Giáo trình toán kinh tế phần 1 (dành cho hệ cao đẳng chuyên ngành kế toán)

Ky hiéu va viét tat Quy hoach tuyén tinh tổng của các số hạng tích của các thừa số các tập hợp số không gian ma trận cd m x ø trên trường K hạng của ma trận A định thức của ma tran A t

NGUYEN CAO LUẬN (Chủ biên), HOÀNG VĂN LINH

NGUYEN CAO LUAN (Chia biên) - HOÀNG VĂN LINH

Mục luc

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ

111 Một số khái nệm .- Ặ

1.1.2 Các phép toán trên matrận -

113 Ma trận nghịch đão -. Ặ So 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 1.1.5 Hạng của matrận -.- Q S SỈ no l2 ĐịnhtHỨC :: cv p2 nhị Bo 8T Ko SỐ Song

121 Dinhnghia .2.0 202-0200

12.2 Tính chất của định thức .-.-

13 hông BÌaH WEElO si c1 giá eee mime wR we

13.1 Dinh nghia va tinh chat .-.-

1.3.2 Kh6ng gian vecté con 2 2 eee ee ee 1.3.3 Sự độc lập tuyến tính - Sự phụ thuộc tuyến tính

1.3.4 Cơ sổ và số chiều của không gian vectd

1.3.5 Tọa độ của một vectld « 1.3.6 Hạng của hệ vectơ - Hạng của ma trận trong không

GIB NGON Ídtv ce wid eet ate ale ead ed de ew

4 MUC LUC

1.5.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 45

1.5.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 50

Bài tấp PhƯỚHE Ï «4 ¿ ¿ ¿sa ko c pc E2 Lo E Q DĐ ng ng á H Gớ go Big 94 CHƯƠNG 2_ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 61 2.1 Bài toán tối ưu tổng quát và phân loại 61

2.1.1 Bài toán tối ưu tổng quát 62

21.2 Phân loại các bài toán tốiưu 62

2.1.3 Ung dung bai toán tối ưu giải quyết các vấn đề thựctẾ .020.000 0000022 2 eee 63 2.2_ Bài toán quy hoạch tuyến tính 77

2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát 77

2.2.2 Dạng chính tắc và dạng chuẩn tắc của bài toán quy hoạch tuyến tính ee 80 2.2.3 Tinh chat cia bài toán quy hoạch tuyến tính 83

2.3 Phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính 94

2.3.1 Phương pháp hình học 94

2.3.2 Phương pháp đơnhình 96

2.4 Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 112

2.4.1 Cách thành lập bài toán đối ngẫu 112

2.4.2 Các tính chất và định lý đối ngẫu 115

2.4.3 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 118

2.4.4 Các ứng dụng của cặp bài toán đối ngẫu 124

Bai tap chuong2 .2 020202000000 00082 129 CHUGNG 3 UNG DỤNG BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYỂN TÍNH 142 3.1 Bai ton van tai cle See Sb ek ki ng 142 3.1.1 Khái niệm và tính chất của bài toán vận tải 142

3.12 Tìm phương án cực biên xuất phát của bài toán WH ĐỂ lí ¿ v 4 2a a tre Nhi c2 g vs DA Da sa 148 3.1.3 Phương pháp thế vị giải bài toán van tai 152

3.1.4 Một số bài toán ứng dụng của bài toán vận tải 159

3.2 Bài toán sản xuất đồng bộ 169

3.2.1 Một số khái nệm 169

3.2.2 Tính chất của bài toán sản xuất đồng bộ 172

Ky hiéu va viét tat

Quy hoach tuyén tinh

tổng của các số hạng

tích của các thừa số các tập hợp số

không gian ma trận cd m x ø trên trường K

hạng của ma trận A

định thức của ma tran A

tập các đa thức có hệ số trong trường số lK tập hợp các tổ hợp tuyến tính của,

không gian vectơ sinh bởi hệ 4

tích vô hướng của vectơ e và, vectƠd #

số chiều của không gian vectơ V đẳng cấu

tập các ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ

V đến W trên trường lK _ dấu của phép thế ø

ảnh của không gian vectơ A

tạo ảnh của không gian vectơ B

ảnh của ánh xạ tuyến tính ƒ

hạt nhân của ánh xạ tuyến tính ƒ

Lời nói đầu

Toán học có nhiều ứng dụng mang tính nền tảng trong nghiên cứu

lý thuyết và phát triển kinh tế Toán kinh tế là môn học đóng vai trò

cơ sở trong chương trình đào tạo các khối ngành kinh tế Tại các trường Cao đẳng, môn Toán kinh tế thường sử dụng chung các giáo trình bậc

Dại học Diều đó gây ra một số bất tiện nhất định: thiếu sự đồng bộ về

nội dung môn học; người học và người dạy gặp nhiều khó khăn khi sử

dụng/nghiên cứu nhiều giáo trình khác nhau, Vì vậy, việc biên soạn

giáo trình Toán kinh tế trình độ cao đẳng dành cho các chuyên ngành

thuộc lĩnh vực kinh tế là rất cần thiết

Nội dung của giáo trình gồm ba chương:

Chương 1 trình bày những kết quả quan trọng của đại số tuyến tính:

ma trận, định thức, không gian vếctơ, ánh xạ tuyến tính và hệ phương

trình tuyến tính

Chương 2 trình bày những khái niệm cơ bản của quy hoạch tuyến

tinh (QHTT): Bài toán tối ưu và ứng dụng; bài toán QHTT; phương

pháp giải bài toán QHTT; bài toán đối ngẫu quy hoạch tuyến tính

Chương 3 trình bày một số ứng dụng của bài toán QHTT: bài toán

vận tải, bài toán sản xuất đồng bộ và bài toán trò chơi ma trận

Mỗi chương đều có hệ thống bài tập ôn tập được sắp xếp từ dễ đến

khó Trước khi giải bài tập, người học cần nghiên cứu để hiểu rõ nội dung

của chương đó Phần cuối mỗi chương trình bày tóm tắt lời giải hoặc đáp

số cho các bài tập

Trong quá trình biên soạn, giáo trình chắc chắn không tránh khỏi

những khiếm khuyết Các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của các

chuyên gia, các nhà nghiên cứu và của người đọc để hoàn thiện cuốn sách

được tốt hơn

Xin chân thành cẩm on!

CÁC TAC GIA

Trần Xuân Sinh, Toán kinh tế, ÑXB Dại học Quốc gia Hà Nội, 2007

Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004

Trần Túc, Quy hoạch tuyến tính, NXB Dại học linh tế Quốc dân,

Paul R Thie, Keough G E., An Introduction To Linear Progamming

And Game Theory (3th edition), Jond Wiley & Son, 2008

Hiselt H A., Sandblom C -L., Linear Progamming And Its Ap- plications, ISBN 978-3-540-73670-7 Springer Berlin Heidelberg New York, 2007

| Hubertus Th Jongen, Klaus Meer, Eberhard Triesch, Optimization Theory, ISBN 1-4020-8098-0 Kluwer Academic Publishers, 2004.

TAI LIEU THAM KHAO Soy

[12] Kolman B., Beck R.E., Elementary Linear Programming with Ap-

plications (Second edition), Academic Press New York - London -

Tokyo, 1995

[13] Louis Brickman, Mathematical Introduction to Linear Programming

and Game Theory, Springer-Verlag New York - Berlin - Heidelberg, London - Paris - Tokyo, 1989.

NHA XUAT BAN DAI HOC THAI NGUYEN

Địa chỉ: Phường Tân Thịnh - Thành phố Thái Nguyên - Tỉnh Thái Nguyên

Điện thoại: 0280 3840023; Fax: 0280 3840017

Website: nxb.tnu.edu.vn * E-mail: nxb.dhtn@gmail.com

GIAO TRINH

TOAN KINH TE

(Danh cho hé Cao dang chuyén nganh Ké toán)

Chu trách nhiệm xuất bản:

TS PHẠM QUÔC TUẦN

mg ⁄ 22 tA a

Giám dic - Tong bién tap

Bién tap: NONG THI NINH Thiét ké bia: LE THANH NGUYEN

Trinh bay: NONG THI NINH

Sửa bẳn in: NONG THI NINH

Đối tác liên kết muất bản:

Hoang Van Linh (Dia chi: 215 Lé Lai, Khối 15,

phường Hoàng Văn Thu, thành phé Lang Son, tinh Lang Son)

ISBN: 978-604-9987-45-8

In 100 cuốn, khổ 17 x 24cm, tai Xudng in - Nhà xuất bản Đại học Thái Nguyên

(Địa chỉ: Phường Tân Thịnh - Thành phố Thái Nguyên - Tỉnh Thái Nguyên)

Giấy phép xuất bản số: 2441-2021/CGXBIPH/01-95/ĐHTN Quyết định xuất bản số: 154/QĐÐ-NXBĐHTN, ngày 13/7/2021 In xong và nộp lưu chiểu quý

III nam 2021

phần, người học cần nắm vững một cách hệ thống các nội dung đó Có

như vậy việc học các chương sau sẽ dễ dàng hơn

1.1 Ma trận

1.1.1 Một số khái niệm

Định nghĩa 1.1 Ma trận là một bằng các số thực được rếp thành mm dờng uà n cột được gọi là ma trận cấp m x n

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 9

1 Ma trận có số dòng bằng số cột (m = n) được goi la ma tran vudng

cấp n, ký hiệu A = (aij)n va được viết dưới dạng liệt kê

G1 G012 Gy - Qin

621 G22 Gag Qn A=

đại Qn2 - Unj - Ann

Tập các ma trận vuông cấp ø mà các thành phần thuộc trường số thực IR, được kí hiệu là 1„(R)

Vi du 1.2 A= (aij)3 = |0 3 —2 | là ma trận vuông cấp 3

25 —3

2 Ma tran vudng A = (aj;)n dude goi lA ma tran chéo néu a¿; = 0 với

moi i # 7, ký hiệu A = đig(@11, 822, ., Gan)

