Giáo trình toán cao cấp 2 giáo trình iuh

Ma trận A như trên được viết gọn là A — .• Các số thực Uịị được gọi là các phần tử của ma trận aijmxn nằm ở dòng thứ i và cột thứ j.. Cho ma trận A 6 MmxnlR- Ma trận chuyển vị của ma tr

/

Nguyễn Thị Thu Hà (Chủ biên )

Đoàn Vương Nguyên Nguyễn Đức Phương

ĐOÀN VƯƠNG NGUYÊN

Lời nóỉ đâu

Được sự đồng ý của Ban giám hiệu củng như của Ban lãnh đạo Khoa Khoa học Co bản, cùng vói sự góp ý của các thầy cô giáo trong bộ môn Toán, nhóm tác giả xin giới thiệu đến các thầy cô và các em sinh viên giáo trình Toán cao cấp 2 (Đại số tuyến tính)

Ngày nay, Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ khoa học máy tính, kinh tế, kỹ thuật, Vì vậy môn học này đã trở thành một môn học bắt buộc cho hầu hết sinh viên bậc đại học Nội dung giáo trình được chia thành 5 chưong:

Chưong 1 Ma trận

Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính

Chương 3 Không gian vector

Chương 4 Ánh xạ tuyến tính

Chương 5 Dạng toàn phương

Các kiến thức được trình bày ngắn gọn kèm theo các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết Để giáo trình không quá nặng tính lý thuyết, hầu hết các chứng minh của các định lý không được trình bày, các em sinh viên quan tâm có thể xem thêm trong các tài liệu tham khảo được nêu ở cuối giáo trình Sau mỗi chương đều có các bài tập tự luận và trắc nghiệm sát với chuẩn đầu

ra của môn học

Nhóm tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Khoa học cơ bản đã tạo mọi điều kiện đê nhóm tác giả hoàn thành tài liệu này, đồng thời cảm ơn những nhận xét, góp ý và phản biện của các đồng nghiệp để quyển giáo trình được hoàn thiện hơn Nhóm tác giả hy vọng rằng giáo trình này

sẽ là người bạn đồng hành và giúp ích nhiều cho sinh viên và giảng viên trong quá trình dạy và học môn Toán cao cấp 2

Trân trọng!

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2022

Các tác giả

Trang thông tin giáo trình

https://github.com/khoacoban/toancaocap2

Nhằm tạo cầu nối giữa các tác giả và bạn đọc, chúng tôi đã thiết lập trang thông tin hỗ trợ tại địa chỉ trên Ớ trang này chúng tôi sẽ:

Tiếp nhận phản hồi của độc giả: Mặc dù đã rất cố gắng nhưng trong quá

trình biên soạn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi mong muốn tiếp tục nhận được những ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp

và của các em sinh viên để giáo trình được hoàn thiện hơn trong những lần tái bản sau này

