Giáo trình toán cao cấp 2

kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier han tai x; va gidi han trai tai x; Ham sé f: [a,b] > R được gọi là liên tục từng khúc nếu chia [a,b] bởi số hữu | hạn điểm B=Xo... G

LƯU HÀNH NỘI BỘ

nl

4.5 Đẳng thức Parseval : f:R > R là hàm tuần hoàn chu kỳ 2z „ thoả mãn định lý

b/ Chứng mình rằng chuỗi hàm số > Jn xe ~” hội tụ đều trên R

Bai 3: Cho chudi ham sd SY ne ffs un iM Chifag minh rang chudi ham số đó hội tụ đều trên khoảng

kiện đủ để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier

han tai x; va gidi han trai tai x;

Ham sé f: [a,b] > R được gọi là liên tục từng khúc nếu chia [a,b] bởi số hữu | hạn điểm

B=Xo <Ki <x << ky = b sao cho trên mỗi khoang (%;.1; x;) ham f lién tuc, cd giới hạn phải hữu

chan [a,b], a„, bạ là các hệ số w CÀ một hầm tuần hoàn chu kỳ 2z, liên tục từng khúc trên mỗi đoan bi

Fourier cia n6 thi: lima, =limöð, =0

Pho POD

se Đổ đề: ï

##=aoo

f:R ->R là hàm tuần hoàn chu kỳ 2z, liên tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn „

Sn là tổng riêng thứ n của chuỗi Fourier thì:

° Định ly 2: Giả sửf: R 3> R_ là một hầm tuần hoàn chu kỳ

kiện sau trên | Z.zÌ

r thoả mãn một trong bai điều

- Hoặc f liên tục từng khúc và có đạo hầm f liên tục từng khúc

ac f

- Hoặc f đơn điệu từng khúc và bị chặn

Khi đó chuỗi Fourier của f hội tụ tại mọi điểm Tổng SÓ@Q của nó bang f(x) tại những điểm

liên tục của f Tại điểm gần đoạn C của f ta có :

S(Œ= £E+O+FE-9 0)

4.4, Khai trié ién mét ham sé bat ky thanh chudi Fourier

f(x) thoa min dinh ly 2 trén [a,b], ta x4

Œ - a) sao cho gGQ = fŒ), Vxe Ì 5 bị

Nêu g(x) c6 thé khai triển được thành chuỗi Fourier thi tổng của chuỗi đó bằng f(x) tal moi điểm của la, bị trừ tại những điểm gần đoạn của f(x), có nhiều cách xây dựng hàm số g(x) như vậy Với mỗi g(x) có một chuỗi Fourier tương ứng, do đó có nhiều chuỗi Fourier biểu diễn

FOR),

43

4.1 Chuỗi lượng giác

Người ta gọi chuỗi lượng giác là chuỗi hàm số có đạng :

Giá sử giá trị của hầm số f(X) tại một điểm trong một lân cận nào đó của Xo Va gid sit

trong lân cận ấy :

Néu f(x) c6 thé khai triển thành chuỗi luỹ thừa trên một khoảng nào đó thì [Fedde cũng

có thể khai triển luỹ thừa trên khoảng ấy

Chuỗi này cũng có khoảng hội tụ là (-R,R)

3.4 Khai triển môt số hàm số thành chuỗi luỹ thừa

Ham f(x) c6 dao ham mọi cấp trong lân cận nào đó của điểm Xo

có thể khai triển hàm số f(x) thanh chudi Taylor trong lân cận Ấy

Nếu lim 8, (x) =0 , trong d6 R,(x) = (x-x,)"" , € 1a diém nao d6 giffa x, va x thi

® Định jý 2: Nếu trong một lân cận nào đó của điểm xạ, hầm số f(x) c6 đạo hầm mọi cấp, trị

số tuyệt đối của mọi đạo hàm đều bị chặn bởi cùng một số trong lân cận ấy, thì có thể khai triển f(x) thanh chudi Taylor trong đó

: ¬ toi 1 của KR: Ww ged

Tại x= 1, ta có chuỗi ` —— — 2 3 n đó là chuôi số điều hoà, nó phân ky Taix=- 1

* day Ri eX i iii 2 Tà Ke ow Sy tha min eén Aida btAn ot tte

ta có chuỗi số —Í+ 23 + + đồ là chuỗi số đan đấu thỏa mãn các điều kiện của định lý ke &

