Phuong phap luong giac hoa

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Trần Phạm Hoàng Long, Nguyễn Xuân Trung, Đinh Ngọc Hồ,Huỳnh Thị Thùy Như Lớp 10T1 trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long Email: dragon199318@yahoo.com

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Trần Phạm Hoàng Long, Nguyễn Xuân Trung, Đinh Ngọc Hồ,Huỳnh Thị Thùy Như

Lớp 10T1 trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long

Email: dragon199318@yahoo.com

I/ Lời mở đầu

Để giải các bài toán đại số và một số bài toán giải tích như chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, khảo sát các giá trị của hàm số, tìm giới hạn của dãy số, trong một số trường hợp ta có thể chuyển chúng sang các bài toán lượng giác, công việc đó được gọi là lượng giác hóa.Việc lượng giác hóa 1 bài toán được tiến hành thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến tham gia trong bài toán, mà việc nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và các công thức lượng giác thông dụng Sau đây là một số dấu hiệu cơ bản nhằm góp phần giúp chúng ta phát hiện và định hướng phương pháp lượng giác hóa hiệu quả hơn

II/ Các dấu hiệu

Ta có các dấu hiệu:

1/ Nếu có điều kiện của biến x là x ≤a (a≥0), ta có thể đặt:

sin

x a= t , với ,

2 2

t∈ − π π

  hoặc x a= cost, với t∈[ ]0,π Trong trường hợp riêng:

 Nếu 0 x a≤ ≤ , ta có thể đặt:

sin

x a= t, với 0,

2

t  π

∈   hoặcx a= cost, với t 0,π2

∈  .

 Nếu − ≤ ≤a x 0, ta có thể đặt :

sin

x a= t, với ,0

2

t∈ − π 

  hoặcx a= cost, với t π π2, 

∈  .

2 / Nếu có điều kiện của biến x là x ≥a (a≥0), ta có thể đặt:

sin

a

x

t

= , với , \ 0{ }

2 2

t∈ − π π

  hoặc cos

a x

t

= , với [ ]0, \

2

t∈ π  π

 

 .

3 /Nếu biến x∈¡ , ta có thể đặt:

tan

x= t, với ,

2 2

t∈ − π π 

  hoặc x=cott, với t∈(0,π).

Trong trường hợp riêng:

 Nếu x≥0, ta có thể đặt:

tan

x= t, với 0,

2

t∈ π 

÷

  hoặc x=cott, với t 0,2

π

∈ 

 Nếu x≤0, ta có thể đặt :

tan

x= t, với ,0

2

t∈ − π 

  hoặc x=cott,với t∈π π2, 

÷

 .

4 /Nếu hai biến ,x y thỏa mãn điều kiện a x2 2+b y2 2 =c2, với , ,a b c∈0, ta đặt :

sin cos

ax

t c

by

t c







⇔

sin cos

c t x

a

c t y

b

 =





 =



Trong trường hợp này nếu cần sử dụng tới dấu của x và y ta có thể hạn chế góc t , ví dụ nếu có , x y >0 thì 0

2

t π

< <

III/ Các biểu thức thường được lượng giác hóa

Biểu thức Cách lượng giác hóa biểu thức

2 2

a −x

sin

x= a t với ,

2 2

t∈ − π π

  hoặc cos

x= a t với 0,

2

t  π

∈  

2 2

a x

t

= với , \ 0{ }

2 2

t∈ − π π

cos

a x

t

= với [ ]0, \

2

t∈ π π

2 2

a +x x= a tant với t 2 2,

π π

∈ − ÷

  hoặc cot

x= a t với t∈(0,π)

a x

a x

+

− hoặc

a x

a x

− + x a= cos 2t

(x a b x− ) ( − ) x a= + −(b a)sin2t

1

a b

ab

+

−

tan tan

a b

α β

=



 =

 , với , 2 2,

π π

α β ∈ − ÷

IV/ Các ví dụ

1 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

1.1 Bài toán 1: Giải hệ phương trình:

( )

2

2

xy







Lời giải

Hệ tương đương với 2

2

1 2 1 2 1

xy y z

y z x

z





 =





=

Nếu y= ± ⇒1 vô lí; z = ± ⇒1 vô lí

Đặt x=tana; y=tanb; z =tanc Ta có

( )

tana =cotb 4 ; tanc=cot 2b ( )5 ; tana =cot 2c ( )6

Khi đó: c=2b k+ π; a=2c l+ π ⇒ =a 4b+2kπ +lπ

Thay vào (4): tan(4b+2kπ +lπ) cot= b

5

m

Ta có các trường hợp sau:

3

5

10

Nếu 3 tan2 ; tan3 ; tan6

Nếu 7 tan8 ; tan7 ; tan4

Nếu 9 tan6 ; tan9 ; tan8

1.2 Bài toán 2: Cho hệ phương trình

2 2

2 2

4 9

z 6

 + =



 + ≥



Tìm nghiệm của hệ để zx max

Lời giải Đặt x=2 cosa; y=2 sina; z =3cosb; v=3sinb a b, ∈[0; 2π] Khi đó:

z 6 6 cos sin sin cos 6

6 sin a b 6 sin a b 1

Mà sin(a b+ ) ≤1

sin a b 1

( ) ( )

1 2

5

2 2

a b

a b

π

π

 + =



⇒ 

 + =



vì a b, ∈[0; 2π]

Khi đó: xz=6 cos cosa b=3 cos (a b+ ) +cos(a b− )

3cos a b

max⇔cos a b− = ⇔ =1 a b

Kết hợp với (1)

4

3 2 2;

2

Kết hợp với (2) 5

4

3 2 2;