Thông tin các sai sót: Chúng tôi sẽ đăng các lỗi, các bản đính chính tại trang

thông tin này

Các tác giả

Mục lục

Lời nói đầu i

Trang thông tin giáo trình ii

Mục lục iii

1 Ma trận 1 1.1 Khái niệm ma trận 1

1.2 Các phép toán trên ma trận 3

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 12

1.4 Ma trận bậc thang và bậc thang rút gọn 14

1.5 Định thức của ma trận 15

1.5.1 Các tính chất cơ bản của định thức 18

1.5.2 Công thức Laplace mở rộng 23

1.6 Hạng của ma trận 26

1.7 Ma trận khả nghịch 29

1.7.1 Tìm nghịch đảo bằng phép biến đổi trên dòng 31

1.7.2 Tìm nghịch đảo bằng ma trận phụ hợp 33

1.8 Bài tập chương 1 35

1.8.1 Bài tập tự luận 1 35

1.8.2 Bài tập trắc nghiệm chương 1 37

2 Hệ phương trình tuyến tính 62 2.1 Hệ phương trình tổng quát 62

2.2 Hệ phương trình Cramer 63

2.3 Giải hệ bằng phương pháp Gauss 68

2.4 Hệ phương trình thuần nhất 75

2.4.1 Nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất 76

2.4.2 Cấu trúc nghiệm 79

2.5 Bài tập chương 2 80

2.5.1 Bài tập tự luận chương 2 80

2.5.2 Bài tập trắc nghiệm chương 2 82

3 Không gian vector 97

3.1 Khái niệm không gian vector 97

3.2 Sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 99

3.2.1 Tổ hợp tuyến tính 99

3.2.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 101

3.2.3 Hệ vector trong ]Rn 104

3.3 Số chiều và co sở của không gian vector 106

3.3.1 Không gian sinh bởi một hệ vector 106

3.3.2 Số chiều và co sở 107

3.4 Tọa độ của vector 110

3.4.1 Tọa độ của vector đối vói một co sỏ 110

3.4.2 Tọa độ của vector trong các co sở khác nhau 112

3.5 Không gian Euclide 115

3.6 Bài tập chuông 3 119

3.6.1 Bài tập tự luận 3 119

3.6.2 Bài tập trắc nghiệm chuông 3 121

4 Ánh xạ tuyến tính 137 4.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính 137

4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 139

4.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 142

4.4 Trị riêng, vector riêng 153

4.4.1 Không gian con riêng 157

4.5 Chéo hóa ma trận vuông 161

4.5.1 Ma trận làm chéo hóa ma trận vuông 162

4.5.2 Thuật toán chéo hóa ma trận vuông 164

4.6 Bài tập chuông 4 167

4.6.1 Bài tập tự luận chuông 4 167

4.6.2 Bài tập trắc nghiệm chuông 4 168

5 Dạng toàn phương 183 5.1 Khái niệm dạng toàn phương 183

5.1.1 Dạng song tuyến tính 183

5.1.2 Dạng toàn phương 185

5.1.3 Dạng toàn phương chính tắc 186

5.2 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 187

5.2.1 Phương pháp chung 187

5.2.2 Thuật toán chéo hóa trực giao 188

5.2.3 Thuật toán Lagrange 192

5.2.4 Thuật toán Jacobi 196

5.2.5 Thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng 199

Mục lục Trang V

5.3 Luật quán tính dạng toàn phuơng xác định dấu 201

5.3.1 Luật quán tính 201

5.3.2 Dạng toàn phuơng xác định dấu 203

5.4 Nhận dạng đuờng và mặt bậc hai 206

5.4.1 Phân loại đuờng bậc hai 206

5.4.2 Nhận diện mặt bậc hai 209

5.4.3 Phân loại mặt bậc hai 209

5.5 Bài tập chuơng 5 213

5.5.1 Bài tập tự luận chương 5 213

5.5.2 Bài tập trắc nghiệm chương 5 215

Đáp án bài tập trắc nghiệm 219

Tài liệu tham khảo 222

Ma trận A như trên được viết gọn là A — .

• Các số thực Uịị được gọi là các phần tử của ma trận (aij)mxn nằm ở

dòng thứ i và cột thứ j.

• Ma trận có m = n được gọi là ma trận vuông Các ký hiệu (ụiị) và

Mnxn(R) được viết gọn là (aiị)n và M„(R)

• Tập hợp các ma trận cấp m X n trên R được ký hiệu là Mmxn(R)

• Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không,

ký hiệu là o = (Ojd J • v LJ'mxn

Ví dụ 1.1 Xét ma trận A = -2

3

5A6/ , ta có A G

M2

3(R)

10

«11 = 1/«12 = —2, «13 = 5, «21 — 0, «22 = 3, «23 = 6

• Đường chéo chứa các phần tử «11, «22/ • • • / ann của ma trận vuông A —

(aịị)n được gọi là đường chéo chính của A , đường chéo còn lại được

gọi là đường chéo phụ

• Ma trận vuông A = («j/) có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận đường chéo (hay gọi tắt là ma trận chéo), ký hiệu là A = diag(«n «22 • • • ữnn)

Ví dụ 1.2 B =

-1 00

chúng cùng cấp và aịj = bịj với mọi ỉ,j Ký hiệu là A = B.