Ví dụ 1.3 öÖ = |0 -3 0|, = |0 5 0 là các ma trận

chéo

3 Ma trận chéo cấp ø có tất cả các phần tử trên đường chéo chính

bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu Tạ

Ví dụ 1.4 Các ma trận

4 Ma trận vuông 7' = (a;;)„ được gọi là zna trận tam giác trên nếu

a;; = 0 với mọi ¿ > j Vậy ma trận tam giác trên 7' được viết dưới dạng liệt kê:

I1 G12 Qin

0 G22 Q2n,

T=

5 Ma trận vuông D = (a;;)„ được gọi là ma tran tam giác dưới nêu

a¡;; = 0 với mọi ¿ < j Vậy ma trận tam giác dưới D được viết dưới

6 Ma trận cấp mm x n có tất cả các phần tử bằng không, ky hiéu Opxn

(đôi khi là Ó), được gọi là ma trận không

7 Ma trận bậc thang

a) Dòng không: Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử

đều bằng không được gọi là dòng không

b) Phần tử cơ sở của dòng: Phần tử khác không đầu tiên của

đồng tính bừ trái sang được gọi là phần tử cơ sở của dòng

c) Ma tran bac thang: Ma tran bac thang là một ma trận khác

không thỏa hai điều kiện sau:

¡ Dòng không (nếu có) nằm dưới dòng khác không

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 11

Ma trận bậc thang có các phần tử cơ sở của dòng bằng 1, các phần

tử còn lại bằng 0 được gọi là ma trận bậc thang rút gọn

1.1.2 Các phếp toán trên ma trận

Hai na trận bằng nhau Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu

chúng cùng cỡ và có tắt cả các phần tử tương ứng vị trí bằng nhau Cho hai ma trận A = (đ¡7)mx„ và Ð = (b)mxø Khi đó,

A=B# ay = bj voi moi i =1,m;j =1,n

Nhân một số uới một rnma trận Cho sik € K va ma tran A = (hy lmxeee khi đó:

12 1.1 Ma trận

Chú ý 1.1 Một số tính chất của phép cộng ma trận và nhân ma trận với một số:

CO 86 CUA TOAN KINH TE 13

Nhận xét 1.1 Một số kết quả quan trọng ta có thể suy ra từ định nghĩa:

1 (A+B)? = A? + B?, voi moi A, BE Minxn(R)

2 (cA)? = eAT, với mọi c€ R; A € MI„x„(Ñ)

3 (a.A-+Ø.B)f =a.AT-+-8.BT, với mọi ơ, 8 €R; A, B € Mf„x„(Ñ)

Phép nhén hai ma trén Cho hai ma tran A = (aix)mxr va B= (bij )rxn- Tich cia ma tran A véi ma tran B, ký hiệu AB, là một ma trận

có cấp mm x n va néu AB = (Ciz)mxn thi ¢;; duge xae dinh bởi công thức

T

Cịj › 0i Ủy = 01401; + Gindag + + Gx dp 5:

k=1

Nhận xét 1.2 Tích hai ma trận tồn tai khi số cột của ma trận đứng

trước bằng với số dòng của ma trận đứng sau

Ma trận tích có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và có

số cột bằng số cột của ma trận đứng sau

Phép nhân hai ma trận, nói chung, không có tính giao hoán

Chú ý 1.2 Tính chất của tích các ma trận:

1) A(BC) = (AB)C (tinh két hợp của phép nhân)

2) A(B4+C) = AB+AC (tinh phan phéi trái của phép nhân đối với

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 15

ma tran không suụ biến

Nếu không tồn tại ma trận nghịch đảo B của ma trận A thi A goi la

Ba phép biến đổi sơ cấp cơ bản trên ma trận:

e Dổi chỗ hai dòng (cột) bất kì của ma trận

e Nhân một dòng (cột) với một số khác không

e Thêm (hoặc bớt) vào một dòng (cột) một bội của dòng (cột) khác

Các phép biến đổi sơ cấp chiếm một vị trí quan trọng trong biến đổi

ma trận vì nó “ít” làm thay đổi “bản chất” của ma trận Do đó, ta thường hay dùng các phép biến đối này để chuyển một ma trận phức tạp về dạng đơn giản hơn, xem xét các đặc điểm của ma trận đơn giản rồi rút ra các

tính chất của ma trận ban đầu Vấn đề phát sinh là biến đổi tới đâu thì được xem là “đơn giản”?

Dinh ly 1.1 Moi ma tran (khác không) bất kỳ đều có thể chuyển tề dạng bậc thang rút gọn thông qua các phép biến đổi sơ cấp.

