Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỷ pptx

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈI.

BÀI 6 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ

I CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ THÔNG DỤNG

f x, a −x dx

2 2

π π

∈ − 

f x, x −a dx

cos t

∈ ∪ π

f x, x +a dx

2 π



∈ 

a x

a x

−

2

π

∈

( ) ( )

f x, x−a b−x dx

x=a+ b−a sin t t 0,

2 π

∈  

II CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:

1 Dạng 1: ∫ ( 2 − 2)

f x, a x dx Đặt x=a sin t ;

2 2

t∈ − π π, 

∫

3

1 2

1 x

x Đặt x sin t ;t 2 2,

π π

= ∈ −  ⇒

1 sin t cos t dt cos t dt cos t dt cos td cos t I

−

( )

1 u

π

π

−

( ) ( )

( ) ( )

2

3 2 0

∫

3 2

t 0 π/6

du 3 cos t dt

2

I 3 3sin t 3 3sin t 3 cos t dt 3cos t 3cos t 3 cos t dt

2

6 0

π

+

+

•

∫1

3

0

dx

I =

Đặt 2

2 2

u= sin t ;t∈ − π π, 

Khi đó:

3

I

4 4 sin t 4 4 sin t 4 cos t 4 cos t

6

2

0

4 cos t

π

π

• ∫ − ; a( >0)

a

2 2 2

4

0

2 2

u=a sin t ;t∈ − π π, 

du acostdt

2 a

4

I x a x dx a sin t a a sin t a cos t dt

π

( ) ( )

2

0 0

a

a sin t a cos t a cos t dt a sin t cos t dt sin 2t dt

4 a

1 cos 4t dt t sin 4t

π π

π π

∫

( )

1 2 0

2

2

1 1

4

u x

−

=

−

5

-1 2

dx

1 + x 1 + x

Đặt 1

2 2 2

u= sin t ;t∈ − π π, 

du (costdt)/ 2

Khi đó ta có:

5

2

2 1 sin t

( )

2

13 0

t

2 d tg

J

t

tg

π

•

( )

1 4

+

1 2

2

1 3

xdx

I =

x 1 3 + 2x x

t −π/3 −π/4 Đặt 2

2 2

u= sin t ;t∈ − π π, 

Khi đó ta có:

( )

4

3

4

3

4 sin t

4 sin t 4 cos t

ln

−π

−π

−π

−π

−

−

•

∫

1 2 2

7

5 2 0

x dx

I =

1 x

Đặt

2 2

u=sin t ;t∈ − π π, 

⇒

5

cos t

1 sin t

−

2 Dạng 2: ∫ f x, x( 2 −a 2 )dx Đặt x a

cos t

t∈ ,π ∪ π , π

•

−

∫2

1

2

2

dx

I =

cos t

= ∈ ∪ π ⇒

dx sintdt/cos2t

1

2

2

sin t dt cos t sin t dt sin t dt

cos t tg t 3 4 12

cos t cos t

−

•

−

∫2 2

2

2

2

x dx

I =

cos t

dx sintdt/cos2t

( )

2

2

I

cos t dt d sin t 1 1 sin t 1 sin t

d sin t

4 1 sin t 1 sin t cos t 1 sin t

⋅

−

( )

( )

3 4

π π

• 3 ∫8 2−

4

x 16

cos t

= ∈ ∪ π ⇒

dx 4sintdt/cos 2 t

2 3

4 sin t dt 1

16 tg t sin t dt

cos t

⋅

3 2

0

3

π

∫

4

dx

I =

(a > 0) Đặt ( ) ( )0

a

cos t

( )

a tg t dt

I

cos t a cos t tg t

c a cos t tg t a sin t a sin t a sin t

ε ⋅

−

trong đó ε = 1 nếu tgt > 0 và ε = −1 nếu tgt < 0

2a 2 2

5

a 2

a

cos t

= ∈ ∪ π ⇒

dx asintdt/cos 2 t

2

2 5

a sin t dt 1

a tg t sin t dt

cos t

⋅

3 2

4

12

π π

• 6 2a∫ 2 −2 2

a 2

a

cos t

= ∈ ∪ π ⇒

dx asintdt/cos 2 t

2

a sin t dt 1

a tg t sin t dt sin t

a cos t

⋅

2

4 1 sin t 1 sin t

−

( )

( )