Tính chất 1.1 Phép cộng ma trận có tính chất giao hoán và tính chất kết hợp:

ỉ A 4- B — B 4- A

ỉỉ A 4- B 4- c = (A 4- B) 4- c = A 4- (B 4- c)

Trang 4 Chương 1 Ma trận

Phép nhân vô hướng

Cho ma trận A = (an) và số A 6 R, ta định nghĩa

Ả A = (Ảan) _ v ' mxn (1.3)

ví dụ 1.8.

/-1 1 0 \ _ /3 -3 0\

y—2 0 -4/ ^6 0 12J/2 6 4\ _ / 1 3 2\

y—4 0 8/ _ y—2 0 4/

Tính chất 1.2 Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng ma trận

Ả(A + B) = ẢA + ẢB = (A + B)Ả, AeR (1.4)

/—2 7\ _ 1 / 6 2\_ /1 0\

y 3 9/ 2 \-8 4/ \0 17

• Điều kiện để phép nhân AB thực hiện được là số cột của ma trận A

(ma trận trước) bằng số dòng của ma trận B (ma trận saư)

• Tích của hai ma trận khác không có thể là một ma trận không

• Phép nhân hai ma trận, nói chung, không có tính chất giao hoán Tuy nhiên, ta có trường hợp đặc biệt là

Trang 6 Chương 1 Ma trận

c

0.0 + 0.0

00

00

ví dụ 1.13 • Cho hai ma trận A — 2 • I

các phép nhân AB và BA.

0

—2 0

02

Tính chất 1.3 Cho các ma trận A , B, c và số Ả e IR Giả thiết rằng các phép tính đều thực hỉện được, ta có các tính chất sau:

ỉ (AB)C = A(BC) (tính chất kết hợp),

ii A(B 4- c) = AB 4- AC (tính chất phân phối bên trái),

ỉỉỉ (A 4- B)c = AC 4- BC (tính chất phân phối bên phải),

ỉv Ả(AB) = (ẢA)B = A(ẢB),

V AIn — A = ImA, với A e Mmxn(IR).

Ví dụ 1.14 Thực hiện phép tính sau:

/1 2\ /2 3\ , /0 —5\ /2 3A

A \-l 3/ V v + v -2) [5 4) '

Giải Thực hiện phép nhân trước và cộng sau, ta có:

/12 11\ /-25 —20Ầỵl3 9 ) + 4 13 ) -13

Cách khác: Thực hiện phép nhân từ phải sang trái, ta có

Lũy thừa ma trận vuông

Cho ma trận A e Mn (R) khác ma trận không Lũy thừa ma trận A được định nghĩa theo quy nạp như sau

A° = In, A1 = A, Ak+Ỉ - AkA = AAk, k G N

Trang 8 Chương 1 Ma trận

• Nếu tồn tại số tự nhiên k sao cho Ak = (Ojj) thì ma trận A được gọi là

ma trận lũy linh

• Giả sử A là ma trận lũy linh, nếu k là số tự nhiên bé nhất sao cho

Ak = (Oịj)n thì k được gọi là cấp của ma trận A

ii At+m = Ak.Am (x/k,m e N;VÂ e M„(R) khác không),

iii Akm = (Ak)m (\/k,m e 1N;VA 6 Mn(]R) khác không).

A Chú ý 1.2.

• Nếu A = diag(«H «22 • • • «nn) thì

Ak — diag(«ị1 aị2

nnJ'

• Nếu A, B e Mn (R) thỏa mãn AB = BA (giao hoán) thì các hằng đẳng

thức quen thuộc cũng đúng với A và B Khi AB / BA thì các hằng đẳng thức đó không còn đúng nữa

Ví dụ 1.17 Lũy thừa của ma trận chéo

/1 0 0\3 /l3 0 0\ /10 0\

A3 = 0 -1 0 = 0 (-1)3 0=0 -1 0

\0 0 2/ \0 0 23/ \0 0 8/

Ví dụ 1.21 Tim ma trận (I2 — A)2017, với A — ự oj.

(Í2 _ Â)2016 = r(Ỉ2 _ Â)2-|1008 = ơ

2)1008 =

Trang 10 Chương 1 Ma trận

Vậy

(I; - ^)2017=h (:ỉ ỉ) /-1

\-i

ví dụ 1.22 Cho ma trận A — cos (X — sin (X

sin (X cos (X Tìm An với mọi n € N.

