Giáo trình TOÁN CAO CẤP (KinhTế , Kỹ Thuật)

Nếu ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của một hệ phương trình tuyến tính ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho.. Hệ phƣơng trình Cramer..[r]

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 Ma trận

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

21

1 12

11

Người ta thường dùng các chữ cái in hoa để đặt tên cho ma trận: A, B, C,

Ta nói aij là phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận Đôi khi ta viết tắt ma trận trên là: (aij)m n

Ma trận cấp n n được gọi là ma trận vuông cấp n

Các phần tử a iii(  1, , )n lập nên đường chéo của nó

( )

n

M là tập hợp tất cả những ma trận vuông cấp n trên

Ma trận tam giác trên là ma trận có tất cả các phần tử

phía dưới đường chéo bằng 0

Ma trận tam giác dưới là ma trận có tất cả các phần tử

phía trên đường chéo bằng 0

11

21 22

0 0 0

vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma trận tam giác dưới

C A B c  , vớicij a b i1 1j a b i2 2j  a b in nj

 Phép nhân ma trận không có tính giao hoán

 Nếu AB = 0 không suy ra A = 0 hoặc B = 0

Ví dụ Tìm m, n, p trong các trường hợp sau

a A m n B2 3 C4p b A2p B3 4 C m n

Giải

a A m n B2 3 C4p

Áp dụng điều kiện nhân được suy ra: n2

Theo quy tắc nhân: A m n B2 3 A m2B2 3 C m3 C4p

Do đó: m4 và p3

b A2p B3 4 C m n

Áp dụng điều kiện nhân được suy ra: p3

Theo quy tắc nhân: A B2 3 3 4 C2 4 C m n

 , với n nguyên dương bất kì

Chứng minh công thức trên đúng bằng phương pháp quy nạp

Với n1 công thưc đúng

Giả sử công thức đúng với n k , nghĩa là

02

1

30

302

021

2 Phép biến đổi 2: Nhân một dòng với một số khác

3

30

2

02

302

042

Nhận xét Phép biến đổi này thường được sử dụng để

đơn giản hay đổi dấu một dòng

3 Phép biến đổi 3: Cộng một dòng với một dòng

khác đã nhân với một số khác không

3

30

2

02

340

021

Nhận xét Phép biến đổi này thường được sử dụng để

đương dòng với B, ký hiệu A B , nếu B có được từ A qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào đó

4 Ma trận dạng bậc thang

Định nghĩa

Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu thỏa

mãn hai điều kiện:

 Các dòng khác không luôn ở trên các dòng không

 Với hai dòng khác không, phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần

tử khác không đầu tiên của dòng trên

1 5

2 1 2

3 1 3

4 1 4

4 5 10

Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại

một ma trận B vuông cấp n sao cho: A B B A I

Ma trận B là duy nhất và được gọi là ma trận đảo của

 Nếu không biến đổi được về dạng ( | )I B (nghĩa là

ma trận bên trái có xuất hiện dòng không) thì ma trận A không khả đảo

Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau

Người ta gọi định thức của ma trận vuông A là một số,

ký hiệu det A A và được xác định như sau:

 Nếu A là ma trận vuông cấp 1, A(a11) thì 11

01

3

12

310

423

 Một cách tổng quát, nếu A là ma trận vuông cấp n

Ứng dụng Ta có thể khai triển định thức theo cột 1

thay vì dòng 1 như công thức trên

Khai triển tiếp theo dòng 3 các định thức trong vế phải

 Một định thức có hai dòng (hay hai cột) tỉ lệ với nhau thì bằng 0

thành tổng của 2 dòng thì định thức bằng tổng của 2 định thức có dòng tương ứng là các dòng thành phần

1 2

Ứng dụng Ta có thể sử dụng phép biến đổi này để

biến một dòng hay một cột của định thức có nhiều số 0 nhất, sau đó khai triển định thức theo dòng hay cột đó

