065 đề hsg toán 8 trực ninh 22 23

8,0 điểm Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a, gọi O là giao điểm của hai đường chéo ACvà BD, I là trung điểm của OB.Trên tia đối của tia CDláy điểm E sao cho 1 2... Ta có điều phải chứng m

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2022-2023

MÔN TOÁN – LỚP 8 Bài 1 (4,5 điểm)

1) Phân tích thành nhân tử :

) 2019 2018 2019

a x  x  x

b x  x y xy y 

2) Giải phương trình :

2019

2020 2019 2018 2

Bài 2 (3,0 điểm)

1) Các số thực a b c d, , , thỏa mãn đồng thời các điều kiện abc d 1,bcd a 2,cda b  3,và

6

dab c  Chứng minh a b c d   0

2) Giả sử x y z, , là các số thực thỏa mãn x y z  4và x2y2z2 6 Chứng minh mỗi số

, ,

2

;2 3

 

 

 

Bài 3 (3,0 điểm)

1) Tìm đa thức dư khi chia đa thức x20x10x51cho đa thức x 2 1

2) Tìm các cặp số nguyên x y; thỏa mãn 2x23y24x19

Bài 4 (8,0 điểm) Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a, gọi O là giao điểm của hai đường chéo

ACvà BD, I là trung điểm của OB.Trên tia đối của tia CDláy điểm E sao cho

1 2

Từ D

kẻ DM vuông góc với BE M BE, DM cắt BCtại H

1) Chứng minh AOI∽BCE

2) Chứng minh BIE90

3) Chứng minh MAlà tia phân giác của BMD

4) Gọi G là giao điểm của ACvà DM, BG cắt IE tại P Hãy tính diện tích GHPtheo a

Bài 5 (1,5 điểm) Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh :

3

2 2

b c c a a b

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,5 điểm)

3) Phân tích thành nhân tử :

) 2019 2018 2019 2019 2019 2019

              

4) Giải phương trình :

2019

2020 2019 2018 2

2019

2020 2019 2018 2

2021 2021 2021

2020 2019 2

x

Vì

0 2021

2020 2019  2   x

Bài 2 (3,0 điểm)

3) Các số thực a b c d, , , thỏa mãn đồng thời các điều kiện abc d 1,bcd a 2, cda b  3,

và dab c 6.Chứng minh a b c d   0

Giả sử a b c d   0,suy ra abc bcd cda dab   0

Thay d a b c  ta được :

b c bc a c ac abc a b ab abc a b b c c a

Xét 3 trường hợp :

2

a b bcd b  và bcd b 3,mâu thuẫn

2

ad  bcd d  và bcd d 1, mâu thuẫn

Vậy a b c d   0

4) Giả sử x y z, , là các số thực thỏa mãn x y z  4và x2y2z2 6 Chứng minh mỗi

số x y z, , đều thuộc đoạn

2

;2 3

 

 

 

Ta có y z  4 xvà y2z2  6 x2

Theo BĐT Co si ta có  

2

2 2 1

2

2

Tương tự với y,z Ta có điều phải chứng minh

Bài 3 (3,0 điểm)

3) Tìm đa thức dư khi chia đa thức x20x10x5 1cho đa thức x 2 1

Gọi đa thức dư trong phép chia là ax b

20 10 5 1 2 1

x x x   x  Q x ax b

Xét với x 1ta được a b 4

Xét với x 1ta được   a b 2

Tìm được a1,b3

Vậy đa thức dư là x 3

4) Tìm các cặp số nguyên x y; thỏa mãn 2x23y24x19

Ta có :

Vế trái (*) là số chẵn nên vế phải cũng là số chẵn

Suy ra y2là số lẻ và vế trái (*)0nên vế phải (*) cũng 0

Do đó 7 y2  0 y2 7 Từ đó tì được  

2

1 9

x

Vậy x y ,   2;1 ; 2; 1 ; 4;1 ; 4; 1         

Bài 4 (8,0 điểm) Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a, gọi O là giao điểm của hai đường chéo ACvà BD, I là trung điểm của OB.Trên tia đối của tia CDláy điểm E sao cho

1

2

Từ D kẻ DM vuông góc với BE M BE , DM cắt BCtại H.

G

M

E

H

I O

C

B A

D

5) Chứng minh AOI∽ BCE

Chứng minh

1 2

OI

OA (vì I là trung điểm của OB, mà OA OB )

Từ đó suy ra

CB CE suy ra AOI∽ BCE c g c( )

6) Chứng minh BIE90

Chứng minh CBECDH(cùng phụ với BED)

Từ đó chứng minh BCE∽ DCH g g( ) Suy ra được

Kết hợp với BC DC suy ra CE CH

Từ đó suy ra Hlà trung điểm của BC(vì có

1 ) 2

Chứng minh IHlà đường trung bình của BOC Suy ra IH OC/ /

Kết hợp với OCBDsuy ra được IH BD 1

Chứng minh Hlà trực tâm của BDE(giao điểm hai đường cao DM và BC) Suy ra được EH BD 2

Từ (1) và (2) chứng minh được E H I, , thẳng hàng

Từ đó suy ra EI BDhay BIE90

7) Chứng minh MAlà tia phân giác của BMD

Chứng minh BIM∽ BED c g c( ) BIM BED

Kết hợp với AIOBECAIO∽ BCE AIOBIM

Chứng minh DIM BIM 180 (ba điểm B I D, , thẳng hàng)

Từ đó suy ra DIM AIO180  M I A, , thẳng hàng

Chứng minh BMI BDC(vì BIM∽ BED)

Chứng minh BDC45(vì ABCD là hình vuông) Từ đó suy ra BMIBDC45

Chứng minh IMD45do BMI 45 , BMD90

Suy ra được MI là tia phân giác của BMD Kết hợp với ba điểm M I A, , thẳng hàng

Suy ra được MAlà tia phân giác của BMD

8) Gọi G là giao điểm của ACvà DM, BG cắt IE tại P Hãy tính diện tích GHPtheo a

2

1

1

2 2

(Hai tam giác chung đường cao kẻ từ D xuống BC và có 1

)

2

Chứng minh G là trọng tâm của tam giác BCD Suy ra

1 3

Từ đó suy ra  

1

3 3

(hai tam giác có chung đương cao kẻ từ B xuống DH và 1

)

3

Chứng minh Plà trung điểm của BG (IP OG I/ / , là trung điểm của OB)nên

1 2

1

4 2

(hai tam giác có chung đường cao kẻ từ H xuống BG và

1 ) 2

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra được :

2

Bài 5 (1,5 điểm) Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh :

3

2 2

b c c a a b

3

a b c

a b c

b c c a a b

        

Do vai trò của a b c, , như nhau nên có thể giả sử a b c  Suy ra :

1

b c c a a b     a c a c a b      a b

c

a b c

a b

      



Vậy

3

2 2

b c c a a b