Leibuiz, nó hội tụ Do đó tập hội tụ của chuỗi luỹ thừa đã cho là -l1<x <1

Ta có : lim: a mm la | m=(n 4D! mend] = lim = lim-———- = 0

Đo đó R= +œ, chuỗi luỹ thừa hội tụ trén toanR

Tóm lại chuỗi hàm số đã cho có tập hội tụ là (-1„

3.3 Tính chất của chuỗi luỹ thừa

Xí dụ: Xét chuỗi hầm số » ma yo Đặt tu) =—— Vì | J9, ,@) S->y, Vx€#, Vø mà chuỗi

Tự COSHX _ x: cà NH€OSHĂE Vu và 2 ˆ „

Vì u,@Q=——— mà chuỗi số » — hội tụ đều trên R, nên theo định lý 3

n° a On

Hel el

3 CHUOI LUY THTA

3.1 Chuỗi luỹ thừa bán kính hôi tu

i ị 1® z 2 As 2 We ge `

=p (hoặc lim ¥/\a | =) thi ban kinh h6i tu R của chuỗi luỹ thừa

a,x” dude xdc dinh béi 2 : i (Œrõ ràng chuỗi luỹ thừa g y —„x” luôn hội tụ tại x = 0)

h~>e lz„| neo ye |

ALS? 34.8 whet eet

im của chúng trên (a;b) Khi đó nếu chuỗi hầm số >1 „ hội tụ đều trên (a;b) thì tổng S khả vi

6 _ được gọi là hội tụ tại điểm xu e Y, nếu dãy hàm số {S,}

® Định nghĩa ¡ : Chuỗi nam sé

hội tụ tại điểm Koy được gọi là hội tụ trên tập hợp X nếu nó hội tụ tại mọi điểm của X Giới hạn Š

của đấy {S,} được gọi là tổng c Ta chuối hầm số,

a 2 i "4 IAmét cấp số nhân vô hạn có công bội x, nó ` ® ae at a ae 2 x c3 2

hội tụ khi x > 1, phân kỳ khi x<1

< ta y tập hội tụ của nó là khoảng (1 ; +eo)

es $ đi EE Bs Wt wn lad Pee —~ fh

Hi noe yt]

Vậy chuỗi hàm số đang xét hội tụ tuyệt đối Vxe 8

® Định nghĩa 2: Chuỗi hàm số (**) được gọi là hội tụ đều trên X nếu đấy hầm số {Sa} hội tụ

đều trên X Nói cách khác, chuỗi ham số (**) hội tụ đều trên X và có tổng là S nếu với We > Ũ,

ton tại một số Hy 6 Ñ saochon2n, => IS, (x)— S(x) <é VxeX

La

Ví dụ : Xét chuỗi hầm số » —~ đó là một chuối đan dấu thỏa mãn các điều kiện của

mà XR

định ly Leibniz, nên nó hội tạ WVxe # Phần dư thứ n của nó cũng là một cue) số đan dấu nên

có tổng về trị tuyệt đối bé thua trị tuyệt đối của số hạng đầu tiên của nó, tức

e Dinh nghia 1: Giả sử ƒ,,/7, /„ là một đấy các hầm số xác định trên tập hợp Xc 8

Điểm xạ X được gọi là điểm hội tụ của day hàm số ấy nếu dãy số U, (x, )} hội tụ Tập hợp những điểm hội tụ của day ham số vA Ìđược gọi là tập hợp hội tụ của nó

s Định nghĩa 2 : Dãy hầm số {ƒ } được gọi là hội tụ đều trên X tới hàm số fnếu We >0, âm

được mội số nạ e M, sao cho #z> n, =>(f i (x)-f (x)| < & VXGX

1.2 Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ đều

Sao cho m >7,,n>n, =|f,(@)—f„@|< 3%, VxeX

1.3 Các tính chất của đấy hàm số hội tụ đều

® Định lý 13.1 : Giả sử Lý, là một dã ãy các hầm số liên tục trên khoảng 1, Nếu đấy

là (x)} hội tụ đều trên ï tới hầm số f thì f là một hàm liên tục trên [

e Dink ly 1.3.2 : Gia c ham s6 f, lién tục trên [a , b] , diy ham sé if, (&)} hOi ty đều trên