A2 — (cos a ~ sin (cos a — sin

ysina cos a J ysina cos a J_ /cos2a — sin2a —2 sin a cos a A _ /cos 2a

\ 2 sin a cos a cos2a — sin2a J \ sin 2a

— sin 2a cos 2aGiả sử

— sin a cos a/cos(k + l)a — sin(k + l)a

ysin(k + l)a cos(k + l)a

COS not — sin na\ TVậy A" = I , n G N

'J ysinna cosna J

Ví dụ 1.23 Cho ma trận A = (aiị)ịQ có các phần tử dij = ( — l)z+/ Tim phần

tử a25 của ma trận A2

Giải Phần tử a25 cần tìm là tích dòng thứ 2 của A và cột thứ 5 của A Các phần tử trên dòng thứ 2 của A là:

Cho ma trận A 6 Mmxn(lR)- Ma trận chuyển vị của ma trận vuông

A , ký hiệu AJ, là một ma trận cấp n X m nhận được từ A bằng cách

chuyển tất cả các dòng trong A thành các cột tương ứng của AT Phép

biến đổi A thành ma trận AT được gọi là phép chuyển vị.

Ví dụ 1.26 Ma trận chuyên vị của A = 2

5

Tính chất 1.5 (Chuyên vị)

i (A + B)T = + BT, â

,B

1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa 1.1 Cho ma trận A — (aij)mxn(.m 2) Ta gọi phép biến đổi sơ cấp

dòng trên A ỉà một trong các dạng sau:

i Hoán vị dòng i và dòng k cho nhau để ma trận A trở thành ma trận B, ký

• Ma trận sau khi biến đổi, nói chung, không bằng ma trận lúc đầu

• Trong dạng biến đổi iii) ở trên, số thực A có thể là 0

F-I-I ,1 1'1 .1 ' 1' A dị ÌỊldị+Ảdk

• Trong thực hành ta thương làm gộp A -—— > E.

• Tương tự, ta củng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột của ma trận (trừ các trường hợp: thuật toán tìm ma trận nghịch đảo (trang 21) và giải

hệ phương trình tuyến tính (chương 2))

Ví dụ 1.28 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đê đưa ma trận sau đây về ma trận tam giác trên

Giải Thực hiện phép hoán vị dòng 1 và dòng 2, ta được:

Thực hiện liên tiếp hai phép biến đổi dòng 2 và dòng 3, ta được

d^-^cbs+di d] —id] — 3 ^2 ÍỈ2—3 ÍỈ2

0

01

Định nghĩa 1.2 (Ma trận bậc thang) Ma trận bậc thang là ma trận khác không

có cấp thỏa cả hai điều kiện sau

i các dòng bằng không (nếu có) nằm ở dưới các dòng khác không,

ii phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ (trừ dòng thứ nhất) đều nằm bên phải phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó.

Định lý 1.1 Mọi ma trận đều có thể đưa được về ma trận bậc thang bằng một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp.

Ví dụ 1.32 Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận sau đây về ma trận bậc thang

Định nghĩa 1.3 (Ma trận bậc thang rút gọn) Ma trận bậc thang rút gọn là ma

trận bậc thang có phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là phần tử khác

0 duy nhất của cột chứa phần tử đó.

Đặc biệt, nếu A — (ct-ij) (n > 2) thì ma trận con có cấp n — 1, ký hiệu là

Mịj, thu được từ A bằng cách bỏ đi dòng thứ ỉ và cột thứ i được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử a-ỉị

Định nghĩa 1.4 (Định thức) Định thức của ma trận A = («ịý)n, hiệu là det A

hay I A|, là một số thực được định nghĩa quy nạp theo n như sau

4 -1 4 1 2

1 02+3

5 2 3 32

= 3(-22) + 17 = —49 _

)NG ĐAI HỌC CÓNG NGHIỆP TP.HCM

THIÍ VIÊN

Trang 18 Chương 1 Ma trận

1.5.1 Các tính chất cơ bản của định thức

Biến dôi trên dòng cho dịnh thức

Cho ma trận A e Mn(]R), ta có các tính chất cơ bản của biến đổi trên dòng

Giải Định thức

163

2 01

-1 1-9=3 2

-1-3

Định thức của ma trận chéo

00

223

3-14

d^^d^—ldỵ (Ỉ2—— 2di

Gọi Aịj — (—l)t+/ det (Mjỹ) là phần bù đại số của phần tử ữij, ta có

công thức khai triển Laplace như sau

• Khai triển det A theo dòng thứ ỉ

det A — ữiiAịi + ữị2Aị2 + • • • + ữinAịn (1-8)

