Trong số 4 đoạn này phải có ít nhất một đoạn có độ dài không lớn hơn 4 ... Từ đó suy ra điều cần chứng minh... Điều này hiển nhiên.. Vậy bất đẳng thức đã cho đúng... Giải: Áp dụng mệnh
Trang 1Một vài phương pháp lượng giác hóa ứng dụng trong đại số
- Một số trường hợp thường gặp
Dạng 1 : Nếu x2 + y2 =1 thì đặt sin
os
x
y c
với 0; 2
Dạng 2 : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) thì đặt sin
os
x a
y ac
với 0; 2
Dạng 3 : Nếu x 1 thì đặt
sin , ;
2 2
os , 0;
x
x c
Dạng 4 : Nếu x mthì đặt
sin , ;
2 2
os , 0;
x m
x mc
Dạng 5 :Nếu x 1 hoặc bài toán có chứa 2
x 1 thì đặt x= 1
os
c với 3
Dạng 6 :Nếu x m hoặc bài toán có chứa x2m2 thì đặt x =
os
m
c với 3
Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức x21 thì đặt
x = tan với ;
2 2
Dạng 8 : Nếu bài toán không ràng buộc điều kiện biến số và có biểu thức 2 2
x m thì đặt
x = m tan với ;
2 2
I chứng minh đẳng thức , bất đẳng thức
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số a, b ta đều có:
2
1 ) b 1 )(
a 1 (
) ab 1 )(
b a ( 2
1
2
Giải:
Đặt: a = tg , b = tg với ,
2
;
Trang 2Khi đó: A =
) tg 1 )(
tg 1 (
) tg tg 1 )(
tg tg
( ) b 1 )(
a 1 (
) ab 1 )(
b a (
2 2
2
= cos2 cos2 1 cos sin cos sin
cos cos
) sin(
= sin ( + ) cos ( + ) =
2
1 sin (2 + 2)
Suy ra: A =
2
1
sin (2 + 2)
2 1
Vậy:
-2
1
) b 1 )(
a 1 (
) ab 1 )(
b a (
2
2
1 (đpcm)
Bài 2:
Chứng minh rằng nếu x < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có:
(1 + x)n + (1 – x)n < 2n (1)
Giải:
Vì x < 1 nên có thể đặt x = cost với t (0; )
và bất đẳng thức (1) được viết thành:
(1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n (2) Thay trong (2) 1 + cos t = 2cos22
t
và 1 – cost = 2sin22
t
ta được
2
t sin 2
t
Bởi vì 0 < 2
t <
2
nên 0 < sin 2
t , cos 2
t < 1 nên chắc chắn:
cos2n2
t =
n 2
2
t
< cos22
t
n > 1 Tương tự ta có:
sin2n2
t < sin22
t
n > 1 Do đó
2
t sin 2
t
2
t sin 2
t
Vậy bất đẳng thức (3), cũng có nghĩa là bất đẳng thức (1) được chứng minh
Trang 3Bài 3: Chứng minh rằng từ 4 số thực cho trước ta luôn luôn chọn được hai số x, y trong 4
số đó sao cho:
0
xy 1
y x
Giải:
Giả sử 4 số thực cho trước
là a b c d
Đặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với
-
2
< y1 y2 y3 y4 <
2
< y5 = + y1 Các điểm y1, y2, y3 chia đoạn [y1; y1 + ] thành 4 đoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4;
y5] Trong số 4 đoạn này phải có ít nhất một đoạn có độ dài không lớn hơn
4
Giả sử
0 y2 – y1
4
Thế thì:
0 tg (y2 – y1) 1 0
ab 1
