tích phân ltđh

PHUONG PHAP GIAI Ý tưởng của phương pháp đổi biến số là : Đặt t như thế nào để thỏa 2 điều kiện : * dt có mặt trong biểu thức dưới dấu nguyên hàm... Ÿ tưởng của phương pháp đổi biến số

Hàm số f xác định trên K Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu

F"(x) = Í{x) với mọi x thuộc K

2 Binh ly :

Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K Khi đó:

e Với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K

e Ngược lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tổn tại một hằng số C sao cho

G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K

Nghĩa là: Nếu hàm số f có nguyên hàm trên K thì nó có vô số các nguyên hàm trên K

và các nguyên hàm này sai khác nhau một hằng số C

ở Bịnh lý : Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

4 Kí hiệu : Nếu hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K thì ghi

BANG CONG THUC BAO HAM

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE

22 (log, |u|) =

( (

aZaea

Giai

OO 00 0 cn cone testes COB eeeens

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 * HỌCKỲ 2

hư a se 3

V dụ $ Chứng mình rằng các ham s6 F(x) = ~~ cos2x + 3 Ge = -~cos'x+V2 , |

H(x) = sin’ x = là những nguyên hầm của hầm số f(x) = sin2x

«7 -

Gia!

2 [(2t- cos3t+ tant }it =" -=00s3t- In|cost|+C

3 J(u+1) e "du = ue” +

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE

¥ Wan dé 2: TINH NGUYEN HAM DUA VAG BANG CONG THUC

A PHUONG PHAP GIA

BANG CONG THUC NGUYEN HAM

26 [cot( (ax+b dx =+infsin(ax-+b)|+ C

27 fla + tan? (ax +b) |dx =—tan(ax+b)+C

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE

VÍ tìụ B Tính nguyên hầm I= fe cos2tdt

w2a Giai

3tan3x dx

Vida 8 Tinh nguyén ham I= |

aa)

7.1= Se" dx

10.1 = f-(1+ tan’ 2x) dx

2 l3.I= |———du

Dé tinh | f(x)dx , ta phan tich f(x) thanh téng , hiéu cdc ham sé cé trong bang nguyén

ham , rỒi dựa vào tính chất [[m.hœ)+ng(x) |dx=m [h(x)dx+n [g(x)dx và bảng công

thức nguyên hàm để tính

B TOAN MAU

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE 10

Ví dụ 5 Tính nguyên hàm I= |

eesecese

/Van dé 4: TINH NGUYEN HAM BANG PHƯƠNG PHÁP BỔI BIẾN SO

A PHUONG PHAP GIAI

Ý tưởng của phương pháp đổi biến số là : Đặt t như thế nào để thỏa 2 điều kiện :

* dt có mặt trong biểu thức dưới dấu nguyên hàm

@eeence

*edeed“œ

eecsee oo

TRUONG THPT MARIE CURIE 12

C BAI TAP CO BAN

3.1= [sin xe 2d, Hướng dẫn: Đặt t = 2cosx + 3

4.1= | In’ X= 2Inx+3 4, Hướng dẫn: Đặt t = Inx

x 5.[= [x cos(x? }dx Hướng dẫn: Đặt t = xỶ

dx _ Hướng dẫn: Đặt t = tan’x cos’ x

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 * HỌCKỲ 2 SỐ a 3

/ Van dé 5: TINH NGUYEN HAM BANG PHUONG PHAP TUNG PHAN

A PRUONG PHAP GIAI

1 Bịnh lý: Nếu u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục thì | udv = uv— | vdu

2 Cach giai: Tinh I = | udv

Vi du 1 Tinh nguyên hàm I = | X.sinxdx

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE

C BAI TAP CO BAN

Bai 6 Tinh các nguyên hàm sau: |

l.Il= [(x+Dcosxdx Hướng dẫn: Đặt u=x-l củ

vấn đề †: TINH TICH PHAN BANG BINH NGHIA

A PHUGNG PHAP GIA!