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 17

Ví dụ 1.11 Dùng các phép biến đổi sơ cấp chuyển ma tran

Cho A € ⁄„(R), để tìm A-, ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Lập ma trận (A|7„) bằng cách ghép ma trận đơn vị 7„ vào bên phải ma trận A

- Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận (A|T„) về dạng (4/|P), trong đó A' là ma trận bậc thang rút gọn

Néu A’ = J, thi B = Ar1

Néu A’ # J, thi ma tran A không khả nghịch nên không có ma,

tran nghich dao

Định nghĩa 1.3 Cho ma trộn A Nếu A = O thà hạng của A bằng số

0 Nếu A khác O thà hạng của A chính là số dòng khác không của mỗi dạng bậc thung của A Hạng của A thường được ký hiệu là hạng(A) hoặc

rank(A) hay chi don gidn la r(A)

Cách tìm hạng của một ma trận khác không:

Để tìm hạng của ma trận khác không 44, trước hết ta dùng các phép

biến đổi sơ cấp trên để đưa nó về dạng bậc thang Sau đó đếm số dòng

khác không của dạng bậc thang ta được hạng của A

Nhận xét 1.5 Nếu A là ma trận cấp ?m x n thì 0 < r(A) < min(m,n)

Ví dụ 1.13 Ma trận 4A ở ví dụ 1.11 có hạng bằng 3

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 19

1.2 Định thức

1.2.1 Định nghĩa

Phép thế

1 Giả sử tập hợp X„; = {1,2,3, ,n} Một song ánh ơ: Xa —> Xp

được gọi là một phép thê trên tập X„

Phép thế ơ : X„ —› X„ được biểu diễn như sau:

= ( 1 2° 8B on

~ \o(1) ø(@) ø(@)_ ø(n)

trong dé o(i) là ảnh của phần tử ¡ € X„ được viết ở dòng dưới, ở

cùng một cột với 2

Tập hợp các phép thế trên tập X„ được kí hiệu bởi Sa

2 Một phép thế 7 trên tập X„ được gọi là một chuyển trí hai phần

tử ¡,j thuộc X„ nếu T(j) = ÿj,T(j) = ¡ và T(k) = k, với mọi k€ X„,k #¡,k # j Kí hiệu (¡, 3)

3 Với i, j € X„, ¿ # j, ta nói cặp (ø(),ø(7)) là một nghịch thê của

ơ nếu ¿ < j nhưng ơ(¡) > ø())

4 ơ gọi là một phép thê chấn nêu nó có một số chấn nghịch thế ơ

được gọi là phép thế lẻ nếu nó có một số lễ nghịch thế

Ant Qn2 + + Ang + + Onn

Trong cách biểu diễn này, ta nói mỗi a¡; là một thành phần, các thành phần a¡, a¡a, , a„„ tạo thành dòng thứ ¿, các thành phần a;, aạ;, , q„;

Chú ý: Do có tính chất này, vai trò của dòng và cột như nhau, mỗi

tính chất về định thức nếu đúng với dòng thì cũng đúng với cột và ngược

lại

Tính chất 2 Nếu định thức

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TE 21

D=|@, +0, Qt Qing O44; a a9 Qin a Lin / i

mà mọi thành phần ở dòng thứ ¿ đều có dạng a¿; = a;; + a;; thì

D=|ai, Gly Gi; đại Đ|dn đạy đy af 1 in 1 m.|”

Tính chất 3 Nếu mọi thành phần ở dòng thứ ¿ của D có dạng

ai; = ©.0 (c € Ñ) thì D = e.D', với D' là định thức có được bằng cách

thay các thành phần dòng ¿ bởi Qi; và, các thành phần cồn lại giữ nguyên trong D Tức là

Cũ CG¿7 Cđ,| — C.|đ G7 Gặp, |-

Chú ý: Nếu A là ma trận cấp ø thì det(À4) = À”detA

Tính chất 4 Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên các dòng còn lại thì định thức đổi dấu

Tính chất 5 Dịnh thức sẽ bằng 0 nếu:

() Có hai dòng giống nhau, hoặc

(i) Có hai dòng mà các thành phần ở cùng cột tương ứng tỉ lệ

Tính chất 6 Dịnh thức sẽ không thay đổi nếu:

() Nhân một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác

(ii) Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác Tính chất 7 Nếu A và Ö là hai ma trận vuông cùng cấp thì

det(AB) = detA.detB Dặc biệt: def(A#) = (detA)*,, với mọi k € Ñ

1.2.3 Khai triển định thức

Định thức con - Phần bù đại số Cho định thức D cấp n

22 1.2 Định thúc

1 Nếu chọn r dòng i\, ,1„, và cột j\, , J„, Ír” < n), thì các thành

phần nằm ở giao của r dòng và r cột ấy lập thành một định thức

kí hiệu bởi M†!*?" và gọi là một định thức con cấp r của D 11

2 Nếu xóa đi r dòng và r cột ấy thì các thành phần còn lại lập thành

một định thức kí hiệu bởi Mj-? và gọi là định thức con bù của định thức M?'*”” 11 Ɉ

3 Phần bù đại số của M?'"”" kí hiệu bỏi Aj'"?” xác định bỏi

71. 7r = ?1-È t2z-++71+ -E7r Ấ71 -7+

Chú ý 1.3 Mỗi thành phần a¿; của D là một định thức con cấp một

của D Để đơn giản cách viết, định thức con bù và phần bù đại số của, a;; được kí hiệu lần lượt là M¿; (hoặc ã¿;) và Aj;