2

1.3 Bài toán 3: Giải phương trình:

cos 3x+sin 2x+sin 5 sinx x=cos 5x

Lời giải

Ta có :cos2 x+sin2 y+sin(x y− ) (sin x y+ ) =1( phần CM xin để cho các bạn)

Do đó cos 32 x+sin 22 x+sin 5 sinx x =1

Vậy phương trình đã cho tương đường với cos 5x=1

5x k2π

5

k

⇔ =

1.4 Bài toán 4: Giải phương trình

3sinx+4 cosx= +5 4 tanx−3

Lời giải

Ta có

3sinx+4 cosx≤5

5+ 4 tanx−3 ≥5

Do đó phương trình đã cho tương đương với hệ:

tan

2 3

5 4 tan 3 5

x



1.5 Các bài toán tự giải:

1.5.1 Giải phương trình

3sinx+4 cosx =25 5sin+ x−3

1.5.2 Giải hệ phương trình

1 sin cos

4 1 sin cos

4







1.5.3 Giải hệ phương trình

sin sin 2

0, ,

2

x y

x y

π π











1.5.4 Giải hệ phương trình

10 10

10 10

1 sin cos

16 1 sin cos

16







1.5.5 Giải hệ phương trình

4 sin 1 cot

4 cos 1 tan



2 Bất đẳng thức

2.1 Bài toán 1: Cho bốn số u v x y, , , thoã mãn điều kiện 2 2 2 2

1

u +v =x +y = Chứng minh rằng

Lời giải

Đặt

sin

cos

sin

cos

u

v

x

y

α

α

β

β

=



 =



 =



 =



và A= u x( + y) +v x( − y)

Ta có

sin sin cos cos sin cos

sin α β cos α β

4

π

α β

Vậy u x( + y) +v x( −y) ≤ 2 (điều phải chứng minh)

2.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng

1+ 1−x  1+x − 1−x ≤2 2+ 2 2+ x

Lời giải Điều kiện có nghĩa x ≤1

Đặt x=cosα với α∈[ ]0;π

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng

1 sin+ α  1 cos+ α − 1 cos− α ≤2 2+ 2 sinα

2 cosα 2 sinα 2 2 sinα

(2 sinα) (cosα 1) 0

2.3 Các bài toán tự giải

2.3.1 Bài toán 1: Cho a ≥1,b ≥1 Chứng minh rằng

2 1 2 1

a − + b − ≤ ab

2.3.2 Bài toán 2: Cho các số x y z, , thoả mãn 0 , , 1

z x 1

x y z

xy y z

< <



 + + =

 Chứng minh rằng

3 3

2.3.3 Bài toán 3: Cho liên , , ,a b c d hệ bởi a c= 1−d b d2, = 1−c2

Chứng minh rằng a + ≤b 1

3 Chứng minh đẳng thức

3.1 Bài toán 1: Cho x≥0,y≥0,z≥0 thoả mãn điều kiện sau xy+ yz+zx 1= (1) Chứng minh rằng

( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

2

Lời giải

Đặt x=tanα, y=tanβ, z=tanγ với , , 0;

2

π

α β γ ∈ ÷

Khi đó (1) có dạng

tan tanα β +tan tanβ γ +tan tanγ α =1

tanα tanβ tanγ 1 tan tanβ γ

1 tan tan

tan tan

−

+

2 k

π

⇔ + + = +

2

π

α β γ+ + ∈ ÷ nên

3 0

≤ + ≤ hay 1 1

2 k

− ≤ <

Vì k∈ Ζ nên k =0 Vậy

2

π

α β γ+ + =

Ta có

( 2) ( 2) ( 2 ) ( 2 )

tan

x

x

α

α

=

tan

cos cos cos cos

α

cos cos cos sin sin

cos cos cos cos

1 tan tanβ γ 1 z

Tương tự

( 2) ( 2)

2

1 z 1

y

= − +

( 2) ( 2)

2

1 1

z

= − +

Suy ra

( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( )

3.2 Bài toán 2: Cho x>0,y>0,z>0 thoả mãn x+ + =y z xyz

Chứng minh rằng

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

z

x

0

y

z

xy

+

Lời giải Đặt x=tanα, y=tanβ, z=tanγ với , , 0;

2

π

α β γ ∈ ÷

Do x+ + =y z xyznên

tanα+tanβ +tanγ =tan tan tanα β γ

tanα tanβ tanγ tan tanα β 1

tan tan

tan

1 tan tan

+

−

k

⇔ + = − +

,

k k

α β γ+ + ∈ ÷⇒ < π < ⇒ < <

Vậy α β γ π+ + = Ta có

(1 2) (1 2) 1 2 1 2

z

y

(1 tan2 ) (1 tan2 ) 1 tan2 1 tan2

tan tan

=

cos cos cos cos

sin sin

cos cos

=

1 cos cos

sin sin

=

Tương tự ta có

(1 2) (1 2) 1 2 1 2 1 (cos cos )

z

=

(1 2) (1 2) 1 2 1 2 1 (cos cos )

sin sin

xy

= Khi đó vế trái của đẳng thức cần chứng minh bằng

1 cos cos 1 cos cos 1 cos cos

0 sin sin sin

Suy ra điều phải chứng minh

3.3 Các bài toán tự giải

3.3.1 Bài toán 1:Cho xy≠ −1, zy ≠ −1, xz ≠ −1 Chứng minh rằng:

x≠ ± y ≠ ± z≠ ± và thoả điều kiện x+ + =y z xyz Chứng minh rằng

3.3.3 Bài toán 3: Cho 0<a b c, , <1và a2 +b2 +c2 +2abc=1

Chứng minh rằng

( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

abc+ =c −a −b +a −b −c +b −c −a