3 4

π π

3 Dạng 3: ∫ ( 2 2)

f x, x + a dx Đặt x=a tg t ; 0 )

2

t  ,π

∈ 

∫

5

1 3

1 + x

2

x=tg t ;t∈ ,π ⇒



( )

5 5

2

8

7 6 6

1 tg t

cos t dt d sin t cos t

I

7 sin t

−

π π

∫

−

2

-1

I = x + 2x + 2dx

2

u=tg t ;t∈ ,π ⇒



dt cos t

Khi đó ta có:

( )

1

2

−

2

( )

4 4

0 0

4 1 sin t 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t 1 sin t

π π

−

∫

•

−

∫

1 2

3

0

1 + x

2

⇒

2

1

4u du

I

=

+

2

u=tg t;t∈ ,π ⇒

du dt/cos 2 t

3

2 3

4

π

π

π

−

3 -2

4

3

2 2 1

dx

I =

x + 2 x + 4x + 5

2

u=tg t ;t∈ ,π ⇒



du dt cos t2

Khi đó ta có:

( )

3

4

sin t

π

π

−

−

2 1

I =

x 2x + 2

x + x 2x + 2

( )

2 2

2 2

1

∫

2 2

0

+

2

u=tg t ;t∈ ,π ⇒



2

sin t cos t 1 cos t tg t 1

tg t 1 tg t 1

sin t cos t 1 4 sin t cos t 1 4

+

( )

12 0

0

J

sin t cos t 1 2 sin cos 2 cos 2 cos 1 tg

t

d tg

1 tg

2

π

+

∫

−

6

0

I = x x 2x + 2 dx

u −1 0

t −π/4 0

2

u=tg t ;t  ,π

∈  ⇒

du dt/cos 2 t

Khi đó ta có:

( )

2

1 tg t

( )

2

sin t dt d sin t d cos t 1 sin t 1 sin t

d sin t

1 sin t 1 sin t

−

( )

( )

3

0

4

0 4

d sin t

1 sin t 1 sin t 3cos t

d sin t

ln

3 1 sin t 1 sin t 1 sin t

−π −π

−π

−π

−

∫

∫

2

3 2

3 2

x

+

=

3 2

9 + 2x

x

0 2 2

x= tg t ;t∈ ,π ⇒



Khi đó ta có:

6

3 2

2

π π

( )

+ −

2 2

1 2

−

−

t 0 π/4

dt cos t

tg t

−

4

0

15 cos t cos t 5 cos t 3 cos t

π

•

9

0

x dx

I =

x + 1 x + 1

2

x=tg t ;t∈ ,π ⇒



dt cos t

cos t

1 tg t 1 tg t

−

4 4

2

0 0

1 sin t

π π

−

−

∫

x 1 3 1

1 3

x + 1 x + 1

2

x=tg t ;t∈ ,π ⇒



dt cos t

tg t cos t sin t cos t sin t cos t

( )

( )

( )

2

d cos t

1 cos t cos t

1 cos t cos t 1 cos t cos t

cos t

−

( )

4 6

1 cos t cos t 4 1 cos t 1 cos t

π

π π

∫

4 Dạng 4:

−

∫ f x, a + x dx

a x Đặt x=a cos t2 ; ( )0

2

t∈ ,π

•

−

∫

5 2

1

0

5 + x

5 x Đặt x 5cos t ; t2 0,2

π

= ∈   ⇒

dx −10sin2tdt

+

−

2

6

10 2 cos t dt 10 1 cos 2t dt 10 t sin 2t

π

π

•

−

∫

3/2

2

2

0

3 + x

3 x Đặt x 3cos t ; t2 0,2

π

= ∈   ⇒

dx − 6sin2tdt

+

−

4 4

6 6

54 cos 2t 2 cos t dt 54 cos 2t 1 cos 2t dt 54 cos 2t cos 2t dt

3

π π

π π

∫







5 Dạng 5: ∫f x,( (x a b x dx Đặt − ) ( − )) ( ) 2

x=a+ b−a sin t; t 0,

2 π

∈  

4

2 +

•

( − ) ( − )

∫

a+b

2

1

3a+b

4

dx

I =

x a b x

(a < b) Đặt

( ) 2

0 2

 = + −



 π

∈



⇒

dx (b−a)sin2tdt

1

b a sin 2t dt 2 sin t cos t dt

sin t cos t

b a sin t 1 sin t

III CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI

2 x

−

+

−