Giáo trình toán cao cấp 1

VO THJ THANH HA Chu bien LE VAN LAI TOAN CAO CAP 1 TRUONG DAI HOC CONG NGl1l~P TP.HC~... ' Duqc sv ch&p thu~n cua Ban Ciam hi~u truong Dqi h9c Cong nghi~p Thanh ph6 H6 Chi Minh va Tru

69

VO THJ THANH HA (Chu bien)

LE VAN LAI

TOAN CAO CAP 1

TRUONG DAI HOC CONG NGl1l~P TP.HC~

'

Duqc sv ch&p thu~n cua Ban Ciam hi~u truong Dqi h9c Cong nghi~p Thanh ph6 H6 Chi Minh va Truong khoa Khoa h9c Co ban, giao trinh Toan cao c&p

1 duqc bien SOqn nham phvc vv cho vi~c dqy va h9c mon Toan cao c&p 1 tqi truong

Ciao trinh duqc bien SOqn danh cho sinh vien dqi h9c kh6i ky thu~t va kinh t~ N()i dung giao trinh duqc chung toi bien SOqn theo chuong trinh dao tqo mon Toan cao c&p 1 tqi truong Dqi h9c Cong nghi~p Thanh ph6 H6 Chi Minh, ki~n thuc duqc trinh bay m()t each logic, de hieu Moi n()i dung ki~n thuc d~u c6 vi dv minh h9a cho sinh vien ti~p thu m()t each de dang Sau moi chuong d~u c6 phcln bai t~p tv lu~n va tr~c nghi~m de sinh vien luy~n t~p Sinh vien c6 the tim th&y dap an ho~c huong dan 6 nhfrng trang cu6i Ciao trinh duqc chia thanh nam chuong:

Chuong 1: Cioi hqn va lien tvc

Chuong 2: Dqo ham va vi phan

Chuong 3: Tich phan

Chuong 4: Chuoi s6

Chuong 5: Phep tinh vi phan ham nhi~u bi~n

Tac gia xin gui loi cam on chan thanh d~n Ban Ciam hi~u truong Dqi h9c Cong nghi~p Thanh ph6 H6 Chi Minh va Chu nhi~m Khoa Khoa h9c co ban

da tqo m9i di~u ki~n thu~n lqi de giao trinh duqc xu&t ban D6ng thoi chung toi xin duqc chan thanh cam on quy thcly, co trong t6 Toan thu()c Khoa Khoa h9c Co ban - Truong Dqi h9c Cong nghi~p thanh ph6 H6 Chi Minh da d9c ban thao va dong g6p nhi~u y ki~n quy bau

Tac gia hy v9ng rang giao trinh nay se la nguoi bqn d6ng hanh va giup ich nhi~u cho sinh vien va giang vien trong qua trinh dqy va h9c mon Toan cao c&p 1

Tran tr9ng!

Thanh ph6 H6 Chi Minh, thang 10 nam 2022

Cac tac gia

Trang thOng tin giao trinh

https://github.com/khoacoban/toancaocap1

Nham t9-o c~u n6i gifra cac tac gia va b9-n d9c, chung toi da thi~t l~p trang thong tin ho trq t9-i dta chi tren 0 trang nay chung toi se:

Cung c~p cac chtrng minh: Nham trinh bay ki~n thuc m◊t each co d9ng va

de hieu, chung toi da luqc b6 cac chung minh trong ban in va cung c~p ban di~n tu B9-n d9c quan tam d~n cac chung minh c6 the tim 6 day

Thong tin sai sot: Trong l~n d~u phat hanh, chung toi khong the tranh khoi nhfrng sai s6t Do d6, chting toi se dang cac ban dinh chinh t9-i trang thong tin nay

Ti~p nh~n phan h6i d9c gia: Tac gia ciing mong nh~n duqc nhi~u y ki~n dong g6p quy bau tu quy th~y, co va cac b9-n sinh vien de l~n tai ban sau duqc hoan thi~n hon

Cac tac gia

Muc luc

1.2.2 M<)t s6 tinh ch§.t d~c bi~t cua ham s6 5

1.4.1 Khai ni~m gi6i he:1n ham s6 22 1.4.2 Cac quy tac tinh gi6i he:1n cua ham s6 25

1.4.6 M6 r<)ng khai ni¢m gi6i h<;1.n 29 1.4.7 Hai gi6i h<;1.n quan tr9ng 34

Trang iv

1.5.1 Dinh nghia va tinh ch~t

1.5.2 Lien h:1-c m9t phia Phan 109-i di~m gian do9-n

1.5.3 Ham s6 lien tuc tren mot doan

1.6 TfNH LIEN T[JC CUA HAM so CAP

1.6.1 Ham luy thua, can thuc

1.6.2 Ham mu va ham logarit

1.6.3 Ham lu9ng giac, lu9ng giac ngUQC

1.7 vo CUNG BE, vo CUNG LON vA GIOI HAN

1.7.1 Ham tuong duong

1.7.2 Vo cung be (VCB)

1 7 3 Vo cung 16n (VCL)