• Khai triển det A theo cột thứ i

det A — ữijAỵj + ữ2jA2ị 4~ • • • 4~ ữnjAnj (1.9)

Ví dụ 1.46 Tính định thức A =

1213

a Khai triển A theo dòng 1

b Khai triển A theo cột 2

Giải.

a Khai triển A theo dòng 1, ta có

A =1.(—1)1+1 det(Aín) +2.(-l)1+4det(Mi4)

030

12

0 1

3 2

0 22

b Khai triển A theo cột 2, ta có

2

A = 3(-l)3+2det(M32) = -3

123

012

21

9 Nhận xét 1.4 Khi tính định thức, ta nên khai triển Laplace theo dòng (hay cột) có chứa nhiều phần tử 0 nhất

Ví dụ 1.47 Áp dụng tính chất và khai triển Laplace, tính định thức

1112 2-113 12-12

Trang 22 Chương 1 Ma trận

Môt số tính chat

i Định thức của ma trận đường chéo chính, ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

ii Nếu A , B là hai ma trận vuông cùng cấp thì

det(AB) = det A det B (1.10)

iii Neu A và c là hai ma trận vuông, o là ma trận không và B là

ma trận tùy ý (có cấp phù hợp) thì ta có dạng chia khối

= det A det c

iv detAr = det A

V Nếu ma trận A lũy linh thì det A = 0.

Giải Hoán vị cột và dòng như sau:

0340Định thức thu được có dạng chia khối Vậy

= (-14)10= -140

Ví dụ 1.50 Giải phương trình

0

0 03

X

0

X — 11524

X

0 0

X X X

0 00

X

0 0

X X X

000

X

Cỉ^c5

0

X — 11524

X

0 0

X X X

A =

42

A =

000

X

4324

2 4

5 3

A =

30

20

23

20

0

124

X

3

43

4 24

224

000

000

X 3

1 XĐịnh thức thu được có dạng chia khối Vậy

ahh aik]2 ' ■ aikjk

• Định thức của ma trận con cấp n — k nhận được từ A bằng cách bỏ

đi k dòng và k cột ở trên được gọi là định thức con bù của ô

• Đại lượng

í’1 + *2 H F ik +jl +jl H -\-jk

được gọi là phần bù đại số của ỏ

Định lý 1.2 (Công thức khai triển Laplace mở rộng) Định thức của một ma

trận vuông bằng tổng của tích mọi định thức con rút ra từ k dòng (hay k cột) với phần bù tương ứng của chúng.

Ví dụ 1.52 Áp dụng định lý Laplace mở rộng, hãy tính định thức:

Giải Ta khai triển Laplace theo hai dòng 1 và 2

• Từ hai dòng 1 và 2, ta lập được sáu định thức con cấp hai

• Sáu phần bù đại số tương ứng với sáu định thức con trên là:

1+2+1+2 -1

2

2123

21

3

21

22

Trang 26 Chương 1 Ma trận

Giải Ta khai triển Laplace theo hai dòng 2 và 5 Từ hai dòng này ta chỉ lập được một định thức con cấp hai khác không là

52Phần bù đại số tương ứng là

Vậy det A = (5.A = —140

1.6 Hạng của ma trận

Định nghĩa 1.5 (Định thức con cấp k) Cho ma trận A — {aij)mxn- Định thức

của ma trận con cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A

Định lý 1.3 Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều bằng 0 thì các định thức con cấp cao hơn k cũng bằng 0.

Định lý 1.4 (Hạng của ma trận), cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma

trận A được gọi là hạng của ma trận A , ký hiệu là r(A).