a b tgy tgy 1
tgy tgy
1 2
1 2
1
Đặt x = b, y = a ta được điều cần chứng minh
Bài 4: Cho x, y > 0 và x + y = 1 Chứng minh:
2
17 y
1 y x
1 x
2
2 2
Giải:
Ta có: x + y = 2 2
y
x = 1, theo mệnh đề IV thì có một số a với 0 a 2
để x= cosa và y= sina
Bất đẳng thức đã cho được viết thành:
a cos
1 a
cos
4
4
a sin
1 a
sin
4
2 17
Ta có: cos4a +
a cos
1
4 + sin4a +
a sin
1
4 = (cos4a + sin4a)
a cos a sin
1 1
4 4
y1 y2 y3 y4 y5
Trang 4= (1 – 2sin2acos2a)
a cos a sin
1 1
4
a 2 sin
16 1
2
a 2 sin 1
4 2
Vì 0 < sin22a 1 nên 1 -
2
a 2 sin2
2 1
và 1 +
a 2 sin
16
4 17 Từ đó suy ra điều cần chứng minh
Bài 5: Chứng minh với mọi cặp số thực x, y ta luôn có:
x2 + (x – y)2 4 x2 y2 sin2
10
Giải:
Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có:
4sin2 10
= 2
2
5 3 5 cos
Bất đẳng thức đã cho có thể viết:
x2 + (x – y)2 (x2 + y2)
2
5 3
(1) Nếu y = 0 bất đẳng thức (1) hiển nhiên đúng
Nếu y 0 Chia hai vế (1) cho y2 và đặt
y
x = tga với
2
< a <
2
thì bất đẳng thức
có dạng: tg2
a + (tga – 1)2
2
5
3
(1 + tg2a)
sin2a + (sina – cosa)2
2
5
3
sin2a + 1 – 2sinacosa
2
5
3
cos2a + 2sin2a 5
5
2 a 2 cos 5 1
Trang 5Bởi vì
2 2
5
2 5
1
= 1
vì vậy
5
1 = cos và
5
2 = sin Với 0 < <
2
Bất đẳng thức (2) có thể viết là: cos(2a - ) 1 Điều này hiển nhiên
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng (đpcm)
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn điều kiện
a, b > c > 0 ta có bất đẳng thức:
) c b ( c ) c a (
Giải:
Vì a > 0, b > 0, ab > 0 nên bất đẳng thức (1) tương đương với
ab
) c b ( c ab
) c a (
Nhận xét rằng
2 2
a
c a a
c
= 1
Nên đặt
a
c
= cosu ,
a
c
a
= sinu với 0 u
2
Ta cũng thấy
2 2
b
c b b
c
= 1
Nên đặt
b
c
= cosv ,
b
c
b
= sinv với 0 v
2
Khi đó (2) có thể viết thành
a
c a b
+
b
c b a
= cosv sinu + cosusinv 1 (3)
Bởi vì cosusinv + sinucosv = sin(u + v) 1 nên (3) luôn luôn đúng có nghĩa là (1) đúng
Bài 7: Chứng minh rằng: 4 a3 ( 1 a2)3 3a 1 a2 2
Trang 6Giải:
Điều kiện: 1 – a2 0 a 1
Đặt a = cos, với [0; ]
Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
4 cos3 ( 1 cos2 )3 - 3(cos - 1 cos2 ) 2
4(cos3 - sin3) – 3 (cos - sin) 2
(4cos3 - 3cos) + (3sin - 4sin3) 2cos3 + sin3 2
cos (3
-2
) 1, luôn đúng
Bài 8: Chứng minh rằng:
3 1
a2 2a
Giải:
Điều kiện: a2 – 1 0 a 1
Đặt a =
cos
1 , với [0 ;
2
)
Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
2 3 tg
cos
2 3
1 cos
1
2
sin + 3cos 2
2
1 sin +
2
3
cos 1
sin ( +
3
) 1, luôn đúng
Bài 9: Cho x2 + y2 = 1 ; u2 + v2 = 1 Chứng minh
a) xu + yv 1