1.8 BAITA.P

2 DAO HAM VA VI PHAN

2.1 DAO HAM vA VI PHAN CAP 1

2.3 cAc DJNH LY GIA TRJ TRUNG BINH

2.3.1 Khai ni~m eve tri

00

2.4.2 D9-ng

-00

2.4.3 Cac d9-ng vo dinh khac

2.5 CONG THUC TAYLOR

2.5.1 Cong thuc Taylor voi ph~n du Lagrange

2.5.2 Cong thuc Taylor voi ph~n du Peano

2.5.3 Cong thuc Maclaurin m9t s6 ham s6 so c~p

2.5.4 Tinh g~n dung bang cong thuc Taylor

2.5.5 Tinh gioi h9-n bang cong thuc Taylor

2.6 UNG DUNG CUA DAO HAM

2.6.1 Ty 1~ thay d6i cua ham s6

2.6.2 Phan tich can bien

89

3.1.2 Tich phan b~t dinh

3.1.3 Phuong phap tinh tich phan b~t dinh

3.1.4 Tich phan ham hiiu ty

3.1.5 Tich phan ham luqng giac

3.1.6 Tich phan m<)t s6 ham vo ty

3.2 Tf CH PHAN xAc DINH

3.2.1 Dinh nghia va tinh ch~t

3.2.2 Cong thuc Newton - Leibniz

3.2.3 Phuong phap tinh tich phan xac dinh

3.3 Tf CH PHAN SUY RONG

3.3.1 Tich phan suy r<)ng 109-i m<)t

3.3.2 Tich phan suy r<)ng 109-i hai

3.4 UNG Dl)NG Tf CH PHAN

3.4.1 Tinh di~n tich hinh phing

3.4.2 Tinh the tich vat the

3.4.3 Tinh de) dai cung phing

3.4.4 Tinh di~n tich m~t tron xoay

3.4.5 Luqng thay doi cua m<)t ham

3.4.6 Gia tri trung binh cua ham s6

3.5 BAI TAP

4.1 DAI cUONG vE cHuo1 s6

4.1.1 Cac khai ni~m v~ chuoi s6

4.1.2 Di~u ki~n c~n de chuoi h<)i tv

4.1.3 Tinh ch~t cua chuoi h<)i tv

4.2 CHUOI s6 DUONG

4.2.1 Khai ni~m chuoi duong

4.2.2 Cac tieu chugn h<)i tv

4.3 CHUOI c6 DAU BAT KY

4.3.1 Chuoi dan d~u

4.3.2 H<)i tv tuy~t d6i

Trang vi

5 PHEP TINH VI PHAN HAM NHIEU BIEN

5 1.1 Khai ni¢m ham nhiJu bi~n

5.1.2 Giai han cua ham nhiJu bi~n

5.2.2 Tinh ch~t cua ham lien tvc

5.3 DAO HAM RIENG

5.3.1 Dqo ham rieng c~p m<)t

5.3.2 09-0 ham rieng c~p hai

5.4 VI PHAN

5.4.1 Khai ni¢m vi phan

5.4.2 Cac diJu kien kha vi

5.4.3 Tinh ch~t cua vi phan

5.4.4 Dung vi phan tinh gfln dung

5.4.5 Vi phan c~p hai

5.5 C{JC TRJ T{J DO

5.5.1 Khai ni¢m eve tri tv do

5.5.2 DiJu ki¢n cftn cua eve tri

5.5.3 DiJu kien du cua cue tri

5.6 cue TRI c6 DIEU KIEN

5.6.1 Khai ni¢m eve tri c6 diJu ki¢n

5.6.2 Phuong phap khu

5.8 BAI TA.P

Huang clan- dap an

Tai li¢u tham khao

200

204 205 205 206

207

207 208 209

209 210

211 214

214 214

215

218 222

230

237

Chttctng 1

1.1 co BAN VE so THUC

1.2 HAM so

1.3 DAY so

1.4 GIOI HAN CUA HAM SO

1.5 TINH LIEN TUC CUA HAM SO

1.6 TINH LIEN TUC CUA HAM so CAP

1.7 VO CUNG BE, VO CUNG LON VA GIOI H~N

1.8 BAI TAP

1.1 co BAN VE s6 THUc 1.1.1 Cac t~p s6 thuong g~p T~p hqp t~t ca cac s6 tv nhien duqc ky hi~u la N, nghia la N = {O; 1;2 }

T~p hqp t~t ca cac s6 nguyen duong duqc ky hi~u la N * , nghia la N * = { l; 2; 3 }

T~p hqp t~t ca cac s6 nguyen duqc k y hi~u la Z, nghia la Z = { - 2; - 1;0, 1;2 }