TRƯỞNG THPT MARIE CURIE 16

TRUONG THPT MARIE CURIE :

TRUONG THPT MARIE CURIE

aMea Biai

TRUGNG THPT MARIE CURIE

C BAI TAP CO BAN

Bài 8 Tính các tích phân sau: -

DANG 2 LUGNG GIAC

A PHUONG PHAP GIAI

Công thức Híững giác - | 6ồng thức nguyên hàm

G sin2x = 2 sinx cosx

7 cos2x = cos? x — sin? x j

=2cos2x-—I 6 J—y—dx =tanx +C

= ]—2sin? x

7 sin3x = 3 sinx —4sin° x

8 cos3x = 4.cos? x —3cosx

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 * HOCKY 2

25

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE °: 6

y D BAI TAP NANG CAO

Bài 12 Tính các tích phân sau:

Trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) X -Ì X

1 Néu Q(x) = (x — a)(x — b) thi phan tích: 1

P(x) A Ộ B 2 J—-dx = In|x|+C

? Nếu Q(x) = (x — a)*(x — b) thi phân tích: — fy aly 3 nhân ttoh- 3 |——-ax =—— 2 +b +C

(ax+by a aX

(x —a)*(x—b) ~ (x=ay x-a X-b 4 ị : dx =—Inlax+b|+C

ở Nếu Q(x) = (x — a)°(x — b)* thi phần tích: ax+b a

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 * HOCKY 2 27

4 Néu Q(x) = (x — m) (ax? — bx + C) trong đó tam

thức ax”— bx + c vô nghiệm thì phân tích:

(x—m)(ax*+bx+c) x-a ax?+bx+c

| Chú ý:Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc

TRUGNG THPT MARIE CURIE

C BAI TAP CO BAN

Bài 13 Tính các tích phân sau:

RA PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối và sử dụng tính chất

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE 30

CO a Oe 000 6 eo Ce See ee

C BAI TAP CO BAN

Bài 18 Tính các tích phân sau:

D BAI TAP NANG CAO

Bài 19 Tính các tích phân sau:

f(x) trén [a ; b] thi Jf(u@œ)) u'(x)dx = F(t)

2 Cach giải: Đặt t = u(x) = dt = u’(x)dx , déi cận tích phân và sau đó thế một lúc t và

dt vào biểu thức dưới dấu tích phân

Ÿ tưởng của phương pháp đổi biến số là : Đặt t như thế nào để thỏa 2 điều kiện :

** dt có mặt trong biểu thức dưới dấu tích phân

** Phần còn lại của biểu thức thế t vào được -

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 * HOCKY 2

B BAI TAP CO BAN

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 * HỌCKỲ 2 34

B BAL TAP CO BAN

Bài 2 Tính các tích phân sau:

B BÀI TAP CO BAN

Bài 4 Tính các tích phân sau:

DANG 5 Tính tích phan: I= [f(e")dx

_TRƯƠNG THPT MARIE CURIE |

B BAI TAP CO BAR

Bai 5 Tính các tích phân sau:

lt= fi—£ax 21= | —————dx 3.1= [-Š —dx

In2 2x x In2 In2-

- ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 * HOCKY 2

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE

B BAI TAP CO BAN

Bài 6 Tính các tích phân sau: |

DANG 7 Tich phan ham số lẻ đối với sinx (huặc c0sX)

Biểu thức tưới tấu tích phân là hàm lẻ đối với sinx: Đặt t = cosx

Bì éu thức tưới đấu tích phan la ham lé doi vdi casx: pat t= = SINX

Chú ý: % t = cosx => dt =—sin xdx

A TOAN MAY

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE: 40

aD giải

9 ®9®°®°e°Ằ0eoeeedosoe©ooeeseo©esee eeoee

B BAI TAP CO BAN

Bài 11 Tính các tích phân sau:

7 I=Í COs x dx j= [Sex sin x 9 [= faces ok

9 2—2sinx JT43cosx 9 | +sinx

10 r= [-—SS* a 11 tr Tae) 35m x 12 I= ji

13.1= i cos 2x x [= [see sin 2x [= [An 2KCOsx 4,

16 J= [sin 2xcos*xdx = {sin 2xsin° xdx 18 |= [sin 2xcosxax

DANG 8 Tích phân hàm số chấn đối với sinx và cosx

Đặt f = tanx (hoặc t = cotx)

hi y: Mt =tanx > dt = d dx

COS X

al t = cotx => dt =— I dx

sin’ x

TRUGNG THPT MARIE CURIE

sea snaacecas Ÿaseeseeeosoeoeeeeee

ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 * HỌCKỲ 2 43

4 Vid 3 Tính tích phân I = [Fem cos dx

B BAI TAP CO BAN

Bài 12 Tính các tích phân sau:

DẠNG 9 Tích nhân có chứa sin2xdx (hoặc sinkc0sxtlx) và phần cùn lại

: SỉnX , (0X mang luỹ thừa chắn

_ Đặt † = sinˆw (hoặc t = cos?x)

Chú ý: Il t = sinx —© đ/ =2sin xcos xđx =sỉn 2xảx

( =c0sˆx —> đ/ =—2sin xeos xđx =—sin 2xdx

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE

A TOAN MAU

Vidu 2 Tinh tich phan I

DANG 10 Thém bét 1 dé si¥-dung công thức

I= (G1 +tan’ x)dx = tanx va I= [1+ cot? x)dx = -cotx

Dat t = tanx (hoặc t = cotx)

Chi y: @ ¢=tanx > dt =(1+tan’ x)dx

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE 46

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE _ 48

_ [ 2sin 2x lx ¬"= panx 2c0s X ay 31= = 4sin X ay

DANG 12.(Nang cao)

Bat xX = asint hodc x = atant

8 Cách làm: Đặt: J"” = du = lay dao ham

| dv = Phần còn lại — v = lấy nguyên hàm

đ Ý nghĩa: Phương pháp tích phân từng phần nhằm mục đích biến đổi tích phân cần tính sang một tích phân mới dễ hơn

seco oe oe

OO OC O00 0 os 000 0 08 Occ eee ene aes

0000 0 00 0 oe Cote Oe Best owe nee eae

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE 54

BANG 4.(Nang cas)

Tinh tich phan: | = [thàm số mũ).(hàm số lượng giác)dx

ĐỀ CƯƠNG TOÁN I2 * HOCKY 2

DẠNE 5 Phân tích thành tổng (hiệu) hai tích phan

A TOAN MAU

B BAL TAP CO BAN

Bai 24 Tính các tích phân sau:

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE

Cho hai ham s6 y, = f(x), y2 = g(x) liền tục trên đoạn [a ; b] và có đồ thị lần lượt là (C\)

, (Ca) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C\), (C¿) và hai đường x =a, x = b (Giả sử a

Vi dw 2 Tinh dién tich hinh phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y= In X= Inx va truc X

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE _ | 6ù

B BÀI TAP CO BAN

Bài 38 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong (C;): y =e” , (C,):

y=e” và đường thang x= 1

Bai 39 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y=(x- ‘Det và hai trục toạ độ

Bài 41 Tính diện tích binh phang gidi han bdi dung cong (C): y= Vx va hai dudng

Vidu 1 Tinh dién tich hinh phang giới hạn bởi hai đường (P): y = x? -xtIi,dy=x-3

và hai đường thang x = 1 ,x =2

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE no 62

Bai 46 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (C): y=lnx,d:y=0 và

hai đường thẳng X= i ,X=e

Ï Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của ham số da cho

2 Tinh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), đường tiệm cận ngang và hai đường thang x =3,X=4

ổ Tính điện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , Ox , Oy và đường thang x =~3

4 Tinh dién tich hinh phang gidi han bdi (C) , đường tiệm cận ngang , Ox , Oy va

00 000 ten sen saeco oe

Pe eat tescen ea eeeceoe ee |

0 0e ce cercecece ceeevesso cca e

O08 0 coc oe eon 008 008088 won es og

0 000 0 00 cae 20 00 9 cette se eee »

i Khao sat sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho,

2 Tinh dién tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 3

Bài 48 Cho hàm số y = x'~ 3x2 + 2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

| 1-—2x

x+1-

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Tinh dién tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, Oy và đường thẳng x = 2

3 Tỉnh diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục tung và hai đường thẳng y =—5,

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE | ¬ 66

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x =

ø(y),x=0,y=a,y=b a < b) quanh trục Oy được xác định bởi công thức:

Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đường y, = f(x) ›Ya =g(X),X=a.x=b (Với a< b và 0<y; <y, ,Vx c[a,b]) quanh

b trục Óx được xác định bởi công thức: V = z[[[reÏ -[ecoT ax

YẠ a

y; = f(x) Y2= p(x)

¬

O ja Ib X

Bài toan 4: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

đường y, = f(x) ›Y;=g(X),x=a.x=b (Vớia<b và y, Sy, <0 ,Vx e[a,b]) quanh trục Ox được xác định bởi công thức: V = *Í[[seÏ -[ #00) Jax

Bài toán 6: Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

dudngx, = f(y) ›X; =g(y),y=a.y=b (Với a <b và X¿ SX¡ <Ũ,Vy c[{a,b]) quanh

C8 O98 © 008 cee oes ve eee es eenen

Vida 2 Cho miền D giới hạn bởi các đường : y =xx; Y=2-x;y=Q Tính thể tích

khôi tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy

|

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE : | 68

aVa Giai

C BAI TAP co BAN

Bai 50 Cho mién D gidi han béi hai đường : y=(x—2)? và y = 4 Tính thể tích khối

tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:

a) Truc Ox b) Truc Oy

Bài 51 Cho miễn D giới hạn bởi hai đường : y=4-— x? ; y= x?+2 Tính thể tích khối

tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox,

Bai 52 Cho mién D giới hạn bởi các đường y = 2x” và y = 2x + 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox

DE CUONG TOAN 12*HOCKY2 7 z

“* z vừa là số thực vừa là số ảo | 0 (Khi đó: z = 0)

2 SO nhức liên hữn của z: z=a- bi _—_ —

ö Biểu tiễn hình học của số phức: z = a + ib (a,b € R)

M@; b) là ảnh của z: OM =r = va? +b2 moldul cua Z (Ox,OM) = 0 là argument của z, argz =ọ

L8” Dạng lượng giác của số phức: z = a + ib (a, b e R)

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE " 70

7* Lũy thừa của số phức: z = r (cose + ising)

“+ z" = 1r'(cosn@ + isinno) (Công thức de Moirve)

8“ băn hậc n của số phức: z = r (coso + 1sino) (r >0)

Ví dụ: A =— 5 = 5? thì căn bậc 2 của A là +i2/5,

[ Nếu số-phức A = a + bi thi tìm căn bậc 2 của A như sau :

Suy ra căn bậc 2 của số phức A là +(x + yi)

[]Phương trình azˆ + bz + c = 0 có biệt số A = b” — 4ac và có công thức nghiệm

-b#(căn bậc hai của A)

Z=

2a

“* Néu b 1A s6 chan thi dat b’ = ; và khi đó A' =b'?— ac và

—b'+(can bậc hai của A'

a

Nếu a+b+c =0 thì phương trình có nghiệm z = 1 hay z= ~

a Nếu a— b+c =0 thì phương trình có nghiệm z =— Ì hay z= _<

B BAI TAP CO BAN

Bai 1 Tim pha „phần ä Sp-ciia-cde-s6-phite-sau-

l.z= (4-i)+(24+3i)- (5 +i? 2.z=i+(2—4i) ~ (3 —-2i)

B BAI TAP CO BAN

Bài 2 Tìm phân thực , phần ảo , modun và số phức liên hợp của các số phức sau :

B BAI TAP CO BAN

Bài 5 Cho hai số phức z¡ = 1 — i vA z =4 4+ 3i

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE SỐ 24

lL (x + Đi + %X— yÖi =— x+(x— 2y)(1— j)

2 (x — 2i)i+ (1+ y)(2-i =(-x + DGB—-4i) + (y+ (2+ i’

Vi du Tim sé phirc z théa man: (1+ i)z+(2-i)(1+3i) =2+33

Bai 8 Tim phần thực và phân ảo của số phức z biết:

ĐỂ CƯƠNG TOÁN 12 * HỌCKỲ 2

TRƯỜNG THPT MARIE CURIE 76

C BAI TAP NANG CAG

Bài 12_ Giải phương trình sau trên tập hợp số phức

Vidu Goi z, , z, 1a hai nghiệm của phương trình: zˆ + (2 — 1)z + 3 + 5¡ =0 Không giải

B BAI TAP NANG CAG

Bail4 Tim căn bậc hai của mỗi số phức sau :