[a , b] tới f Khi đó với xạ ca, | fie hội tụ đều trên [a,b] tới [f(dt Dac biét

Xã

im i (oat= f (t) dt

° Dinh If 1.3.3 : Giả sử các hầm số fn có đạo hàm liên tục trên [a,b], dãy hàm số ̓, Ì hội tụ

trên [a,b] tdi f, diy ham s6 \ | hội tụ đều trên ƒa,b] tới g Khi đó f có đạo hầm trên [a,b] va

t=]

gọi Sạ là tổng riêng thứ n của nó

35

U,, > > y, người ta gọi tích của chúng là

Bài 4: Dùng tiêu chuẩn so sánh , xét sự hội tụ của những chuỗi số đương sau

a) } ca + : —ẽ + atene + po uae : + Ê `"

ean a 4 K " ae Ue wat xa: weet _ yd

Bài?: Xét sự hội tụ tuyết đối của các chuỗi số cớ dấu bất k ky sau:

** Quy tác so sánh với tích phân: Giả sử hàm số f{x) liên tặc , dương giảm trên khoảng

uaạ=f(n) cùng hội tụ hoặc phân kỳ

EH: Chuỗi có số hang với đấu bất kì

1 Hôi tụ thuyết đối, bán hội tụ

cò Xét chuối số you, với các số hạng uạcó đấu bất kỳ

n=]

I Định lý 3.1.1 :Nếu chuỗi 2.Jm,|h ụ thì chuỗi Su, cũng hội tụ

é + x: COSH |eos n JCOS 7 1 oy xs i A2 xe

Ví dụ : Xét chuỗi >_ ` 3 lập chuỗi » - VÌ —=—<-> Và vì chuỗi > hoi ty chudi

phân kỳ thì suy ra chuỗi đã cho phân kỳ

2 Chuỗi đan dấu

Theo định nghĩa, đó là chuối số có dạng +(0¡-u; +ua -ua + ) trong đồ uị ;2,Ha, Là

những số Ung Rõ ràng ta chỉ cần xét chuỗi đan đấu với số hạng đầu tiên đương:

‘Dinh lý : (Leibniz) Néu day sé dug: ing tị,Ua,Ua, ,Hạ giảm và dân tới 0 khi ne = foo thi chuỗi đan đấu uw - uo + Ug Ug to hội tụ và có tổng bé hon u;

ai

^ at

bang cach thay đổi thứ tự các số hạng và bằng cách nhón m tuỳ ý một s

Còn nếu chuỗi số Hy bán hội tụ thì ta có thể thay đổi thứ tư của các số hạng của nó để

b)ìNếu các chuỗi số >, » cùng hội tụ và có tổng theo thứ tự là S, S' thì chuỗi

HH: Chuỗi số đương ( hay chuỗi số có số hang đươn

Giải sử Xin, là một chuỗi số dươ ơng Vì Sn+i= SntUn.i,Da¿i>Ô ta có Sa¿i>S„.V ay {S, Hà một

=k >0 thi hai chuỗi số đồng thời hội tụ hay phân kỳ

2 Các quy tắc khảo sát tính hội tụ của chuỗi số

* Quy tắc ЈAlembert : Cho chuỗi số dương Dt Nếu lim _ =j thì chuối số hội tụ khí

CHUONG U1: CHUOLSO VA CHUỖN HÀM

BÀI 1: CHUỖI SỐ

a

1/ Đai cương về chuỗi số

1, Định nghĩa : Cho dẫy số u,uạ, JU,

Biểu thức (uitua+ +uạ + ) được gọi là chuỗi số kí hiệu là in, các số

4.Vài tính chất đơn øiắn của chuỗi hội tu

a) Nếu chuỗi số >, hội tụ và có tổng S thì chuỗi số SG Gs 4) trong đó ø là một hằng số,

BÀI TẬP CHƯƠNG II

Bài 1: Giải các phương trình sau

1) (x = yx) y +y* +xy? =0

Bai 43m nghiệm tổng quátcủa phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất y”- y' =Q

Bai 5: tim nghiệm riêng của phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất y” + 9y = 0 thoả mãn

Bai 6: fim nghiệm tổng quát của phương trình cấp hai thuần nhất y ~4y + 4y =0

Bai 7: fim nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp hai y”- Sy’ +6y = © (2x 1)

Bai 8: fim nghiệm riêng của phương trình tuyến tính cấp hai y”- 2y’+ y = e*(x*-1) thod man diéu

kién li x=Q 1; * lư«o” =2

Bài 9 :fiẦm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính cấp hai y”+ 3y’+2y = sin2x+2cos2x

Bài 10: giải phương trình x?y” -2y =0

Bài 11: Tìm nghiệm tổng qt uất của các phương trình sau :

a) y’’-9y? +20y =x’e™

b) y’’ — y =2sin x — 4 cosx

c)y’’ + 5y’ +4y =x’e*

ho `

Vậy nghiệm tổng quát của ph tương trình đã cho là y=c ICOSX†C;sinx+ (SinX-Xcosx)