1

4

15

22

34

39

42

48

Trang 2 ChU'O'ng 1 GIOI H~N vA LIEN TlJC

T~p hqp t~t ca cac s6 hfru ty duqc ky hi~u la Q, nghia la

Q = { : : m, n E Z, n i= 0}

Tu xua, nguoi ta bi~t r~ng t~p hqp cac s6 nguyen va t~p hqp cac s6 hfru ty khong the bieu dien duqc t~t ca cac s6 do trong CUQC s6ng Chclng hqn, neu hinh vuong c6 d(> dai cqnh la m(>t don vi thi duong cheo cua n6 khong the bieu dien bing s6 hfru ty Tu d6, xu~t hi~n t~p h<JP cac s6 dung de bieu dien cho cac s6 do trong cac hoan canh nhu th~ nay T~p cac s6 nhu th~ duqc g9i

Gia tri tuy~t d6i c6 cac tinh ch~t sau:

lal =I-al, labl = lal lbl, la+ bl< lal + lbl •

Khoang each gifra hai s6 a va b la la - bl, lad(> dai doqn thing n6i a voi b

Hai s6 thvc a va b duqc gQi la g§.n nhau neu la - bl nh6

Ph§.n tiep theo trinh bay m(>t s6 di~u c6t loi cua t~p cac s6 thvc de lam

co so ly lu~n cho toan b(> n(>i dung quyen sach nay

1.1.2 Tien d~ v~ sup, inf

Djnh nghia 1.1 Cho A la m(>t t~p con khac rong cua R, va a ER

• a la phdn tu nh6 nhdt cua A neu a E Ava a < x voi m9i x EA Ph§.n tu nh6 nh~t cua A, neu c6, thi duy nh§.t va duqc ky hi~u la min A

• a la m(>t ch~n tren cua A neu a > x voi m9i x E A Khi A co m(>t ch~n

tren, ta n6i A bi ch~n tren va khi d6, ph§.n tu nh6 nh§.t cua t~p t§.t ca

cac ch~n tren, n~u c6, duqc g9i la ch~n tren nh6 nhdt cua A, ky hi~u la

sup A

• a la phdn tu Zan nhdt cua A neu a E A va a > x voi m9i x E A Ph§.n tu

Ion nh§.t cua A, n~u c6, thi duy nh§.t va duqc ky hi~u la max A

1.1 ca BAN vE so THl/C Trang 3

• l\' la m<)t ch~n duai cua A n~u l\' < x v6i m9i x E A Khi A co m<)t ch~n du6i, ta n6i A bj ch~n duai va khi d6, phcin tu 16n nh~t cua t~p t~t ca cac duoi, n~u c6, duqc g9i la ch~n duai Ian nhdt cua A, ky hi~u la inf A

Vi dl;l- 1.2 Xet hai t~p con cua t~p cac s6 thvc A = (O; 1] va B = (O; +oo ) Ta c6:

• Do 1 > x voi m9i x E A, nen 1 la m<)t ch~n tren cua A, va do d6 A bi

ch~n tren N goai 2 la m<)t ch~n tren, A con c6 vo s6 cac ch~n tren, la cac phcin tu cua t~p C = [1; +oo ) Do 1 la ph§.n tu nh6 nh~t cua C nen

• Do O < - x voi moi x EA, nen Ola mot chan duoi cua A, va do d6 A bi

cac ph§.n tu cua t~p D = ( -oo; O] Do O la ph§.n tu Ion nh~t cua D nen inf A= 0

• Do 1 E A va 1 > x voi m9i x E A nen max A = 1 Gia SU m = min A

Th~ thi O < m < x voi m9i x E A Ch9n x = ; E A, ta bu<)c phai c6

m < ; , nghia lam < 0, di~u nay mau thuan v6i m > 0 V~y min A

khong t6n tqi

• De th~y B bi ch~n duoi boi 0, c6 inf B = 0, va khong t6n tqi min B; B

khong bi ch~n tren, nen khong t6n tqi sup B, max B

Voi m<)t t~p con khong rong b~t ky A cua R, min A, max A, sup A va

Tien dJ vJ sup: M9i t~p con khong rang va bj ch~n tren cua R diu c6 ch~n

tren nh6 nhdt

Nh~n xet rang t~p - A = { - x : x E A} la t~p con khong rong va bi ch~n

tqi thi inf A t6n tqi va inf A= - sup(-A), ta suy ra

H~ qua v~ inf M9i t~p con khong rang va bj ch~n duai cua R diu c6 ch~n

duai Ian nhdt

1 1 E N;

2 'in E N, n + l E N;

3 M9i t~p con khac rong cua N d~u c6 phcin tu nh6 nh~t

Trang4 Chuang 1 GIOI H~N VA LIEN T\JC

• Voi x ER khoang (x - b; x + J) voi J > 0 duqc gQi la J Ian c~n cua x

• Cac t~p (J; +oo) va ( -oo; J), voi J la m(>t s6 thvc, lcln luqt duqc g9i la J Ian c~n cua +oo va -oo