Tính chất 6 Ma trận tam giác, ma trận chéo có định

thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính

n n

A A

A

A A

A

A A

2 22

21

1 12

11

1

Trong đó A là phần bù đại số của phần tử ij a ij

Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau

n n

n n

b x a x

a

x

a

b x a x

a

x

a

b x a x

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

Chú ý rằng, hệ phương trình (1) có thể cho dưới dạng

Nhận xét Nếu ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp

trên các dòng của một hệ phương trình tuyến tính ta được

hệ mới tương đương với hệ đã cho

2 Nghiệm của hê phương trình tuyến tính

Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là một

bộ số gồm n số ( , ,c c1 2 ,c sao cho khi thay vào n)

1 2

( ,x x , ,x các phương trình được nghiệm đúng n)

3 Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính – Định lý Kronecker-Capelli

Cho hệ phương trình (1), ta có:

 r A( )r A( ) : Hệ phương trình vô nghiệm

 r A( )r A( )n : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

 r A( )r A( ) r n: Hệ phương trình có vô số nghiệm và các nghiệm phụ thuộc (n r ) tham số

n n

n n

b x a x

a

x

a

b x a x

a

x

a

b x a x

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

5 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss

Từ định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, ta có phương pháp tổng quát sau để giải một hệ

phương trình được gọi là phương pháp Gauss

Bước 1 Lập ma trận hệ số mở rộng A( | )A B

Bước 2 Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa

ma trận A về dạng bậc thang

số nghiệm của hệ phương trình Cụ thể như sau:

 Nếu ( )r A r A( )thì hệ vô nghiệm

 Nếu ( )r A r A( )n thì hệ có duy nhất nghiệm

 Nếu ( )r A r A( ) r n thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào (n r ) tham số

Bước 4 Tìm nghiệm (nếu có) của hệ phương trình dựa

vào dạng bậc thang của ma trận hệ số mở rộng

Ví dụ Giải các hệ phương trình tuyến tính sau

Ta có r A( ) r A( )   3 n nên hệ phương trình có duy nhất nghiệm

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

3 3

1 2 3 1

3 3

1 3 1 4

4 4

2 4 2

3 3

x x

vô số nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

x

R x

1 2 3 4

( ,x x x x, , ) ( ,1  , , ); , 

có vô số nghiệm phụ thuộc vào 1 tham số

 Hệ phương trình đã cho tương đương với:

nghiệm phụ thuộc 2 tham số

Suy ra, hệ phương trình đã cho tương đương với:

Do đó hệ phương trình tương đương với:

6

x x x x x





































0

0

0

2 2 1

1

2 2

22 1

21

1 2

12 1

11

n mn m

m

n n

n n

x a x

a

x

a

x a x

a

x

a

x a x

a

x

a

Dạng ma trận: AX = 0

2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

a Nghiệm tầm thường: Hệ phương trình tuyến tính

thuần nhất luôn luôn có nghiệm (0, 0,…, 0) gọi là nghiệm

tầm thường

b Nghiệm không tầm thường

 Nghiệm của hệ phương trình có ít nhất một thành

phần khác 0 gọi là nghiệm không tầm thường

 Hệ có nghiệm không tầm thường  r(A) < n ( số

ẩn số )

 Nếu A là ma trận vuông thì: Hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi detA0

 Nghiệm không tầm thường còn gọi là nghiệm tổng

quát, nó phụ thuộc một số tham số Nếu các tham số lấy

các giá trị cố định thì ta được nghiệm riêng

3 Hệ nghiệm cơ bản

Nếu hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì

2 3

3 7 ( , ,1, 0) ( 1, 2, 0,1)

Biến đổi ma trận hệ số về dạng bậc thang

x x

01

0

0

30

8642

4321

2

1361

1

125

2

123

072142

22171

03171

1

2

715

2

4

423

072142

22171

03171

10 5

0

7 1

3

5 4

1.10 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:

45

cos sin

sin cos

2

11

0

64

113

642

10

a

a a

12

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

12

13

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

02

32

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

2323

4

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

30 4 3 2

4 3 2

1

4 3 2

1

x x x

x x x

x

x x x

5 4 2

1 2 3

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x x

x x x x

x x x x

1.14 Giải các hệ phương trình bằng phương pháp Gauss

243333

02

12

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

1.15 Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

04

2

02

3 2

1

3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

033

02

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

02

02

4 3

1

4 3 2

1

4 2

1

x x

x

x x x

x

x x