Aig Aon ves Aven

với 4;; là phần bù đại số của phần tử a¡;, được gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 23

(Khai triển theo dòng)

e detA = » dg Ay = œ1; Ả1; -È a9; Ao; +o Ohag- Aang» J = 1,n

i=1

(Khai triển theo cột)

Một số kết quả quan trọng rút ra từ định lý trên:

1) Nếu A = (a;;), 1&8 một ma trận tam giác thì

deLAÁ = đit - Q2A22 + + OnnAnn 2) Nếu tồn tại dòng thứ ¿ và cột thứ 7 sao cho aj, = 0, vdi moi

k # 7 thì

detA = ty Âu

Nhận xét 1.6 - Dể tính định thức đơn giản hơn, ta thường khai

triển định thức theo các dòng (cột) có càng nhiều số 0 càng tốt

Ví dụ 1.17 Tính định thức của ma trận Á= | 0 3

—4 4

- Giải Khai triển định thức theo dòng 2, ta được:

detA = 0.Ag1 + 3 aa + 0 4aa

2 dl

=3.(-1)°? = 18

Quy tắc Sarus được minh họa bởi hình vẽ dưới đây, trong đó, mỗi

hạng tử của công thức khai triển định thức là tích của ba thành phần

nối với nhau bởi một đường nét liền hoặc nét đứt

Các đường nét liền mang dấu dương: +4 411422033; + 012023031; đ1a0siøaa2 Các đường nết đứt mang dẫu âm: — đ11623g32; — 012621033;

Định lý 1.3 Ma trận uuông A khả nghịch khi va chi khi detA # 0

Định lý 1.4 Nếu A khả nghịch thà detA~! = (detA)”1!

Định lý 1.5 (Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức) Œho A € M,,(R), ma tran A kha nghich khi va chỉ khi A không suy biến Hơn

nữa, ma trận nghịch đảo của A là duy nhất va duoc xác định bởi

¬_

detA

*

trong đó, A* là ma trận phụ hợp của A.

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 25

cộng hai phần tử của V, uà phép toán thú hai gọi là phép nhân một phần

tử của V uới một số thuộc trường K

lập hợp V cùng uới hai phép toán nàu được go+ là một không gian

vecto trên trường lK (hay một lK - không gian 0ectd) nếu các điều kiện

sau duoc théa man déi vdi moi a, B,Y EV va moir,s € K:

Tinh két hop: (a+ 3) +¥=aA+ (+7);

Tinh giao hoén: a + B = B+ a;

Sự tồn tại đồng nhất thúc cộng tính: Tồn tại duy nhất phần tử

0 €V théa man điều kiện: đ + Ö = ổ;

Su tồn tại phần tử nghịch đảo: uới mỗi ä € V có một phần tủ, kí

0;

hiệu bởi —ö, cũng thuộc V théa man diéu kién: a& + (—a)

Tính phân phối hai phia:

"(#+ổ = rỡ + rổ;

(+ s)ở = rỡ + sử; NS

Luật kết hợp vd hướng: (r3) ä = r (sổ);

Tính trung hòa của phép nhân uới 0uô hướng: 1.0 = G

đG€ŒV được go! là một 0ectơ, 0 được gọi là vecto khéng, —a@ du¢c gor

là uectơ đối của đ Tu tiết đ + (-2) =ð-—8 (doc la & trit 8)

Phép toán ở + ổ gọi là phép cộng vectơ

Phép toán rở gọi là phép nhân với vô hướng, số r cồn gọi là vô hướng Chú ý 1.4 Khi cho một không gian vectơ mà không nói rõ trên trường

nào, ta hiểu đó là trường số thực hoặc trường số phức Nếu đã cho không

26 1.8 Khéng gian vecto

gian vectd trên một trường xác định rồi thì các vô hướng trong các khái

niệm và tính chất tiếp theo đó đều phải thuộc trường số đó

Chúng ta có thể dùng định nghĩa của không gian vectơ để kiểm tra các tập hợp cho trong các ví dụ sau là những không gian vectơ

Ví dụ 1.19 Tập hợp VW các vectơ OA, OB, OG, chung gốc Ó trong không gian hai chiều hoặc ba chiều cùng với phép cộng hai vectơ và phép

nhân vectơ với một số thực là một không gian vectơ Nó được gọi là

không gian uectở hành hoc

Ví dụ 1.20

a) Mỗi trường IK là một không gian vectơ trên đối với phép cộng

và phép nhân trên lK Chẳng hạn:

Không gian vectơ trên R còn gọi là không gian vectơ thực;

Không gian vectơ trên C còn gọi là không gian vectơ phức

b) Trường số thực IR là một không gian vectơ trên trường số Q

e) Trường số phức là một không gian vectơ trên trường số thực R

và cũng là một không gian vectơ trên trường

Ví dụ 1.21 Trên K” = {(a4, ao, ., dn) |@1, œạ, , đ„ € JK}, với mọi đ = (21, @2, -;@n), — (bì, bạ, , b„), r € TK, ta định nghĩa hai phép toán