1.2 H.AM SO

1.2.1 Khai niem ham s6

Dfnh nghia 1.2 Cho D la m(>t t~p con khac rong cua R Ham s6 f tu t~p D vao R la m(>t quy t~c lam tuang ung moi phcln tu x E D voi m(>t va chi m(>t phcln tu f(x) E R

Hinh 1.1: Ham s6 flam tuong ung x v6'i f(x)

Luu y, khi ham s6 f duqc cho bbi cong thuc, thi mi~n xac djnh cu.a n6

la t~p hqp t~t ca cac s6 thvc x lam cho cong thuc c6 y nghia Vi d1:1: ham s6

f ( x) = ✓3 - x co mi~n xac djnh D = { x : x E R, x < 3} vi ✓3 - x chi c6 nghia n~u 3 - x > 0

D6 thj cu.a ham s6 y = f(x) c6 duqc b~ng each ve t~t ca cac diem (x;y)

voi x E D va y = f(x) (Hinh 1.2) N~u ta b~t dclu tux = a tren tr1:1-c Ox, di chuyen theo phuong th!ng dung d~n d6 thj, sau d6 di chuyen theo phuong ngang d~n tr1:1-c Oy, ta se nh~n d uqc gia trj f (a)

y

a

Hinh 1.2: D6 thi cu.a ham y = f ( x)

Djnh nghia 1.3 (Tinh d<1n di~u) Cho ham s6 f (x) xac djnh tren khoang

( a; b)

Trang 6 Chu<1ng 1 GIOI H~N VA LIEN Tl}C

• Ham s6 /(x) duqc g9i la ham tang tren (a; b) (Hinh 1.3.a) neu

• Ham s6 /(x) duqc g9i la ham giam tren (a; b) (Hinh 1.3.b) neu

Hinh 1.3: (a) d6 thi ham tang; (b) d6 thi ham giam

• Ham ho~c tang ho~c giam tren ( a; b) duqc g9i chung la ham dan di¢u

tren (a; b )

• Ham s6 /(x) duqc g9i la kh6ng giam tren (a;b) (Hinh 1.4.a) neu

• Ham s6 f ( x) duqc g9i la kh6ng tang tren ( a; b) (Hinh 1.4.b) neu

Hinh 1.4: (a) d6 thi ham khong giam; (b) d6 thi ham khong tang

Djnh nghia 1.4 (Tinh chan, le) Xet ham f ( x) c6 miJn xac dtnh D d6i xung qua g6c t9a de) 0, nghia la neu x thu<)c D thi -x ciing thu<)c D Khi d6,

Hinh 1.5: (a) 06 thi ham s6 chan; (b) d6 thi ham s6 le

Djnh nghia 1.5 (Tinh tu~n hoan) Ham s6 f ( x) duqc gc;>i la ham s6 tu~n hoan n~u t6n t«;1.i s6 duong Tsao cho

Djnh nghia 1.6 (Ham 1 - 1) Ham s6 f(x) duqc g9i la ham s6 tuong ung

1 - 1 n~u voi moi y E Rf chi c6 duy nh§.t x E D sao cho y = f(x)

Trang 8 Ch1t<1ng 1 GIC11 H~N VA LIEN T{lC

Hinh 1.7: (a) d6 thi ham 1 - l; (b) d6 thi ham khong phai 1 - 1

V~ m~t hinh h9c, ham y = I ( x) la ham s6 tuang ung 1 - 1 n~u nhu m<)t

diem

Djnh nghia 1.7 (Ham nguqc) N~u ham s6 y = l(x) la ham tuang ung 1-1

thi voi moi y E Rf, t6n t~i duy nh§.t x E D sao cho l(x) = y Do do, quy tac lam tuang ung moi y E Rf voi x E D sao cho l(x) = y la m<)t ham s6, va ta

t~i X nen ham nguqc cua y = I ( X) duqc vi~t la y = 1- 1 ( X) Khi do, n~u diem ( x; y) thu<)c d6 thi cua ham s6 y = I ( x) thi diem (y; x) thu<)c d6 thi

ham nguqc y = 1- 1 ( X) Vi hai diem ( x; y) va (y; X) d6i xung voi nhau qua

xung voi d6 thj cua y = I ( x) qua duong phan giac thu nh§.t (Hinh 1.8)

Hinh 1.8: D6 thi cu.a ham y = f(x) va y = f -1 (x)

1.2.4 Ham s6 hgp

Djnh nghia 1.8 Cho hai ham s6

X r-t y = I (x), y r-t z = g(y),

1.2 HAM so Trang 9

trong d6, Rt la t~p con cua Dg Voi moi x E Dt qua f se c6 m(>t va chi m(>t

y E Rt sao cho f (x) = y, va voi y nay qua g se m(>t va chi m(>t z E Rg sao cho g(y) = z Nhu v~y, moi x E Dt ung voi m(>t va chi m9t z E R g xac djnh boi z = g[f(x)] Do d6, ta c6 ham s6