Ví dụ : Giải phương trình y°'-y'=2cos2x, phương trình đặc trưng rŸ-r=0€r=0 =1 Nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng là y=c¡+c;e” Vế phải của phương trình đã cho là f(x) = 2cos

*x = 14c082x Theo nguyên lý chéng nghiệm ta tìm một nghiệm riêng của phương trình đã cho dưới dạng tổng Y¡+Y¿,Y¡ là nghiệm riêng của phương trình với vế phải f¡(Œ)=l, Y& lànghiệm riêng của phương tình-với-vế-phẩTfiŒ‡=+ Y¿ là nghiệm riêng của phương trình với vế phải f2(X) = cos2x Vì f(Œ)=l=e“”” với ø =0 là nghiệm của phương trình đặc trưng nên Y có đạng Ax Thế vào phương trình ta được :

A=-l vậy Y¡=-x Vì ;(X) = cos2x, mà +2¡ khôn £ là nghiệm của phương trình đặc trưng

Thé vao (4.1) tacé —2+(a- 2 + by = 0 D6 1A phương trình tuyến tính có hệ số không đôi

Ví dụ ; Giải phương woah hy ”+2xy”-6y =ÔÖ

Đổi biến số : x = e` ta sẽ có phương trình a a =0 phương trình đặc trưng của

phương trình này là r`+r— 6=0<=>r =2 2;r= -3; vậy y= cịc” + cạc” Vậy nghiệm tổng quát

của phương trình đã cho là y= c¡x”+ 5

28

#= 0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng vậy ta tìm nghiệm riêng của phương trình đã cho c6 dang Y = Ax+B

Thế vào phương trình trên ta được -4Ax+3A-4B =x

Vậy nghiệm tổng quát là y = cje*+ce.°™ si

Ví dụ : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y””— y° = e +1), phương trình đặc trưng r¬r =0

© r=0 r=l ,Vậy nghiệm tổng quát e của phương trình thuần nhất tương Ứng y= citcae".Vế phải

của phương trình đã cho có đạng eZ PiŒQ) với ø =1 là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng vậyta ñm một nghiệm riêng của hương trình đã cho có đạng Y=xe (Ax+B)=e (Ax2+Bx)

Tacó: Y xe (Ax +Bx)+e*(2Ax+B)

nghiệm riêng của phương trình da cho cé dang Y = x 263%( (Ax+B) = eax? +Bx? )

=> Y’= 3.0 (Ax? + Bx’ ye (32Ax?+ 2Bx) Yf=9.e”"(Ax?+ Bx? + 6e” (3Ax? + 2Bx) + e”” (6Ax + 2B) thế vào phương trình đã cho ta

Nếu + ¡/ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì có thể fìm một nghiệm riêng

của phương trình (3.3) có dạng Y=Q; (x).cos đ8x+R,@)sin 2x trong đó Q,),R,CO là những da thức bậc / =max(m,n)

Nếu + ¡/ là nghiệm của phương trình đặc trưng thì có thể tìm nghiệm riêng của phương

trình (3.3) có đạng Y=x{Q,G)cos 6 x+R(x)sin £ x]

Ví dụ; Giải phương trình y`”+y=xsinx phương trình đặc trưng r°+1=0 có nghiệm +/.Nghiệm

tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là y=c¡cosx+easinx Vế phải của phương trình

đã cho có dạng R/&)sin đx trong đó R/@)=x, Ø=1,nhưng +7 Ø@=#+/là nghiệm của phương trình

Y=xÍ(Ax+B)cosx+(A¡x+B¡)sinx]

Tính YỶ, Y” rồi thế vào phương trình đã cho, ta được:

[4Aix + 2(A+Bi)ƒcosx + [-4Ax + 2 (Ai-B)]simx = xsinx

bo me

Phương trình đặc trưng là k-2k+5 = 0 => kị=l+2I ,kạ=l-2¡ Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là : y=e”(c¡cos2x+casin2x)

Chú ý : đối với phương trình tuyến tính thuân nhất có hệ số không đổi cấp cao hơn bai phương

pháp cũng tương tụ như đối với phương trình cấp hai

Vi du : giải phương trình y'"'-4y?=0

Phương trình đặc trưng của nó là kỶ-4k = 0 k=0 ;K=2 ;k=-2 Do đó nghiệm tổng quất của

phương trình là y = Citcse+cse?