b) xv + yu 1
c) –2 (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) 2
d) –2 (x + y) (u + v) – (x – y) (u – v) 2
Giải:
Áp dụng mệnh đề IV Đặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb
và 0 a, b 2 Khi đó
a) xu + yv=cos(a – b) 1
Trang 7b) xv + yu=sin(a + b) 1
c) (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) = (cos a – sin a) (cos b + sin b) +
+ (cos a + sin a) (cos b – sin b) =
= 2sin
a
b
a
b 4
= 2cos (a + b)
Rõ ràng –2 2cos (a + b) 2 (đpcm)
Bài 10: Chứng minh:
a) (a + b)4 8(a4 + b4) b) 32(a6 + b6) (a + b)6 c) (a + b)8 64(a8 + b8)
Giải:
a) Với a = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng Nếu a 0 chia hai vế cho a và đặt tgx =
a
b
với
2
< x <
2
Bất đẳng thức đã cho tương đương với: (1 + tgx)4 8(1 + tg4x)
(cos x + sin x)4 8(cos4x + sin4 x) (1)
Vì sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2x cos2x =
= 1 -
4
x 4 cos 3 2
x 2
(sin x + cosx)4 = (1 + sin2x)2 =
2
x 4 cos x 2 sin 4
(1) 8(cos4x + sin4x) – (sin x + cos x)4
=
2
5 2
9 cos4x – 2sin2x 0
Điều này hiển nhiên vì cos4x -1 và - sin2x -2
b) c) Làm tương tự như a)
Bài 11: Chứng minh rằng
ab ( 1 a )( 1 b )
3 a
1 b b 1
Giải:
Trang 8Điều kiện:
0 b 1
0 a 1
2
2
1 b
1 a
Đặt
sin b
sin a
, với , [0; ] Khi đó bất đẳng thức được biến đổi về dạng:
sin 1 sin2 sin 1 sin2 +
+ 3 [sin sin ( 1 sin2 )( 1 sin2 ) 2
sin.cos + sin.cos + 3(sin.sin - cos.cos) 2
sin( + ) - 3cos( + ) 2
2
1 sin( + )
-2
3
cos( + ) 1
sin( +
-3
) 1 , luôn đúng
Bài 12: Cho a1, a2,… a17 là 17 số thực đôi một khác nhau Chứng minh rằng ta luôn chọn
được hai số aj, ai từ 17 số đó sao cho
0 < 4 2 2 1
a a 1
a a
j i
i
Giải:
Không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử a1 < a2 < … < a17
Đặt tgvi = ai với
-2
< vi <
2
i = 1, 2,…, 17
Do tính chất đồng biến của hàm số y = tgx trong khoảng
2
;
2 nên từ a1 < a2 <
… < a17 suy ra -
2
< v1 < v2 < … < v17 <
2
< v1 + Các điểm v2 , v3 , …, v17 chia đoạn [v1 ; v1 + ] thành 17 đoạn trong đó có ít nhất một
đoạn có độ dài không vượt quá
17
Trang 9
a) Nếu có một i với 1 i 16 sao cho 0 < vi+1 – vi
17
thì
0 < tg(vi+1 -vi) tg
17
< tg 16
Vì tg 4
=
8 tg 1 8 tg 2
2
= 1
suy ra tg
8
= 2 - 1, tg
8
=
16 tg 1
16 tg 2
= 2 - 1 tg
16
= 4 2 2 1
Khi đó ta có
0 < tg(vi+1 – vi) = 4 2 2 1
a a 1
a a
tgv tgv 1
tgv tgv
1 i i
i 1 i i 1 i
i 1
Chọn aj = ai+1 ta được điều cần chứng minh
b) Nếu 0 < v1 + - v17 <
17
<
16
thì
0 < tg [(v1 + ) – v17] = tg(v1 – v17) < tg
16