Giai Hai ham s6 da cho c6 mien xac djnh l~n luqt la Dt = [O; +oo) va

Dg = (-oo; +oo ) Cong thuc cua cac ham hqp c~n tim va mien xac djnh cua chting duqc tim th~y nhu sau:

Congthuc

(go f)(x) = g(f(x)) = 1- Jx

(f o g)(x) = f(g(x)) = Jl - x (f Of) (x) = f(f(x)) = rx (go g)(x) = g(g(x)) = x

1.2.5 Ham s6 So' c~p Co' ban

Mien xac djnh

[O; +oo) ( -oo; 1]

[O; +oo) (-oo; +oo)

Cac ham s6 sau day duqc g9i la ham so c~p co ban:

■ Ham liiy thita y = xa:, l\' ER

Mien xac djnh cua ham luy thua phv thu(>c vao l\' Cv the:

• N~u l\' E N thi mien xac djnh cua ham s6 la R

• N~u l\' la s6 nguyen am thi mien xac djnh cua ham s6 la R \ { 0}

• N~u l\' = *, p E Z, q E Z+ thi

- N~u q le va

Trang 10 Chll'ctng 1 GIOI H~N VA LIEN Tl)C

* p > 0 thi mien xac djnh la R;

* p < 0 thi mien xac djnh la R \ {0}

* p > 0, chan, thi mien xac djnh la R;

* p > 0, le, thi mien xac djnh la R+

* p < 0, chan, thi mien xac djnh la R \ {0};

* p < 0, le, thi mien xac djnh la R+ \ {0}

• N~u a la s6 VO ty thi ta quy uoc chi xet ham y = XIX tren [0; +oo) n~u

a > 0, va trong (0; +oo) n~u a < 0

■ Ham mii y = ax,o <a# l

S6 a duqc g9i la co s6 cua ham s6 mu Ham y = ax c6 mien xac djnh la R,

tang khi a> l, va giam khi a< l 06 thj ham y = ax nhu hinh 1.9

Hinh 1.9: D6 thi cua ham y = ax

■ Ham logarit y = loga x,O <a# l

y

0

O<a<l

(b)

y = loga x Ham s6 logarit y = loga x c6 mien xac dJnh la (0; +oo ), tang khi

a > l, va giam khi a < l 06 thi ham y = loga x nhu hinh 1.10

1.2 HAM so Trang 11

■ Cac ham lugng giac

sin tan

Hinh 1.11: 06 thi cac ham hrqng giac

Cac ham luqng giac y = sin x, cos x, tan x, cot x duqc dinh nghia nhu sau (Hinh 1.11):

cosx = OM;sinx = ON;tanx = AP;cotx = BQ

1 Ham y = sin x co mi~n xac djnh la R va mi~n gia tri la [-1; 1] 06 la m<)t ham le, tu~n hoan v6i chu ky 2n Do thi cua ham y = sin x tren [- n; n] duqc cho boi hinh 1.12.a

3 Ham y = tan x xac djnh te;1i mc;>i x i (2k + 1) ~, k E z, va mi~n gia tri la

R 06 la m<)t ham le, tu§.n hoan v6i chu ky n Do thj cua ham y = tan x

tren ( - ~; ~) duqc cho boi hinh 1.13.a

4 Ham y = cot x xac djnh te;1i mc;>i x i kn, k E z, va mi~n gia trj la R 06

la m<)t ham le, tu§.n hoan v6i chu ky n Do thi cua ham y = cot x tren

(O; n) duqc cho boi hinh 1.13.b

Trang 12 Chue1ng 1 GIOI H~N V.A LIEN Tl}C

Hinh 1.13: (a) d6 thi ham tan x; (b) d6 thi ham cot x

■ Cac ham lugng giac ngugc

1 Ham arcsin Ham s6 sin : R + [-1; 1] khong la ham 1 - 1 nhung khi

ta h~n ch~ mi~n xac djnh thanh [-I; I] thi sin : [-I; I] + [-1; 1] la ham 1 -1 Khi d6, t6n t~i ham s6 nguqc cu.a ham sin, ky hi~u arcsin,

Taco

{

y = arcs1n x,

-l<x<l

Tinh ch~t: V&i m9i x E [-1; 1] ta c6

(a) sin( arcsin x) = x

• T[

/ / /

·••-! 7T X

-1 / / 0 1 ···· -1 ··•• ~:, ,,.~

.1/ = cosx

(b) Hinh 1.14: (a) d6 thi ham arcsin x; (b) d6 thi ham arccos x

1.2HAM s6 Trang 13

2 Ham arccos Tuong h!, ham s6 cos : (O; JI] ➔ [-1; 1] la ham 1 - 1 nen

co ham nguqc, ky hi~u la arccos,

06 thi: Ham y = arccos x co d6 thi nhu hinh 1.14.b

3 Ham arctan Ham s6 tan : (-I; I) ➔ (-oo; 00) la ham 1 - 1 nen co ham nguqc, ky hi~u la arctan,

arctan : ( -oo; oo) ➔ ( - ; ; ; )