đ + B = (ai + bị, a2 + dy, , dn + bp)

đi = (rữ, rữa, , Tạ) -

K” cùng với hai phép toán trên là một không gian vectơ Nói cách khác, K” là một K - không gian veectơ

Ví dụ 1.22 Tập K[+z| các đa thức có hệ số trong K là một K - không

gian vectơ đối với phép cộng và phép nhân số với đa thức thông thường Tính chất của không gian vectơ

Định lý 1.6 Giá sử V là một - không gian 0ectở

CƠ SỞ CUA TOÁN KINH TẾ 27

1 _V chả có một uectơ không Ủ duy nhất

9 Với mỗi ä € V, uectơ đối —ä là duy nhất

3 Với mỗi đ € V,— (—đ) = a

4 Vad EV, var €K,ra = 0 khi va chi khir =0 hoc & =0

5 Vid eV, var ER, ta có: (—r) & = — (ra) = r (-)

6 Voir € K; ở, ổ EV, ta có: r(d — Ø)

1.3.2 Không gian vectơ con

Định nghĩa 1.5 Giả sử W là một tập con của khong gian vecto V Néu

W cững là một không gian 0ectơ đối uới hai phép toán đã cho trong V

thi W duoc gọi là một không gian con của V

Nói cách khác, nếu phép cộng và phép nhân với vô hướng trên không gian vectơ Wƒ cảm sinh phép toán tương ứng trên W thì W cùng với hai phép toán cảm sinh đó là một không gian vectơ

Tính chất đặc trưng

Định lý 1.7 Giá sử V là mét K - không gian vecto W là một tập con

của V Khả đó W là một không gian con của VỀ khá uà chả khả thoa man

các điều kiện:

1.W#@

2 &+BEW voi moi a,B EW

38 ra EW voi moire K,a ew

Dựa vào tính chất trên, muốn chứng tỏ một tập con là một không

gian vectơ con, ta dựa vào bổ đề sau

28 1.8 Không gian vecto

B6 dé 1.1 Tap con W ctia K - khong gian vecto V la khong gian vecto

con néu va chi néu théa man: W 4 © va vdi moi ad, B EW, moir,s EK,

ta cora+sB EW

Ví dụ 1.23 Với mỗi không gian vecto V, ban than V và tap {Ø} là

những không gian con của V Chúng được gọi là những không gian con

tầm thường của, V

Ví dụ 1.24 Tập P„ gồm đa thức 0 và các đa thức có bậc bé hơn hoặc

bang n cia K[z] (xem vi du 1.22) là một không gian con của không gian

vectơ IK|z]

Ví dụ 1.25 Theo ví dụ 1.21, với = 4 và K = R là trường số thực, thì

Rf là một R - không gian vectơ Tập W = {(ø,as,0,0)|ai,a¿ € R} là

một không gian con của không gian IR

Thật vậy, W z2 Ø vì (0,0,0,0) € W Với & = (a;,a9,0,0),8 =

(b:,b¿,0,0) thuộc W và r € R, ta có:

a + B= (ai, a2, 0,0) + (bị, b2,0,0) = (a1 + b1, a2 + bo, 0,0) € W,

ra = r(ay, a2, 0,0) = (rai, ra2,0,0) € W

M thỏa mãn các điều kiện trong định lí 1.7 Vậy W là một không

gian con của RÍ

Không gian con sinh bởi một hệ vectơ

Cho 4 = {ổi, đạ, , đ„„} là một hệ vectơ của K - không gian vectơ

V Khi đó tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của A, ki higu < A>,

có dạng:

<A> = {r1@y + ree + + m| r¿ € JK, với mọi ý = 1,1m} Định lý 1.8 G¡ảá sử A = {đn, đ;, , đ„} là một hệ vecto cua K - khong

gian vecto V Khi dd W = < A> là một không gian con của V

Hon nita, khong gian W là không gian con bé nhat chita A

Chú ý 1.5 Trong dinh lí trên,

- W được gọi là không gian con sinh bởi 4, kí hiệu: span(A); con A

CƠ SỞ CUA TOÁN KINH TẾ 29

được gọi là hệ sinh của W

- Không gian W sinh bởi một hệ hữu hạn vectơ Ta gọi nó là không gian hữu han sinh Trong giáo trình này ta chỉ xét các không gian vecto

có hệ sinh hữu hạn

Ví dụ 1.26 Xét không gian con W = {(a;,a2,0,0) | a; € R} cua không gian vectơ R (xem ví dụ 1.25) Hệ hai vecto €; = (1,0,0,0) , & = (0,1,0,0) của IR là một hé sinh cia W

That vay, mdi vectd @ = (a1, a2,0,0) € W có thể biéu dién:

a = (a1, 0, 0, 0) + (0, ao, 0, 0)

= a, (1,0,0,0) + a2 (0,1, 0,0)