= Quy ước Nếu A là ma trận không thì ta quy ước r(A) = 0

1 5 —6

1 1 -3-1 1 0

1 3 -6

-3 0

△

• Hạng của ma trận không thay đổi khi ta hoán vị dòng hoặc cột.

• Nếu ma trận A = (ữiị) khác không thì

Vậy r(A) = 3 với mọi m.

Thuât toán tìm hang của ma trận

Đê’ tìm hạng của một ma trận, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Đưa ma trận cần tìm hạng về dạng bậc thang bằng các phép

biến đổi sơ cấp dòng hoặc cột

Bước 2 Số dòng khác không của ma trận bậc thang đó chính là hạng

Trang 28 Chương 1 Ma trận

Ví dụ 1.57 Cho ma trận

/2 1 -1 3 \ 0-10 0

△

về dạng bậc thang Khi đó, ta hoán vị cột của ma trận sao cho tham số ở các cột cuối Sau đó, dùng các phép biến đổi thích hợp để đưa ma trận về dạng bậc thang Từ đây về sau, các bước biến đổi sơ cấp đơn giản có thể không được chỉ rõ ra trên dấu mũi tên

Ví dụ 1.58 Cho ma trận

/m +1 1 3\

A I 2 m + 2 0

\ 2m 13/

Tìm giá trị của tham số m để r(A) = 2

Giải Biến đổi sơ cấp trên ma trận A , ta được

02

m

1

ÍỈ2—>d2~\-dỵ

d^^d^—di d^.—^í/4—dỵ

00

\0

-1

—220

-1 1

^3“^3+^2

dị-tdị—d-Ị

00

\0

-1

—200

120

2

m — 20

Định nghĩa 1.6 (Ma trận khả nghịch) Ma trận vuông A cấp n

nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cùng cấp B sao cho AB = BA =

được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A , ký hiệu là B = A~

Ví

được gọi là khả ĩn Ma trận B

_ /2 5A D _ / 3 —5\

Â=(l 3,)vàB=(-l 2)

là hai ma trận nghịch đảo của nhau vì AB = BA = I2.

Trang 30 Chương 1 Ma trận

Tính chất 1.6.

i I-1 = I, (A-1)-1 = A,

a G4B)-1 = B~kA~\

iii detA-1 = (detA)-1

Ví dụ 1.61 Cho A, B e Mn(IR) thỏa

det(A-1 + B"1) = det (ABp1

det(A + B) =det[A(A-1 + B-1)B] = det Adet(A-1 + B-1) detB

= det(AB) det (AB)"1 = 1

Ví dụ 1.63 Cho A G Mn (IR) là ma trận lũy linh cấp k Chứng minh rằng

Ựn-A)-1 =Ak-1 + - + A + I„.

Giải Ta có

(/„-Â)(A*-1 + - + Â + /„)

=(A*-1 H - F A + /„) - (Ak + A*-1 H -F Â2 + Â)

=I„ -Ak = I„- (ữiị)n = I„

Vậy (I„ - A)~’ = Â*-1 + • • + A +

1.7.1 Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi trên dòng

Thuật toán

Cho ma trận A e Mn (R), ta tìm A 1 (nếu có) như sau:

Bước 1 Lập ma trận (A \ In ) bằng cách ghép ma trận đơn vị In vào

bên phải của A

Bước 2 Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận (A I In )

về dạng (Af \ B ) (với A' là ma trận bậc thang rút gọn) Khi đó

ÍỈ2—— ẩ2

ÍỈ2——dỵ d$—>^3 —2di

1 -11 0 0\-1 2—1101-1 2—2 0 1/

0 10 1 0\1-2 1 -10

0 0-1-1 1/

Do

/1 c' = 0

11

1 0

—2\

-1-1

1 /

0 000

00

Cho ma trận A E Mn (]R) Để tìm A 1, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tính det A Khi đó

Bước 2

• nếu det A = 0 thì ta kết luận A không khả nghịch;

• nếu det A /: 0, ta làm tiếp bước 2.

Tính ma trận phụ hợp của A , ký hiệu là

adjA= (A,ị)n , Aịị = (-l)'+'det(M,7)

Bước 3 Ma trận nghịch đảo của A là A 1 = adj A

a d