108 đề hsg toán 8 phú ninh 22 23

3,0 điểm Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a.. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM 3MD.. Kẻ tia phân giác của CBI.. Tia này cắt cạnh CD tại N... 3,0 điểm Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ NINH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỔI MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (3,5 điểm) Cho abc 2021

a) Chứng minh rằng

a

ab a b bc 

b) Tính giá trị của biểu thức

2021

M

Bài 2 (3,5 điểm) Giải các phương trình sau :

2 4 5 2 10 26 2 6 10 2 8 17

)

a

     2 

b x x x  

Bài 3 (3,0 điểm)

a) Cho x,y là các số dương Chứng minh 2

x y

yx 

b) Cho ba số dương x,y,z Chứng minh

1 1 1

a b c

bc ca ab   a b c

Bài 4 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM 3MD Kẻ tia Bx cắt cạnh CD tại I sao cho ABM MBI Kẻ tia phân giác của CBI Tia này cắt cạnh CD tại N Trên cạnh BI lấy điểm H sao cho BH BA a a) Chứng minh MN AM NC

b) Tính MN và diện tích tam giác BNMtheo a

cắt BC tại P và Q,

Bài 6: (2,0 điểm)

b) Cho a b c d, , , là các số nguyên thỏa mãn a2 b2 c2 d2 Chứng minh

S a b c d    là một hợp số

ĐÁP ÁN

Bài 1 (3,5 điểm) Cho abc 2021

c) Chứng minh rằng

a

ab a b bc 

Vì abc 2021nên a b c , , 0

Do đó

2021

a

a

Vậy

a

ab a b bc 

d) Tính giá trị của biểu thức

2021

M

Vì

;

ab a b bc  ac c  abc bc b   bc b

Nên

1

M

 

Bài 2 (3,5 điểm) Giải các phương trình sau :

0

2 7

7 10

x

7x 12 x 2 do x 7x 10 x 7x 12

Vậy

7

2

x 

         

2

2 2

2

2

7 81

7 9( )

x

 



Vậy x 4

Bài 3 (3,0 điểm)

c) Cho x,y là các số dương Chứng minh 2

x y

yx 

Ta có :

 

2 2



Dấu bằng xảy ra khi x=y

d) Cho ba số dương x,y,z Chứng minh

1 1 1

a b c

bc ca ab   a b c

Ta có :

Cmtt

Nên

Bài 4 (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM 3MD Kẻ tia Bx cắt cạnh CD tại I sao cho ABM MBI Kẻ tia phân giác của CBI Tia này cắt cạnh CD tại N Trên cạnh BI lấy điểm H sao cho

BH BA a

x I

H

C

B A

D

M

N

c) Chứng minh MN AM NC

Ta có ABM HBM c g c( )và HBN CBN c g c . 

Suy ra BHM BAM 90 và BHN BCN 90

Suy ra M, H, N thẳng hàng Do đó MN MH HN  AM NC

d) Tính MN và diện tích tam giác BNMtheo a

Đặt

3

4

NC  x MN AM NC  a x DN  a x

DMN

2 2

2

a

MN MD DN   a x    a x

2

2

2

a

BH MN a  a x  a a  a dvdt

IM lần lượt cắt BC tại P và Q,

J P

Q

K

I

H

D E

A

B

C

EHB EHI  HI

DHC

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có :

EI EH HD DK EI DK

IB BH HC KC  IB KC

KC PC IB BQ

BP CQ

Gọi J là giao điểm của HM và BC

Áp dụng định lý Talet vào JBHvà JCH ta được : ;

BP MH QC MH mà BP CQ

nên JP JQ  JB JC hay J là trung điểm BC do đó HM đi qua trung điểm của BC

Bài 6: (2,0 điểm)

a) Chúng mình rằng với mọi số nguyền x thì x2  x2

.

b) Cho a b c d, , , là các số nguyên thỏa mãn a2 b2 c2 d2 Chứng minh

S a b c d    là một hợp số

Ta có a2 b2c2 d2 a2d2 c2b2

a b c d  a b c d    a  a  b  b  c  c  d  d

Nên 2a2d2 a b c d   2 a b c d   2

Vậy S a b c d    là một hợp số