Lúc này ta chọn aj = a1 và ai = a17 ta được điều cần chứng minh
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi cặp số thực x, y ta đều có:
1 )
y 1 )(
x 1 (
) y x 1 )(
y x ( 4
1
2 2 2
2 2 2
2
Giải:
Đặt x = tgu , y = tgv với
-2
< u, v <
2
thì biểu thức
A =
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
) v tg 1 ( ) u tg 1 (
) v utg tg 1 )(
v tg u tg ( )
y 1 )(
x 1 (
) y x 1 )(
y x (
= cos4u cos4v
v cos
v sin u cos
u sin
2
2 2
2
v cos u cos
v sin u sin 1
2 2
2 2
= (sin2u cos2v – sin2v cos2u) (cos2u cos2v – sin2u sin2v)
= (sinu cosv + sin v cos u)(sin u cos v – sin v cos u) (cos u cos v + sin u sin v) (cos u cos v – sin u sin v)
Trang 10= sin(u + v) sin(u – v) cos(u – v) cos(u + v)
= 4
1 sin2(u + v) sin2(u – v)
Suy ra A =
4
1
sin2(u + v)sin2(u – v)
4 1
Tức
4
1
A
4 1
Biểu thức A đạt giá trị lớn nhất bằng
4
1 khi
0 y
1 x
0 v 4 u
2 ) v u ( 2
2 ) v u ( 2
1 ) v u ( 2 sin
1 ) v u ( 2 sin
hoặc
0 y
1 x
0 v 4 u
2 ) v u ( 2
2 ) v u ( 2
1 ) v u ( 2 sin
1 ) v u ( 2 sin
Biểu thức A nhận giá trị nhỏ nhất bằng
-4
1 khi:
1 y
0 x
4 v
0 u
2 ) v u ( 2
2 ) v u ( 2 1
) v u ( 2 sin
1 ) v u ( 2 sin
hoặc
1 y
0 x
4 v
0 u
2 ) v u ( 2
2 ) v u ( 2
1 ) v u ( 2 sin
1 ) v u ( 2 sin
Bài 14: Cho các số thực x, y không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng
2 2 2 y
4 x
) y 4 x ( x 2 2 2
2 2
2 2
Với các giá trị của x, y như thế nào thì dấu đẳng thức xảy ra
Giải:
Trang 111) Nếu x = 0 , y 0 thì 2 2 2
y 4 x
) y 4 x ( x 4 2 2 2
2 2
2 2
Nếu x 0, y = 0 thì
2 2
2 2
y 4 x
) y 4 x ( x
= 0 bất đẳng thức cũng đúng
Giả sử x 0, y 0 thì (1) tương đương với
2 2 2 1
y 2 x
2 y 2
x y
2
x
2 2 2
2
2 2
Đặt
y 2
x = tga thì (2) trở thành:
-2
a tg 1
) 2 tga ( a tg 2 2
2
2 2
- 2 2 - 2 cos2a [4tga – 4] 2 2 - 2 (3)
Vì cos2a[4tga – 4] = 4sinacosa – 4cos2a = 2sin2a – 2(1 + cos2a)
= 2(sin2a – cos2a – 1) =2
4 a 2 sin
nên (3) đúng, nghĩa là bất đẳng thức (1) đúng
2) Từ các phép biến đổi trên đây cho thấy:
2 2
2 2
y 4 x
) y 4 x ( x
= -2 2 - 2 khi sin
4 a
2 = -1 với tga =
y 2 x
Vì
-2
< a <
2
4
5
< 2a -
4
<
4
3
nên sin
4 a
2 = -1
2a-4
= 2
a =
8
8
tg y 2
x
= 1 - 2
x + 2y( 2 - 1) = 0
Tương tự như trên:
2 2
2 2
y 4 x
) y 4 x ( x
= 2 2 - 2 khi sin
4 a
Trang 12a =
8
3
y 2
x = tg
8
3
=
8
tg 4 tg 1
8
tg 4 tg 2
) 1 2 ( 1
1 2
x – 2y( 2 + 1) = 0
Bài 15: Chứng minh rằng với các số thực x, y, z tuỳ ý ta có
2
x 1
y x
2
x 1
z x
+
2
z 1
y z
Giải:
Đặt x = tg , y = tg , z = tg với
-2
< , , <
2
Ta có:
2
x 1
y x
=
2
tg 1
tg tg
= coscos
cos
sin cos
sin