= đ1Ể) + đ2£à

Vậy {ể¡, đa} là hệ sinh của W

1.3.3 Sự độc lập tuyến tính - Sự phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 1.6 Giả sử A = {đi, đạ, , „_—1, đ„} là một hệ u0ectở của

K - không gian 0ectø V, (m > 0) Khả đó

1 Hé vecto A duoc goi là phụ thuộc tuyến tính nếu có mm số

115725 +) m—1;1'm thuộc trường I, không đồng thời bằng 0, sao cho

min + PQ Hes TP ?P'm—-1Am—1 + thuy Ểm — 0

2 Hé vecto A duoc goi la ddc lap tuyén tính nếu nó không phụ thuộc

tuyén tính; nói cách khác, nếu

7101 + redo + +1 m-1Am—-1 + TmAm = 0

30 1.3 Không gian vecto

Điều đó chứng tỏ hệ đã cho phụ thuộc tuyến tính

3) Trong không gian R, ể¡ = {1,0,0,0},@ = {0,1,0,0},đ = {3,—2,0,0} Hệ {£¡,£a,đ} là phụ thuộc tuyến tính, còn các hệ

{Ei,£2}, {ểi,đ}, {£a, đ} là độc lập tuyến tính

Thật vậy, ở = {3,—2,0,0} = 3(1,0,0,0) — 2(0,1,0,0) = 3ể¡ — 2ẽ;

hay 3ể¡ — 28; + (—1)đ = 0; nghĩa là hệ {ể¡, ể›, #} phụ thuộc tuyến tính

và ở biểu thị tuyến tính qua éj, &9

Xét hệ {£¡, đ} Giả sử rịểi + ra = 0, nghĩa là,

1) Mot hé vecto hitu han A = {ổi,ða, , „} (uới m > 1) là phụ

thuộc tuyến tính khả va chỉ khả cé mét vecto ctia hé được biểu thị

tuyến qua các uectd cồn, lại

9) Một hệ uectd hữu hạn A = {öi, ổa, , đ„} (uới m > 1) là độc lập

tuyến tính khả uà chả khi không có một uectơ nào của hệ được biểu

thi tuyén qua cdc vectd con lai

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TE 31

Định lý 1.10 1) Nếu thêm uào một hệ độc lập tuyến tính một uectd không biểu thị tuyến tính được qua hệ ốụ thà được một hệ độc lập tuyến

tính

9) Nếu bớt đi ở một hệ phụ thuộc luyến tính một ueclơ không biểu thi

tuyến tính được qua các uectơ còn lại thà được rnột hệ phụ thuộc tuyến tính

Định lý 1.11 (Bồ đề cơ bản về sự phụ thuộc tuyến tính)

Cho A = {G1, G2, ,Am} la mét hé vecto va E = {€1, €5, , En} la mot

hệ vecto độc lập tuyến tinh sao choE C <A> Khidin<m

Cho hệ vectơ Á = {ối, đa, , đ„} trong không gian vecto V Hé A’

được lập nên từ một số vectơ của 4 gọi là hệ con của 4 Khi đó, Á' gọi

là con độc lập tuyến tính tối đại của A nếu A! độc lập tuyến tính và nếu

bổ sung vào 4? một vectơ bất kì của 4 thì hệ nhận được là phụ thuộc

tuyến tính

Hệ quả 1.1 Số 0uectơ trong một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của

một hệ uectơ là không đổi

Hệ quả 1.2 Mội hệ uectơ độc lập tuyến tính trong KP” có không quá n

Uecid

Hạng của hệ vectơ

Định nghĩa 1.7

Cho hệ 0ectd Á = {ö\i,G;, ,đm} Ta gọi hạng của A, ki hiéu:

hạng() hoặc rank(4), là số uectơ trong một hệ cơn độc lập tuyến tính toi dai cua nó

Theo hệ quả 1.1, định lí 1.11, hạng của rnột hệ uectơ là duy nhất Khái niệm về hệ sinh của một không gian vectơ và hệ vectơ độc lập

tuyến tính là tiền để nghiên cứu tiếp cấu tạo của không gian vectơ

32 1.8 Khơng gian vectd

1.3.4 Cơ sở và số chiều của khơng gian vectơ

Cơ sở và sự tồn tại cơ sở

Định nghĩa 1.8 72 gọ? một tập con Á của một khơng gian 0ectơd V khác

{01 là cơ sở của khơng gian đĩ nếu A độc lập tuyến tính uà < ÄA > = V

Ví dụ 1.28 Trong khơng gian vectơ ?„ gồm đa thức 0 và các đa thức

thuộc K|z] với bậc khơng quá ø, hệ vectơ {1,ø, z”, ,z”} là một cơ sổ Thật vậy, mỗi đa thức ƒ(z) € ?„ đều cĩ dạng ƒ(z) = ao + a‡# + Ant” + + az„z”,a¿ G lK, với mọi ¿ € {0,1,2, ,ø} Diều đĩ chứn tổ

