 1.7.2 Tim ma tr~n nghjch dao bing ma tr~n ph1;1 h(!p

Djnh ly 1.5 (Di~u ki~n de ma tr~n vu6ng kha nghich) Ma tr~n vu6ng A la

kha nghjch khi va chi khi

Cho ma tr~n A E Mn (JR) De tim A -1 ta thl;l'c hi~n cac buoc sau

Bu&c 1 Tinh det A Khi do

• neu det A = 0 thi ta ket lu~n A kh6ng kha nghjch;

• neu det A i= 0, ta lam tiep buoc 2

Bu&c 2 Tinh ma tr~n ph1:1 hqp cua A , ky hi~u la

BU'O'C 3 Ma tr~n nghjch dao cua A la A - l = de~ A adj A

• Nh~n xet 1.5 Neu ac - bd i= 0 thi ta co c6ng thuc