Taco

{

y = arctan x,

-oo < X < oo

Tinh chit: Voi m9i x E R ta co

(a) tan ( arctan x) = x,

(b) arctan(-x) = - arctanx

tany = x, -I<y<;

06 thi: Ham y = arctan x co d6 thi nhu hinh 1.15.a

Trang 14 Chuang 1 GIOI H~N VA LIEN Tl)C

4 Ham arccot Ham s6 cot : (O; rr) ➔ (-oo; oo) la ham 1 - 1 nen co ham nguqc, ky hi~u la arccot,

Ta co

arccot: ( -oo; oo) ➔ (O; rr)

{ y = arccot x, ~ { cot y = x,

- 0 0 < X < 00 0 < y < 7f

Tinh chlt: Voi m9i x E R ta co

(a) cot( arccot x) = x,

• Thuong cu.a f va g, ky hi~u la f, la ham s6 xac djnh tren mi~n ma ca f

va g cung xac djnh, d6ng thai g(x) phai khac kh6ng, va

( f) (x) = f (x), Vx E D,

D = {x E D1 n Dgl g(x) -IO}

quat Xn duqc g9i la s6 h~ng thu n Day s6 nhu V?Y duqc ky hi~u la

(xn)-S6 n duqc g9i la chi s6 cu.a Xn Chi s6 nay khong nh§.t thiJt b~t d§.u tc:ii

n = 1, no co th~ b~t d§.u t~i n = 0, n = 2, ho~c m(>t s6 nguyen duong tuy y

Khong phai day s6 nao cung duqc t~o ra tu m(>t cong thuc Vi d1:1, day cac chfr s6 cu.a s6 rr :

3; 1; 4; l; 5; 9; 2; 6 ,

Khi Xn co cong thuc, ta g9i Xn la s6 h~ng tong quat cu.a day s6

(xn)-Trang 16 Chu<1ng 1 GICJI H~N VA LIEN Tl)C

Days6

0 121314151·•· 1 2 3 4

1; -1; l; -1; 1;

656,1;486;433,9;410,396,9;

Dinh nghia 1.12 Cho day s6 (xn)

• Day ( Xn) duqc g9i la bf ch~n tren neu ton t~i s6 M E R sao cho

Xn < M, \::In EN

• Day (xn) duqc g9i la bf ch~n du6i neu ton t~i s6 m E R sao cho

Xn > m, \::In E N

• Day (xn) vua bt ch~n tren vua bt ch~n duoi g9i la day bt ch~n

• Day ma t~t ca cac s6 h~ng b~ng nhau duqc g9i la day h~ng

Vi du 1.7

• Day s6 (xn), voi Xn = ¼, la day s6 bt ch~n do voi m9i n E N*, ta c6

0 < Xn < l

• Day s6 ( Xn), voi Xn = n 2, la day s6 bt ch~n duoi, khong bt ch~n tren do

voi m9i n E N, ta c6 0 < Xn va Xn r~t Ion khi n Ion

• Day s6 ( Xn), voi Xn = 2, la day s6 h~ng

1.3.1 Day s6 h(>i

t1:1-Dtnh nghia 1.13 Day s6 (xn) duqc g9i la h(>i t\l den s6 x E R n~u voi m9i s6 € > 0, ton t~i s6 no thu(>c N, sao cho voi m9i n > no thi khoang each gifra

n ++oo

Dtnh nghia 1.13 duqc viet duoi d~ng ky hi~u la:

x = lim Xn B \::/€ > 0, :3no E N, \::In > no, lxn - xi < € (1.1)

n ++oo

2 Suy ra, niu ( Xn), (Yn) h9i t1} va Xn > Yn, \:In > M thi

lim Xn > lim Yn·

Giai Gia SU lim lxnl = 0 Suy ra lim (-lxnl) = - lim lxnl = 0 Do

nen ap d1;1.ng Tieu chu~n k~p, ta duqc lim+ Xn = 0

■ Mit r<)ng khai ni~m h<)i h_1 cua day sf>

Djnh nghia 1.14 Day (xn) duqc g<;>i la h<)i t\l v~ +oo, khi n ➔ +oo, ky hi~u lim Xn = +oo, n~u

Trang 20 Chu<1ng 1 GIOI H~N VA LIEN Tl)C

1.3.2 Day don di~u

Djnh nghia 1.15 Day s6 (xn) duqc gQi la day tang (giam) n~u v6i m9i n E

N, Xn < Xn+l (Xn > Xn+1) M9t day ho~c tang ho~c giam duqc gQi la day dan difu

Djnh ly 1.8 M9i day dan difu viz bj ch~n diu la day h9i tl:l

Vi d\11,14 Xet tinh h(>i h,t ctia diiy (xn) v&i Xn = ( 1 + ! ) ", n E N*

Giai Ro rang Xn > 0, Vn E N* Ap dt;1.ng b§.t d!ng thuc Bernoulli1 ta c6

Trang 22 ChU'e1ng 1 GIOI H~N VA LIEN Tl}C

Chu y 1.1 Day ( Xn) la day con cu.a chinh n6 Han nfra, tu dinh nghia, ta suy

ra m<;>i day con cu.a m(:,t day bi ch~n thi bi ch~n ciing nhu m<;>i day con cu.a m(:,t day don di~u ciing la day don di~u

