160 đề hsg toán 8 đông kinh 22 23

7 điểm Cho hình vuông ABCD.Qua A vẽ hai đường vuông góc với nhau lần lượt cắt BCtại P và R, cắt CD tại Q và S a Chứng minh AQRvà APSlà các tam giác cân b QR cắt PS tại H, M N, là trung

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ĐÔNG KINH

ĐỀ THI HSG TOÁN 8 – NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

2

2

)5 26 24

) 2015 2014 2015

b x x

 

Bài 2 (6 điểm)

a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến :

6 7 2  3 4 1 3 7

4

x x  x  x 

b) Tính giá trị biểu thức

x y P

x y





 Biết x2 2y2 xy x y  0;y0 c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x2 x4 x6 x82015cho đa thức x210x21

d) Tính tổng các hệ số trong khai triển  

2021

1 2x

e) Chứng minh rằng : A n 24n3 8, nlà số tự nhiên lẻ

f) Tìm hệ số a để ax55x4 9x1

Bài 3 (7 điểm) Cho hình vuông ABCD.Qua A vẽ hai đường vuông góc với nhau lần lượt cắt BCtại P và R, cắt CD tại Q và S

a) Chứng minh AQRvà APSlà các tam giác cân

b) QR cắt PS tại H, M N, là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHNlà hình chữ nhật

c) Chứng minh P là trực tâm tam giác SQR

d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC

Bài 4 (3 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A13x2y24xy 2y16x2015

b) Cho hai số a b, thỏa mãn điều kiện a b 1.Chứng minh

2

ĐÁP ÁN Bài 1 (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

       

       

              

x x 1 x2 x 12015x2 x 1  x2 x 1 x2 x2015

Bài 2 (6 điểm)

g) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến :

x x  x  x  x  x x  x  x x 

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x

h) Tính giá trị biểu thức

x y P

x y





 Biết x2 2y2 xy x y  0;y0

   

x  y xy x  xy y   x y x  y 

Vì

y y

y y





i) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức x2 x4 x6 x82015cho

đa thức x210x21

P x  x x x x   x  x x  x 

Đặt t x 210x21t 3;t7, biểu thức P(x) được viết lại :

P x  t t   t t

Do đó khi chia t2 2t 2000cho t ta có số dư là 2000

j) Tính tổng các hệ số trong khai triển  

2021

1 2x Gọi          

Vậy tổng các hệ số trong khai triểm bằng 1

k) Chứng minh rằng : A n 24n3 8, nlà số tự nhiên lẻ

 1  3

A n n , vì n là số lẻ, đặt n2k1,k N  A2k2 2  k4 8

l) Tìm hệ số a để ax55x4 9x1

Theo định lý Bơ zu ta có : dư của f x  ax55x4 9khi chia cho x 1là

 1 5 9 4

f   a  a

Để có phép chia hết thì a 4 0  a4

Bài 3 (7 điểm) Cho hình vuông ABCD.Qua A vẽ hai đường vuông góc với nhau lần lượt cắt BCtại P và R, cắt CD tại Q và S

M

N

H

S

Q

R

P

B

C D

A

e) Chứng minh AQRvà APSlà các tam giác cân

  vì chúng là hai tam giác vuông (2 góc có cạnh tương ứng vuông góc) và

Chứng minh tương tự ta có ABPADS

f) QR cắt PS tại H, M N, là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác

AMHNlà hình chữ nhật

AM và AN là đường trung tuyến của tam giác vuông cân AQR và APS nên ANSPvà

Mặt khác : PAN PAM 45  MAN90 Vậy tứ giác AHMNcó ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật

g) Chứng minh P là trực tâm tam giác SQR

Theo giả thiết : QARS RC, SQnên QA và RC là hai đường cao của SQR

Vậy P là trực tâm SQR

h) Chứng minh MN là đường trung trực của AC

Trong tam giác vuong cân AQR thì MA là trung tuyến nên

1 2

, nghĩa là M cách đều A và C

Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASPvà tam giác vuông SCP, ta có

NA NC nghĩa là N cách đều A và C Hay MN là trung trực của AC

Bài 4 (3 điểm)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A13x2y24xy 2y16x2015

2

Chứng tỏ A 10, dấu bằng xảy ra khi

;

Vậy

d) Cho hai số a b, thỏa mãn điều kiện a b 1.Chứng minh

2

 2

2a 2b 1 0 2a 2 1 a 1 0

         (vì b 1 a)

 

2

                

Từ (1) và (2) ta có đpcm