Xí dụ : Giải phương trình y“?+2y''+y = 0 phương trình đặc trưng là K”+2k?+1 = 0 €* (k?+1)?= 0 ta

có nghiệm kép k = i vA k = -i Do đó nghiệmtổng quát của phương trình là :

Y=(G1†C2X)COSX+{(Cz+Cax)sinx

2 Phương trình không thuần nhất

Cho phương trình (3.3) y’’+py’+qy = f(x) trong dé p,q 1a những hằng số Ở trên ta ta đã

m được nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (3.1) Vậy chỉ việt áp dụng

phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm tổng quát của phương trình không tuần nhất (3.3) Nhưng đối với một số dạng đặc biệt của vế phải f(x) có thể fim được một nghiệm riêng

của phương trình (3.3) mà không cần một phép tích phân nào Chỉ cần cộng nghiệm riêng dy vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (3.1) ta sẽ được nghiệm tổng quất của (3.3)

Ta sẽ tìm nghiệm riêng của (3.3) trong hai trường hợp sau

“= Trường hợp 1: f(x)= e™ pa(x),trong đó paGŒ) là một đa thức bậc n, ø là hằng SỐ

+ Nếu ø không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng của (3.1) ta tìm nghiệm riêng

Vì ø không là nghiệm của phương trình đặc trưng của (3.1) nên @*+ pa + q#0,do dé

vế trái của (3.4) cũng là đa thức bậc n cùng bậc với đa thức bế phải

Bằng cách đồng nhất hệ số của các số hạng cùng bậc ở hai vế đẳng thức (3.4) ta được n+1 phương trình bậc nhất của (n+1) ẩn là các hệ số của Q„(x), phươn g pháp tìm các hệ số của QaGO nêu trên được gọi là phương pháp hệ số bất định

+ Nếu a JA nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì øz”+ p#+q=9(2z+p) #0 Khi

đó vế trái của (3.4) là một đa thức bậc (n- 1) ta nâng bậc nố lên một đơn vị mà không tăng số

các hệ số của nó , muốn vậy chỉ việc thay QạŒ) bởi xQ¿(Œ) Do đó trong trường hợp này ta sẽ có một nghiệm riêng của (3.3) có dạng Y= xe” Q;GÖ

+ Nếu # là nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ø? + pư+q=0, 2z+p=0 Vế

trái của (3.4) là đa thức bậc n -2 Lập luận tương tự như trên ta thấy phải tìm một nghiệm của

(3.3) 06 dang : Y= x’e".O (x)

Vi du : Gidi phuong trình y’’+3y’-4y = x phuwong trinh dic trung 1°43r-4 = 0 Ta cé hai nghiém

đơn r =1; r = -4 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuân nhất tương ứng là y = cịe”

+c,e VE phai cha phương trình có đạng @ ”” Đị@) trong đó ø =0, piCÒ=x

26

của (3.1) la yee)" +C,€” eị,cạ là hai hãng số tuỳ ý

Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trinh y’’+y’-2y= 0

Thoả mãn các điều kiện y| 200 =0 ov ' <0 =] phương trình đặc trưng là k”+k-2‹ Ok = 1 ky= -2

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y=c;e*+c;e 7“

Đo đó y`= c¡e”-2c¿e TY cdc điều kiện ban đầu ta có 4 <=>

Vậy nghiệm riêng phải tìm là p= 3° “ye

® Kị Và k¿ là hai số thực trùng nhau kị = kạ, Ta đã có một nghiệm riêng của phương trình

@G.1) là vị= " ta sé tim một nghiệm nông y: độc lập tuyến tính với y¡ dưới dạng Vz=V

U@)=U@) Ø ”'” tạ có y;'=u' e #1* +kịu Ø “”

yosure” i + 2k¡u' đ i s+ k/ue”

thế vào (3.1) ta được @ “'” {U””+ Qk, + pw’ + (kj? 4 pk; + qu] =0 vi kA nghiém kép của phương trình đặc trưng nên ta có ki + pki+q=0,k)= ~Š hay 2ki+p=0

Do đồ ta được € mie u’= O hay u’’= Osuyrau=Ax+B Trong đó A,B là những hằng

Vy =1-» +2 =e™ sin Bx

2i

của phương trình ấy Hai nghiệm ấy độc lập tuyến tính vì L = cot 88x khác hằng số Vậy

32

nghiệm tổng quát của (3.1) là re cos fx +c, sin Bx)

25