Djnh ly 1.9 Day (xn) h9i t¥ khi va chi khi m9i day con cua n6 d€u la day h9i t¥

va c6 chung m<)t giai hfln

Vi dl;l 1.16 Day s6 (xn) voi Xn = (-lt c6 hai day con: (x2k) va (x2k+1), Vi

X2k = 1 ➔ 1 va X2k+l = -1 ➔ -1 nen (xn) khong h(:,i t\J

Bay gio, xet day ( Xn) bi ch~n Ta c6 the chung minh duqc r~ng m<;>i day s6 d~u c6 it nh§.t m(:,t day con don di~u (xem [4]) Do d6, day (xn) c6 day con

( Xnk) don di~u Vi ( Xnk) ciing la day bi ch~n nen la day h(:,i t\l, theo Dinh ly 1.8 V~y, ta c6

Djnh ly 1.10 (Bolzano - Weierstrass) M9i day bj ch~n d€u c6 it nhtit m<)t day con h<)i t7:l

1.4.1 Khai ni~m gi&i h~n ham s6

Djnh nghia 1.18 (Di~m tl;l, di~m co l~p) Cho D la t~p con khac rong cu.a R

va a: la m(:,t s6 thvc Ta n6i:

• a: la diem t¥ cu.a D n~u m<;>i € - Ian c~n cu.a a: d~u c6 ph§.n tu cu.a D, khac a:, nghia la

\:/€ > 0, (a: - €;a:+€) n (D \{a:}) -:f 0

• a: E D la diem co l~p cu.a D n~u t6n tqi b - Ian c~n cu.a a: sao cho m<;>i diem thu<)c Ian c~n nay khong thu(:,c D, ngoqi tru a:, nghia la

:M > 0, (a: - b;a: + b) n (D \{a:})= 0

1.4 GIOI H~N cuA HAM s6 Trang 23

• 4 la diem co l~p cu.a D vi

Dn (4- ~;4+ D \ {4} = 0

M~nh d~ 1.1 (D~c tntng cu.a di~m hJ) S6 thJ!c a la diem t1:t cua D niu va chi niu c6 m9t day (xn) trong D \{a} sao cha Xn ➔ a

Djnh nghia 1.19 (Gi&i h~n cu.a ham s6) Cho ham s6 f(x) xac dinh tren

( a; b) chua a, co the khong xac dinh tc::,.i a Ta noi s6 thvc /3 la gi6i hc::,.n cu.a

f ( x) khi x ti~n t6i a n~u v6i m9i € > 0, t6n tc::,.i b > 0 sao cho v6i m9i

x E ( a; b) \ {a} n~u khoang each gifra x va a nho hem b thi khoang each gifra

f(x) va /3 nho hem€ Khi do, ta vi~t

Trang 24 ChU'<1ng 1 GIOI H~N VA LIEN T{JC

b) V6i € > cho truoc, ta c~n tim J > 0 sao cho voi m9i x,

V~n d~ d~t ra la: lam thJ nao dJ dl;l' doan duqc s6 f3 trong Dinh nghia

1.19? Dinh ly sau day giup chung ta giai quyJt ph~n nao v~n d~ nay

Djnh ly 1.11 Cho ham s6 f(x) xac djnh tren (a; b) chua a, c6 the'khong xac djnh tt;1i a Khi d6, lim f ( x) = f3 n€u va chi n€u

x ➔ a:

\l(xn) C ((a;b) \{a}), (xn ➔ £X ==> f(xn) ➔ /3)

Vi d \J 1.20 Ham s6 f ( x) = x2 + 2x + 3 co gioi h~n t~i x = 0 b~ng bao nhieu?

Giai Mi~n xac dinh cua f(x) la DJ= R Voi day (xn) c (DJ\ {0} ), Xn ➔ 0,

ta co

f (xn) = x~ + 2xn + 3 ➔ 02 + 2.0 + 3 = 3

V~y, lim(x2 + 2x + 3) = 3

x ➔ O

Vi dv 1.21 Ham s6 f(x) =sin½ co gi6i h~n t~i x = 0?