{1,,?, , +} là một hệ sinh của P,, Mặt khác, nếu ag+à#-Eaa#Ÿ-E a,2” = 0 thì từ định nghĩa đa thức suy ra đo = 61 = dạ = = dạ =0,

nghĩa là {1,+,#Ÿ, ,z*} là hệ vectơ độc lập tuyến tính Vậy nĩ là cơ sở

của, Đụ

Ví dụ 1.29 Trong khơng gian RẺ, hệ ba vectd

ếị = (1,0,0), ếp = (0,1,0), é3 = (0,0, 1)

là một cơ sở Người ta gọi đây là cơ sở chính tắc của RỲ

Định lý 1.12 (Sự tồn bại cơ sổ) Mỗi K - khơng gian uectơ V # {0} đều

cĩ cơ sở

Hệ quả 1.3 Trong khơng gian 0ectơ, mỗi hệ uectơ độc lập tuyến tính

bất kà đều cĩ thể bổ sưng thành một cơ sở

Hệ quả 1.4 Số 0ectơ trong hai cơ sở của một khơng gian 0ectơd bằng

b) Mọi cơ sổ của V đều cĩ w vectơ

e) Mọi hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính của W đều là cơ sở

Người đọc tự chứng minh

Hệ quả 1.4 cho phép ta định nghĩa số chiều của khơng gian vecbơ

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 38

Số chiều của không gian vectơ

Định nghĩa 1.9 Số vecto trong một cơ sở của lK - không gian vecto V

được gọi là số chiều của V Kí hiệu: dimgV

Nếu không cần chỉ rõ trường ]K cụ thể, ta có thể uiết đơn giản là

1.3.5 Tọa độ của một vectd

Định nghĩa 1.10 Giá sử (£) = {ển,Ea, ,£„} là một cơ sở của -

không gian 0ectơ V, öđ€ V có cách biểu diễn duy nhất dưới dạng

a= Qy,E} + đ2£a + + AnEn ; đ¿ € K, uới mọt LE {1,2, ,n}

Bộ số (œ,dạ, ,d„) goi là tọa dé ctia & ddi vdi co sé (e) Ta viet:

G@ (01, Q9, -,An)-

Ví dụ 1.31 Trong không gian vectơ IRỶ, hệ vectơ (€) = {&,, &, &}, trong

dé & = (1,1,0), & = (0,1,1), & = (1,0, 1), là một cơ sở của R¥ Vectd

ở = 2ễ — 5a + Êa có tọa độ đối với cơ sổ (€) là (2, —5, 1)

Ta, có thể xác định tọa độ của các vectơ thông qua các phép toán tổng các vectơ và tích vectơ với võ hướng trên trường K

Định lý 1.13 Nếu k € K, ở va Ổ có tọa độ lần lượt là (ma, as, , a„) tà

(bị,bạ, bạ) hà:

1) Tọa độ của ä + 8 la (a, + b1, 0ạ + bạ, , đ„ + bn);

2) Tọa dé ctia k& la (kay, kag, ., kan)

Tọa độ của một vectơ đối với hai cơ sở khác nhau có mối liên hệ như

nào Trước hết ta định nghĩa mối quan hệ giữa hai cơ sở thông qua khái

niém ma tran chuyén cơ sở sau đây.

34 1.8 Khéng gian vecto

Ma trận chuyển cơ sở

Đình nghĩa 1.11

Giả sử (e) = {Et, 2, ,€n} va (€) = {§,És, ,€„} là hai cơ sở của IK

- không gian 0ectơ V,

Ết = tiiểi + 2i£a + + tuyển

Eo = hịz£i + Đas£› + + tuyến

(uà mỗi uectơ Ê; đều biểu thị tuyến tính qua cơ sở ())

Ta goi ma tran vudng cap n

ti, tig tin

T — toy to9 eee ton

la ma tran chuyén tt co sd (€) sang co sé (E)

Vi du 1.32 Xét khong gian vectơ R® với hai cơ sở

(£) — {£i, Ea, E3}, trong đó ếi — (1,0,0), E5 = (0, 1,0), €3 = (0,0, 1), và, (€) = {&i,€a,Éa}, trong đó 1 = (1, 1,0), Eo = (0, 1, 1) ) És — (1,0, 1)

a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sổ (€)

b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (£) sang cơ sổ (e)

CƠ SỞ CUA TOAN KINH TE 35

(1,0,0) = &, = buến nig boi €y SẼ Beas (1)

(0,1,0) = & = bio, + bay I b3o€3 (2)

(0,0, 1) = & = bisé + baséo + b3a€3 (3)

Định lý 1.14 (Tọa độ của một vectơ trong hai cơ sổ khác nhau)

Giả sử (e) = {En,Ê›, , E2} 0à (€) = {ft.€3, É„} là hai cơ sở của

K - khong gian vecto V, T = (ti) la ma tran chuyển từ cơ sở (e) sưng

co sé (E) Got (21, 29, ,2n), (Yi, Y2) 5Yn) lan luot la toa độ của uectơ

a déi vdi co sd (€) uà cơ sở (€) Khi do

nr r= )) tizyz, vot moti € {1,2, , n} j=l