=sincos - sincos=sin( - ) Tương tự ta có:
2
x 1
z x
= sin( - ),
2
z 1
y z
=sin( - )
Như vậy, chứng minh bất đẳng thức đã cho, đưa về chứng minh bất đẳng thức:
sin( - )sin( - )+ sin( - ) (*) với mọi , ,
2
; 2
Ta có sin(u + v)=sinucosv + sinvcosusinucosv+sinvcosu
sinucosv+sinvcosusinu+ sinv
Để ý rằng - = ( - ) + ( - )
Từ bất đẳng thức cuối cùng ta suy ra (*) (Đpcm)
Bài 16: Cho các số thực x, y thoả mãn
x2 + y2 = x 1 y2+ y 1 x2
Chứng minh: 3x + 4y 5
Giải:
Điều kiện xác định: 1 – y2 0, 1 – x2 0 tương đương –1 x, y 1
Trang 13Nếu x [-1; 0] hoặc y [-1; 0] hoặc x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng Ta chỉ cần xét 0 < x < 1 và 0 < y < 1
Đặt x = cos , y = sin với
-2
< <
2
; 0 < <
Từ x2 + y2 = x 1 y2+ y 1 x2
Ta có: cos2 + sin2 = cos cos + sin sin = cos( - ) 1
cos2 cos2 hoặc sin2 sin2
a) Nếu 0<, <
2
hoặc -2
< < 0 và 0 < <
2
ta có cos > 0, cos > 0
cos2 cos2 cos cos
3x + 4y = 3cos + 4sin 2cos + 4sin = 5
sin
5
4 cos 5 3
= 5cos( - ) 5 trong đó cos =
5
3
b) Nếu 0 < <
2
, 2
< < ta có sin > 0 , sin > 0 thì sin2 sin2 sin sin
3x + 4y = 3cos + 4sin 3cos + 4sin = 5cos( - ) 5
c) Nếu
-2
< < 0 ,
2
< < thì sin < 0 , sin > 0
sin2 sin2 sin -sin
3x + 4y = 3cos + 4sin 3cos - 4sin = 5cos( + ) 5
II giải phương trình , bất phương trình :
Bài1: Giải bất phương trình :
1 x 1 x x Giải :
Điều kiện :
x
x x
Đặt x=cost , t 0,
Trang 14Khi đó bất phương trình đã cho trở thành :
1 cos t 1 cos t cost 2
1 cos 2cos cos
2
t
2( os sin ) cos sin
c
( os sin )(cos sin 2) 0
c
2 os( )[ 2 os( ) 2] 0
os( )[ os( ) 1] 0
os( ) 0
2 4
t
2 2 4
t
3
2 t 2
vậy phoơng trình này có nghiệm 1 x 0
Bài 2 : giải phương trình :
1 1 x x(1 2 1 x )
Giải :
Điều kiện : 1-x20 1 x 1
os 0
2
3
sin 0
2
t
c
t
đặt x = sint với t ;
2 2
Khi đó phương trình đã cho có dạng :
1 1 sin t sin (1 2 1 sint t) 1 cos t sin (1 2cos )t t
2 os sin sin 2
2
t
Trang 152 os (1 2 sin ) 0
c
os 0 2
sin
2 2
t c t
6 2
t t
1 2 1
x x
vậy phương trình có nghiệm 1
2
x và x=1
Bài 3 : Giải phương trình :
2 2 2
1 x
x
Giải :
điều kiện :
2
x 1 0
0
x
x 1
Đặt x= 1
cos t , t 0,2
Khi đó phương trình có dạng :
1
1 cos
2 2
1 cos
t
t
t
2 2 cost sint
sintcost 2 2 sin cost t
Đặt sint + cost = u 1 u 2, ta có
2
u 1 sin cos
2
t t
Khi đó phương trình đã cho có dạng :
2
2(u 1)
2u u 2 0
2 1 l 2
u u
2
u sintcost 2 2 sin( ) 2
4
t
4
t
4 2
t k
2
4
t k
So sánh điều kiện ta có :
4
t
2
x
vậy nghiệm của phương trình là x 2
Bài 4 : với a0, giải bất phương trình
2
2 2
2 2
2 x
x
a
a x
a