Giai Mi~n xac dinh cua f(x) la D1 = R \ {0} Trong DJ, co hai day: (xn),

Xn = zr+~nn ➔ 0 va (x~), x~ = nln ➔ 0 nhung khi n ➔ +oo, thi

t.4 c101 H~N cuA HAM s6

1.4.2 Cac quy tic tinh gi&i h~n cua ham s6

Tu Dinh ly 1.11 va tinh ch§.t cua day s6 h<)i t\l, ta c6

Dinh ly 1.13 (Cac quy tic tinh gi&i h~n) Cho a, a va b la ctic s6 thlfc Niu

lim f ( x) = a va lim g ( x) = b thi:

lim ( x2 - 3x + 4) = lim x2 - 3 lim x + lim 4

X-+IX X-+IX X-+IX X-tlX

= a 2 -3a +4

b) Ta c6

x4 - x 2 + 3 lim 2

Trang 26 ChU'<1ng 1 GIOI H~N VA LIEN Tl}C

lim x 4 + lim(-x2) + lim 3

• N~u P(x) = anxn + an-1Xn-l + · · · + ao, da thuc b~c n, thi

Dinh ly 1.14 (Tieu chuin k~p cho ham s6) Cho ba ham s6 f,g va h xtic djnh

tren (a; b) \ {a}, vai a E (a; b)

1.4 GIOI HAN CUA H.AM SO

1.4.4 Gi&i h~n cua ham h(!p

D!nh ly 1.15 Cho D1, D2 la hai t~p con khtic rang cua R, va IX la diem t1:1 cua D1

Niu ham s6 f xtic djnh tren D1 c6 mMn giti trj la D2, c6 lim f ( x) = {3, va ham s6

Trang 28 Ch1.t<1ng 1 GIOI H~N VA LIEN Tl)C

Khi do, ta viet limX-tiC f(x) = /3 hay f(IX-) = /3

• Tuong tv, cho ham s6 f ( x) xac dinh tren ( IX; b) Giai h{Jn ben phai cua

f ( X) khi X tien tai IX bang /3 neu

Dieu nay dung neu b = € ho~c b la m9t s6 duong nho hon€

b) Vai € > cho truac, ta c~n tim b > 0 sao cho vai m9i X,

0 < IX - x < b * le - cl < €

Dieu nay dung vai m9i b > 0

Tuong tv, ta ciing chung to duqc c) va d)

1.4 G101 HAN cuA HAM s6 Trang 29

limx +-1+ f(x), limx +1 f(x), limx +2/(x), limx➔3- f(x)

1.15 van con dung khi cac gi6'i hc).n trong dinh ly duqc thay boi cac gi6'i hc).n m<)t phia

Bay gia, ta mo r<)ng khai ni~m gi6'i hc).n ham s6: gi6'i hqn hfru hc).n tc).i vo cung, gi6'i hqn tqi di~m hfru hqn b~ng VO cung, va gi6'i hqn tqi VO cung b~ng

VO cung

■ Gi&i h~n hfru h~n (1 VO cung

Dinh nghia 1.21 Cho ham s6 f(x) xac dinh tren (a; +oo ) Ta n6i:

• s6 thvc /3 la gioi hqn cu.a f ( x) khi x ti~n t6'i +oo n~u

VE> 0,:3b > 0,\:/x E (a;+oo),(x > b ⇒ lf(x)-/31 < €)

Khi d6, ta vi~t lim f(x) = /3

x ++oo

Trang 30 Chuang 1 GIOI H~N VA LIEN TlJC

• s6 tht;l'c f3 la gi6i h<;ln cu.a f ( x) khi x ti~n t6i - oo n~u

Ve> 0, =lb> 0, \Ix E (a; +oo ), (x < -b ⇒ If (x) - /31 < e)

Khi d6, ta vi~t lim f(x) = (3

Di~u nay dung v6i m<;>i b > 0

Chu y 1.3 Dinh ly k~p 1.14 van con dung khi cac gi6i h<;ln trong dinh ly

duqc thay boi cac gi6i h<;ln hfru h<;ln o VO cung

1.4 G101 H~N cuA HAM s6 Trang 31

Hinh 1.19: Gioi h~n t~i s6 thvc b~ng v6 cung

■ Gi&i h~n t~i s6 thl!c bing vo cung

Djnh nghia 1.22 Cho ham s6 f ( x) xac dinh tren ( a; b) cht.i'a tX., co the khong xac djnh t<;1i tX Ta noi:

• Ham s6 f ( X) ti~n t&i + 00 khi X ti~n t&i {X, n~u

VM>0,:3b>0,VxE (a;b),(0< lx-tX.I <b ⇒ f(x) >M)

Khi do, ta vi~t lim f (x) = +oo (Hinh 1.19a)

Cac gi&i he;1n

lim f(x) = +oo, lim f(x) = -oo, lim f(x) = +oo, lim f (x) = -oo

-duqc dinh nghia tuang hJ

Vi d\11.31 Chung minh r~ng lim \ = +oo

Trang 32 Chuang 1 GIOI H}:\N VA LIEN T{JC

x +O + X

■ Gi&i h~n i:J VO cung, blng VO cung

y

y = f(x) f(x) - · ···· · ·· · · · - -