024 đề hsg toán 8 phù mỹ 22 23

4,0 điểm Cho hình chữ nhật ABCD.Trên cạnh ADlấy điểm M, trên cạnh BClấy điểm P sao thẳng qua P song song với MQcắt AC tại N a Chứng minh tứ giác MNPQlà hình bình hành b Khi M là trung đi

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian : 150 phút

Bài 1 (4,0 điểm)

a) Phân tích đa thức 2x 2 42 9thành nhân tử

b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên nthỏa mãn

 2021   3 

2020  1 n  2021n

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn điều kiện 2021

b c c a a b     

:

b c c a a b

b) Giải phương trình  

2 2

2

4

5 2

x x

x



Bài 3 (5,0 điểm)

a) Cho các số a b c, , không âm thỏa mãn a b c   3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa13b13c13

b) Một học sinh từ lớp 5 đến lớp 9 đã trải qua 31 kỳ thi, trong đó số kỳ thi ở năm sau nhiều hơn số kỳ thi ở năm trước và số kỳ thi ở năm lớp 9 gấp ba lần

số kỳ thi ở năm lớp 5 Hỏi học sinh đó thi bao nhiêu kỳ thi ở năm lớp 8

Bài 4 (4,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD.Trên cạnh ADlấy điểm M, trên cạnh BClấy điểm P sao

thẳng qua P song song với MQcắt AC tại N

a) Chứng minh tứ giác MNPQlà hình bình hành

b) Khi M là trung điểm của AD.Chứng minh BQvuông góc với NP

Bài 5 (3,0 điểm) Cho hình thoi ABCDcó BAD 120  Một đường thẳng đi qua đỉnh D của hình thoi và cắt tia đối của hai tia ABvà CBlần lượt tại M, N Gọi E là giao điểm của ANvà CM Chứng minh AD2 AN AE.

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

c) Phân tích đa thức 2x 2 42 9

thành nhân tử

Ta có :

2

d) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên nthỏa mãn

2020 2021  1 n3  2021n

Ta thấy 20202021 1có giá trị là một số nguyên lẻ

Mặt khác: Với mọi số nguyên nthì n3và 2021nlà hai số nguyên có cùng tính chẵn,

lẻ nên n3 2021nlà số nguyên chẵn với mọi số nguyên n

Vậy không tồn tại số nguyên nthỏa mãn 2020 2021  1 n3  2021n

Bài 2 (4,0 điểm)

c) Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn điều kiện 2021

b c c a a b     

:

b c c a a b

Vì a b c, , là các số dương nên a b c   0 Ta có :

2021

b c c a a b     

2020

b c c a a b

b c c a a b

a b c

b c c a a b

b c c a a b

d) Giải phương trình  

2 2

2

4

5 2

x x

x



đương

2 2

2

2

4 5

x

Đặt

2

2

x

y

x



 ta được phương trình y24y5

*Trường hợp 1: y 1 Ta có :

2

1( ) 1

x

x





          

*Trường hợp 2: y 5 Ta có :

2

2

5 25 15

( )

x

x



    

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S   1;2

Bài 3 (5,0 điểm)

c) Cho các số a b c, , không âm thỏa mãn a b c   3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức      

Với các số a b c, , không âm thỏa mãn a b c   3.Ta có :

2

2

2

                  

                  

                  

Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được :

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :

 

2

2

2

3

2 2 3

( ; ; ) ;0;

2

2 2

0 ( ; ; ) ; ;0

3

a a

a b c

b b

a b c

a b c

  







  



Vậy

3 4

Min P 

khi  

3 3

; ; 0; ;

2 2

 và các hoán vị của nó

d) Một học sinh từ lớp 5 đến lớp 9 đã trải qua 31 kỳ thi, trong đó số kỳ thi

ở năm sau nhiều hơn số kỳ thi ở năm trước và số kỳ thi ở năm lớp 9 gấp

ba lần số kỳ thi ở năm lớp 5 Hỏi học sinh đó thi bao nhiêu kỳ thi ở năm lớp 8

Gọi số kỳ thi trong mỗi năm (từ lớp 5 đến lớp 9) mà học sinh đó đã trải qua lần lượt là x x x x x x x x x x1 ; ; ; ; 2 3 4 5 1 ; ; ; ; 2 3 4 5là các số nguyên dương)

Ta có x1 x2 x3 x4 x x5 ; 1 x2 x3 x4 x5  31và x5  3x1

 Vì x1 x2 x3 x4 x5  x1 x2 x3 x4 x5  5x5hay 5x5  31  x5  6 1 

 Vì x5  3x1  x5  3(2)

Giả sử x5  12  3x1  12  x1   4 x1 x2 x3 x4 x5      4 5 6 7 12 34 

Suy ra không xảy ra vì x1 x2 x3 x4 x5  31  x5  12 3 

Từ (1), (2), (3) suy ra x5  9,x1   3 x2 x3 x4  19

Mà x2 x3 x4  x2 x3 x4  3x4hay 3x4  19  x4  6

Do 6 x4 x5  9nên x 4 7hoặc x 4 8

*Nếu x4   7 x2 x3 x4     5 6 7 18 19  (loại)

*Nếu x4   8 x2 x3  11 Khi đó

2 3

2 3

4; 7

( ) 5; 6

tm







Vậy học sinh đó thi 8 kỳ thi ở năm lớp 8

Bài 4 (4,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD.Trên cạnh ADlấy điểm M, trên cạnh BClấy điểm P sao cho AM CP Kẻ BH vuông góc với ACtại H Gọi Q là trung điểm của CH, đường thẳng qua P song song với MQcắt AC tại N

E N

Q

M

C

A

D

B

c) Chứng minh tứ giác MNPQlà hình bình hành

Hình chữ nhật ABCD AD BC  DACBCA

/ / ( )

Mà AQM DAC AMQ180và CPN BCA CNP180  AMQCPN

Xét AMQvà CPNcó : AM CP,DACBCA,AMQCPN

( )

Tứ giác MNPQcó MQ PN MQ PN/ / ,  Vậy tứ giác MNPQlà hình bình hành

d) Khi M là trung điểm của AD.Chứng minh BQvuông góc với NP

Gọi E là trung điểm của BH, mà Q là trung điểm của HC

Nên QE là đường trung bình của BHC QE/ /BCvà 2

BC

QE 

/ /

QE BC QEAB, mà BH AQnên E là trực tâm của ABQ AE BQ

QE 2 ,

BC



AD

AM 

Mặt khác QE/ /AM(cùng // với BC) nên AEQM là hình bình hành

/ / / / / /

Do AEBQvà AE PN/ / nên BQPN

Vậy khi M là trung điểm của AD thì BQNP

Bài 5 (3,0 điểm) Cho hình thoi ABCDcó BAD 120  Một đường thẳng đi qua đỉnh D của hình thoi và cắt tia đối của hai tia ABvà CBlần lượt tại M, N Gọi

E là giao điểm của ANvà CM Chứng minh AD2 AN AE.

E

N

D A

B

C

M

 Hình thoi ABCDnên AD DC và AB/ / DC

 Xét ADM và CDNcó :

  (hai góc đồng vị do AB CD/ / ), ADM CND(đồng vị do AB BC/ / )

( )

hay

 Xét AMCvà CANcó : AC CN

( )

  ∽     hay ACEANC

 Xét ACEvà ANCcó : NACchung, ACE ANC

2

Mà ACAD Vậy AD2 AN AE.